第十二讲冲刺篇 一重要公式与结论 (一，行列式与矩阵 1.kA川=k叫A:4-1=A-11AB=ABL,其中A为n阶方阵. 2.若A=(ag)且r(A=1,则A=a87,其中a=(a1,…,an)P,B=(b,…,b)T,且 (i)BTa =tr(A)=au+azz+...+amn: (间AE-A=X-(a1+…+anbnA=n-(a1+…+anmA 3.A1=☆A:(kA)1=是A1(AB)-1=B-1A: 4.A"A=A4°=4E:A=4-1;(m≥2：(kA)=-1A:(4)-1=☆4，A°=144-1，其 中A为n阶方阵. sA-(:)则-(）4递点(。) 6.E6》=分，G什GE()=n×k(G×kE6,》=n+乃×k(G+马× 7.Ei,》1=E6,),E(》1=E(使》，E6,k》-1=E,-k》.特别地，E6,P=E 8.⑤)A行元B=E,)4=B.A石dB=AE6,)=B: 回AXB=EA=B.Aoxk B电AE》二E.=B A+B=E)A=B, 9.()若A可逆，将(A,E)行变损(E,X),则X=A-1. (2)①)若AX=B且A可逆，将(A,B)行变换(E,X),则X=A-1B. (问)若xA=B且A可逆，则ATXT=BT,将(AT,B行变孩(E,x),则xT=(A-BT,从 而X=BA (仁)，向量与线性方程组 1.3可以由向量组a1,a2, ,a的线性表出 台存在一组数，，，k使得1+十十ka,=月 台方程101+工202十…+工，a,=有解(1,2，…，工，T=(k1,2,…,k,) 2.可以由向量组a1,a2,…,a,的唯一线性表出（或两种以上线性表出，不能线性表出） 台方程x1a1+x202+…+x,a,=8有唯一解（无穷多，无解） ÷r(B)=r(A)=s(或r(B=r(A)<s,r(A)<r(B). 其中A=(a1,a2,…,a),B=(4,). 3.向量组B=(G3,…,月)可以由A=(a1,a2,…,am)线性表示 ÷方程AX=B有解台r(A,B)=r(A: 4.向量组A=(a1,2,·,m)与B=(问，2，…，Bn)等价台r(A,B)=r(A)=r(B). 1
1õ˘ ¿eü ò á˙™Ü(ÿ (ò), 1™Ü› 1. |kA| = k n|A|; |A−1 | = |A| −1 ; |AB| = |A||B|, Ÿ•Aèn ê . 2. eA = (aij )Ör(A) = 1, KA = αβT , Ÿ•α = (a1, · · · , an) T , β = (b1, · · · , bn) T , Ö (i) β T α = tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann; (ii) |λE − A| = λ n − (a1b1 + · · · + anbn)λ = λ n − (a11 + · · · + ann)λ. 3. A−1 = 1 |A|A∗ ; (kA) −1 = 1 kA−1 ; (AB) −1 = B−1A−1 ; 4. A∗A = AA∗ = |A|E; |A∗ | = |A| n−1 ; (n ≥ 2); (kA) ∗ = k n−1A∗ ; (A∗ ) −1 = 1 |A|A, A∗ = |A|A−1 , Ÿ •Aèn ê . 5. eA = a b c d ! , KA∗ = d −b −c a ! , Aå_, A−1 = 1 ad−bc d −b −c a ! . 6. E(i, j) ri ↔ rj (ci ↔ cj );E(i(k)) ri × k (ci × k); E(i, j(k)) ri + rj × k (ci + cj × k); 7. E(i, j) −1 = E(i, j), E(i(k))−1 = E(i(( 1 k )), E(i, j(k))−1 = E(i, j(−k)). AO/,E(i, j) 2 = E. 8. (i) A −−−−→ ri ↔ rj B E(i, j)A = B, A −−−−→ ci ↔ cj B AE(i, j) = B; (ii) A −−−→ ri × k B E(i(k))A = B, A −−−→ ci × k B AE(i(k)) = B; (iii) A −−−−−−−→ ri + rj × k B E(i, j(k))A = B, A −−−−−−−→ ci + cj × k B AE(j, i(k)) = B. 9. (1) eAå_, Ú(A, E) −−−−→ 1CÜ (E, X), KX = A−1 . (2) (i) eAX = BÖAå_, Ú(A, B) −−−−→ 1CÜ (E, X), KX = A−1B. (ii) eXA = BÖAå_, KAT XT = BT , Ú(AT , BT ) −−−−→ 1CÜ (E, XT ), KXT = (AT ) −1BT , l X = BA−1 . (), ï˛ÜÇ5êß| 1. βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5L— ⇔ 3ò|Ík1, k2, · · · , ks¶k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = β ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βk)(x1, x2, · · · , xs) T = (k1, k2, · · · , ks) T . 2. βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsçòÇ5L—(½¸´±˛Ç5L—,ÿUÇ5L—) ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βkçò)(ðı,Ã)) ⇔ r(B) = r(A) = s(½r(B) = r(A) < s, r(A) < r(B)). Ÿ•A = (α1, α2, · · · , αs), B = (A, β). 3. ï˛|B = (β1, β2, · · · , βn)å±dA = (α1, α2, · · · , αm)Ç5L´ ⇔êßAX = Bk)⇔ r(A, B) = r(A); 4. ï˛|A = (α1, α2, · · · , αm)ÜB = (β1, β2, · · · , βn) d⇔r(A, B) = r(A) = r(B). 1
5.若AB=C,则下列说法成立 1)若B=(8.82..,.m).C=(y …,m),则A6=(1≤i≤m) (2)C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，表示的矩阵为B (③)若B为可逆方阵，则C与4的列 向量组等价： (④)C的行向量组可以由B的行向量组线性表示，表示的矩阵为A (⑤)若A为可逆方阵，则C与B的行向量组等价： 6.向量组a1,2, ·,0。线性相关 片存在一组不全为零的数1，k2,…,k,使得1Q1+k2Q2+…十k,an=0 分齐次方程组(@1,2，…，a,z=0有非零解 存在某a:2可由其余s一1个向量线 7.n个n维向量线性相关台 n=c:m个m维向量组成的向量组，当维数n小于个数m时一 定线性相关.n+1个n维向量一定线性相关 &向量组01,02，…，，线性无关 如果k 2+…+k,an=0必有k 次线性方程组@，…，。z=0识有等彩≤ 分r(a1,a2,·,0w)=8. ÷每一个向量a,都不能用其余s-1个向量线性表出. 9.向量组a1,2,…,a,线性相关台a,可用其余s-1个向量线性表出. 10.若向量组a1,a2,…,a,可由向量组31,2，…，月线性表出且s>t,则a1,2,…,a,线性相关 等价地说：若向量组a1,2,…,a,线性无关且可由向量组81,2，…，B线性表出，则s≤t 11.若(61.B2.,,8m)=（a1.2..,.am)Knx,则 0若a1,a2,…,an线性无关，则31,32，…，Bn线性无关=K1≠0 (回若Kxm可逆，则31,2，…，8n与1,32，·，3n或者同时线性相关或者同时线性无关 12.:)r(4)=A中非零子式的最高阶数=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列 向量组的秩)=A的行阶梯形矩阵中非零行的个数。 ()矩阵A的秩rA)≥r=A中有r阶子式不为0 ()矩阵A的秩(A A中r阶子式全为0 (w)若A为非零矩阵，则r(4)≥1 13.(r(A)=r(4),r(4A)=r(4,r(kA)=r(A),k≠0 ()r(Amxn))≤min{m,n,r(AB≤mim{r(A,r(B),r(A+B)≤r(A)+r(B ()若A可逆，则r(AB)=r(B),若B可逆，则r(AB)=r(4:若r(Amxn)=n,则r(AB)=r(B), 若r(Bx)=n,则r(AB)=r(A: ()若Amxn,Bnxp满足AB-0,则r(A)+r(B)≤n n,r(A)=n (W)r(A)= 1,r(4)=n-1 0,r(A)<n 14.设A是m×n矩阵，则 2
5. eAB = C,Ke`{§· (1) eB = (β1, β2, · · · , ·m), C = (γ1, γ2, · · · , γm), KAβi = γi(1 ≤ i ≤ m) (2) Cï˛|å±dAï˛|Ç5L´, L´› èB; (3) eBèå_ê , KCÜAï˛| d; (4) C1ï˛|å±dB1ï˛|Ç5L´,L´› èA; (5) eAèå_ê , KCÜB1ï˛| d; 6. ï˛|α1, α2, · · · , αs Ç5É' ⇔ 3ò|ÿ è"Ík1, k2, · · · , kn,¶k1α1 + k2α2 + · · · + ksαn = 0 ⇔ ‡gêß|(α1, α2, · · · , αs)x = 0kö") ⇔ r(α1, α2, · · · , αs) t,Kα1, α2, · · · , αsÇ5É'. d/`:eï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã'Öådï˛|β1, β2, · · · , βt Ç5L—, Ks ≤ t. 11. e(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)Kn×n, K (i) eα1, α2, · · · , αnÇ5Ã', Kβ1, β2, · · · , βnÇ5Ã' |K| 6= 0; (ii) eKn×nå_, Kβ1, β2, · · · , βnÜβ1, β2, · · · , βn½ˆ”ûÇ5É'½ˆ”ûÇ5Ã'. 12. :(i) r(A) = A•ö"f™Åp Í= A1ù(› A1ï˛|ù)= Aù(› A ï˛|ù)= A1 F/› •ö"1áÍ. (ii) › Aùr(A) ≥ r A •kr f™ÿè0; (iii) › Aùr(A) < r A •r f™ è0; (iv) eAèö"› ,Kr(A) ≥ 1. 13. (i) r(A) = r(AT ), r(AT A) = r(A), r(kA) = r(A), k 6= 0; (ii) r(Am×n) ≤ min{m, n}, r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); (iii) eAå_, Kr(AB) = r(B), eBå_, Kr(AB) = r(A);er(Am×n) = n, Kr(AB) = r(B), er(Bn×s) = n, Kr(AB) = r(A); (iv) eAm×n, Bn×p˜vAB = 0,Kr(A) + r(B) ≤ n; (v) r(A∗ ) = n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) < n 14. A¥m × n › ,K 2
(1)r(4)<n分A缸=0有非零解，等价说法，r(Amxm)=n÷A=0只有零解 2)若A是刀阶矩阵.Ax三0有非零解的东要条件是A1三0. (3)A=0有非零解的充分条件是， (即方程个数<未知数个数) (4)AB=0r(A)+r(B)≤n,且B的每一列均为Ar=0的解 16.)如果1,52是Ar=b的两个解，则61-2是A=0的解 (回如果，是A 0的两个解，则其线性组合1m+k2m仍是A=0的解 ()如果E是A红=的解，n是A红=0的解，则+n仍是A红=b的解 17.令S={xAx=0以，即S是A红=0的所有解的集合，则s为一个向量空间，称为Az=0的解空间. (1)S的一个极大线性无关组1,2，，称为4x=0一个的基础解系此时红=k1m+22+…十 是Ax=0的通解，其中k1,k2 ,k是任意常数，基础解系中解向量的个数t=n一r(A)=自由变量的 (②)若是A=b的一个特解，m,2,…,m为其导出组A=0一个的基础解系则r=k1n+k2+ ,,+k+0是Ax=0的通解其中k1.,·,,k是任意常数. (3)若Az=b(≠0)有k个线性无关的解，则A红=0有k-1个线性无关的解，从而k-1≤n一r(A). (4若61，·，是A红=0的k个线性无关的解，5o是Ar=bb≠0)的解，则51+o,…,64+0,o是Ar= ≠0)的k+1个线性无关的解. 18.设Ax=bb≠0)，r(4)=r,则r(4)=r(4,)或r(4)=r(4,b)-1. 1…061r+1…61md4 (4b) 0.1br41,,bmd 0…00 …0dr+ 0...00...00 (（)若dr+1≠0，则r(4A)=r(A,b)-1,A红=b无解：(2)若d,+1=0,则(A)=r(A)=,可得到出 =0的基础解析为： -b1r+2 -b1 h -ber+3 E2 0 Ax=b的特解0 0 0 于是A工=b通解为 n-r5n-,十60，其中和1，·，kn-,为任意常数 (三)，矩阵的特征值和特征向量，实对称矩阵及二次型 1.设A是n阶矩阵.若存在数入及非零的n维列向量a,使得Aa=λa成立.则称入是矩阵A的特征值.称非 零向量。是矩阵A属于特征俏入的特征向量 是矩阵A属于特征值λ的特征向量三是齐次线性方程组(E一A)x=0的非零解 2.若Ar=0有非零解，则4有特征值0且4红=0的所有非零解为属于特征值0的特征向量。 3.设n阶矩阵A=(a)的特征值为入1,2，…，入，A为A伴随矩阵，f)为多项式，则 (i)入1+2+·+入m=a11+022+·+anm=tr(A: 3
(1) r(A) < n ⇔ Ax = 0kö"), d`{, r(An×m) = n ⇔ Ax = 0êk"). (2) eA¥n › ,Ax = 0kö")øá^á¥|A| = 0. (3) Ax = 0kö")ø©^á¥m < n(=êßáÍ<ôÍáÍ) (4) AB = 0 ⇔ r(A) + r(B) ≤ n, ÖBzò˛èAx = 0). 16. (i) XJξ1, ξ2¥Ax = b¸á),Kξ1 − ξ2¥Ax = 0); (ii) XJη1, η2¥Ax = 0¸á), KŸÇ5|‹k1η1 + k2η2 E¥Ax = 0). (iii) XJξ ¥Ax = b),η¥Ax = 0 ),Kξ + ηE¥Ax = b ). 17. -S = {x|Ax = 0}, =S¥Ax = 0§k)8‹,KSèòáï˛òm,°èAx = 0)òm. (1) Sòá4åÇ5Ã'|η1, η2, · · · , ηt°èAx = 0òáƒ:)X.dûx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í, ƒ:)X•)ï˛áÍt = n − r(A) =gdC˛ áÍ. (2) eη0¥Ax = bòáA),η1, η2, · · · , ηt蟗|Ax = 0òáƒ:)X,Kx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt + η0¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í. (3) eAx = b(6= 0)kkáÇ5Ã'),KAx = 0kk − 1áÇ5Ã'), l k − 1 ≤ n − r(A). (4) eξ1, · · · , ξk¥Ax = 0káÇ5Ã'),ξ0¥Ax = b(b 6= 0)),Kξ1 + ξ0, · · · , ξk + ξ0, ξ0¥Ax = b(6= 0)k + 1áÇ5Ã'). 18. Ax = b(b 6= 0), r(A) = r, Kr(A) = r(A, b)½r(A) = r(A, b) − 1. (A . . .b) ∼ 1 · · · 0 b1r+1 · · · b1n d1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 brr+1 · · · brn dr 0 · · · 0 0 · · · 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 0 · · · 0 0 , (1) edr+1 6= 0, Kr(A) = r(A, b) − 1, Ax = bÃ);(2) edr+1 = 0, Kr(A) = r(A, b) = r, å— |Ax = 0ƒ:)¤è: ξ1 = −b1r+1 . . . −brr+1 1 0 . . . 0 , ξ2 = −b1r+2 . . . −brr+2 0 1 . . . 0 , · · · , ξn−r = −b1n . . . −brn 0 0 . . . 1 , Ax = bA)ξ0 = d1 . . . dr 0 . . . 0 , u¥Ax = bœ)èx = k1ξ1 + · · · + kn−rξn−r + ξ0,Ÿ•k1, · · · , kn−rè?ø~Í. (n), › Aä⁄Aï˛, ¢È°› 9g. 1. A¥n › ,e3Íλ9ö"nëï˛α, ¶Aα = λα§·,K°λ¥› AAä,°ö "ï˛α¥› A·uAäλ Aï˛. α¥› A·uAäλAï˛ α¥‡gÇ5êß|(λE − A)x = 0ö"); 2. eAx = 0kö"), KAkAä0ÖAx = 0§kö")è·uAä0Aï˛. 3. n › A = (aij )Aäèλ1, λ2, · · · , λn, A∗èAäë› , f(x)èıë™, K (i) λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A); 3
(ml4川=A12…入n,f(Al=f(A)…fAn)月 (曲)若A可逆，则A的特征值为(1≤i≤n. 4.入为A的特征值，则kA,aA+bE,A2,Am,fA),A-1,A有以特征值分别为kX,aA+b,X2,Am,f),A-,, 且对应的特征向量相同. 5.设f(4)=0,其中f(4A)是fx)关于A的多项式矩阵.若入是A的特征值，则λ是fx)的根. 6.属于A互不相同的特征值的特征向量一定线性无关.特别地，若A为是对称矩阵，属于A互不相同的 特征值的特征向量一定正交 7.若n阶矩阵A的各行元素之和为常数a,则a是A的一个特征值，a=(1,…,1)T是对应的一个特征向 量 若A=(a),则r(4)=1=A=aBT,其中a=(a1,a2,…,an)TB=1,b2,…,bn)T为n维列向量. 因此 (i)tr(A)= nn ab1+…+anbn=Ta 间f)=E-A=-a+ 十ann -1.可见，若Ba=a1+…+am≠0，则A的n个特征值 是X1=a11+…+am,2=…=入n=0,A与对角矩阵相似 9.设A为n阶实对称矩阵方阵且r(A)=r,则A的非零特征值的个数为r,特征值0的重数为n-r(4).因 此，若r(A)<n,则0是A的n-r(A)重特征值. 10.n阶方阵A与对角矩阵相似二A有n个线性无关的特征向量 与对于矩阵A的每一个：重特征值入：，秩r(入E-A)=n-: 11.若A有个不同的特征值，则A与对角矩阵相似：实对称矩阵一定与对角矩阵相似 12.A=(a,B=(g,若A与B相似，则4=B,∑14=∑b,r(A)=r(B),f(4= f(B),r(f(A))=r(f(B)),E-A=E-B,. 13相似对角化A为对角矩阵A的解题步骤（以n=3为例 第一步，先求出A的特征1,2,A3 第二步，再求所对应的线性无关的特征向量a1,a2,ag: 第三步，构造可逆矩阵P=(a1,a2,ag),则P-1AP 2 注()P中a与x,的位置的对应关系；(2)P不是唯一的. 14.实对称矩阵4的特性及用正交矩阵化A为相似标准形的解题方法 ().实对称矩阵的特性 0实对称矩阵必可对角化：田特征值全是实数特征向量都是实向量：)不同特征值的特征向量 互相正交：v)r(A)=A的非零特征值的个数（考虑重数） (2).用正交矩阵化A为相似标准形的解题步骤（以n=3为例） 第一步，先求出A的特征X1,A2,A3: 第二步，再求所对应的线性无关的特征向量1，a2,3 4
(ii) |A| = λ1λ2 · · · λn, |f(A)| = f(λ1)· · · f(λn); (iii) eAå_, KA∗Aäè|A| λi (1 ≤ i ≤ n). 4. λèAAä, KkA, aA+bE, A2 , Am, f(A), A−1 , A∗k±Aä©Oèkλ, aλ+b, λ2 , λm, f(λ), λ−1 , |A| λ , ÖÈAAï˛É”. 5. f(A) = 0, Ÿ•f(A)¥f(x)'uAıë™› .eλ¥AAä, Kλ¥f(x)ä. 6. ·uApÿÉ”AäAï˛ò½Ç5Ã'. AO/, eAè¥È°› , ·uApÿÉ” AäAï˛ò½. 7. en › Aà1ÉÉ⁄è~Ía,Ka¥AòáAä, α = (1, · · · , 1)T¥ÈAòáAï ˛. 8. eA = (aij ), Kr(A) = 1 A = αβT , Ÿ•α = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) Tènëï˛. œd (i) tr(A) = a11 + · · · + ann = a1b1 + · · · + anbn = β T α; (ii) f(λ) = |λE − A| = λ n − (a11 + · · · + ann)λ n−1 .åÑ,eβ T α = a11 + · · · + ann 6= 0,KAnáAä ¥λ1 = a11 + · · · + ann, λ2 = · · · = λn = 0,AÜÈ› Éq. 9. Aèn ¢È°› ê Ör(A) = r, KAö"AäáÍèr,Aä0Íèn − r(A).œ d, er(A) < n,K0¥An − r(A)Aä. 10. n ê AÜÈ› Éq AknáÇ5Ã'Aï˛. Èu› AzòániAäλi ,ùr(λiE − A) = n − ni . 11. eAknáÿ”Aä, KAÜÈ› Éq;¢È°› ò½ÜÈ› Éq. 12. A = (aij , B = (bij ), eAÜBÉq, K|A| = |B|, Pn i=1 aij = Pn i=1 bij , r(A) = r(B), |f(A)| = |f(B)|, r(f(A)) = r(f(B)),|λE − A| = |λE − B|, ∀λ. 13 ÉqÈzAèÈ› Λ)K⁄½(±n = 3è~) 1ò⁄,k¶—AAλ1, λ2, λ3; 1⁄,2¶§ÈAÇ5Ã'Aï˛α1, α2, α3; 1n⁄,Eå_› P = (α1, α2, α3) ,KP −1AP = λ1 λ2 λ3 . 5 (1) P•αiÜλi†òÈA'X; (2) Pÿ¥çò. 14. ¢È°› AA59^› zAèÉqIO/)Kê{ (1). ¢È°› A5 (i) ¢È°› 7åÈz; (ii) Aä ¥¢Í,Aï˛—¥¢ï˛; (iii) ÿ”AäAï˛ pÉ;(iv) r(A) = Aö"AäáÍ(ƒÍ) (2). ^› zAèÉqIO/)K⁄½(±n = 3è~) 1ò⁄,k¶—AAλ1, λ2, λ3; 1⁄,2¶§ÈAÇ5Ã'Aï˛α1, α2, α3; 4
第三步，用Schmidt正交化方法化a1,a2,a3为正交单位向量组5,2，，令P=(S,2,飞).则P-1AP PT AP 15.()将线性无关的向量a1,2正交单位化 回正交化 =a1,2=2-月 (田)单位化：记 前t=1.2 (2)若a12,Qg线性无关两两正交，则只需单位化：记=高，i=1,2,3. 16.f,)=A,其中A是n阶对称矩阵（A=r 17.只含平方项的二次型f(红1，工2…，工n)=kx+…+kn员，其中1，…，kn为实数称为二次型的标 准形：若k1,·,kn只能为-1,0,1，这样的标准形称为二次型的规范形. 18.任意n元一次型xTAx都可以通过变换工=C(C可逆)化成标准形即xTAx=TAw=d2 +d,其中A=CTAC.特别地，存在正交变换 Q(Q是正交矩阵)化A为标准形 即rA=1听+2+…+X,A=QTAQ=Q-1AQ,这里1，,…,n是二次型矩阵A的m个特征 值。 19.用正交变换化二次型为标准形的解题步骤为 第一步.把二次型表示为矩阵形式xTAx: 第一步求正交钜O」 1,2 ,n)使得QFAQ=diag(A,,n） 第三步，令=Q,得TAr=听+2+…+入n 20.若A和B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C使得B=CTAC,则称矩阵A和B合同】 21.惯性定理：设有二次型f( 2 nm)=xTA,J的秩为r,有两个可逆变换x=Py,x=Qz使∫= 听+…+k,k≠0及f=1好+…+A品，AM≠0，则k1,…,k,中正数的个数与A A中正数的个 数相等 2.二次型的标准形中正系数 个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为二次型的负惯性 指数，若f正惯性指数为,秩为，则∫负惯性指数为 ,f的规范形为f=+…+呢-呢+1-…- (1)二次型xTAz的秩=(A)=A的非零特征值的个数（考虑重数）： (2)二次型xTAz的正惯性指数=A的正特征值的个数=f的规范形中系数1的个数： (3)二次型xTAx的负惯性指数为=A的负特征值的个数=f的规范形中系数-1的个数 (④r)= (A正惯性指数+负惯性指 (⑤)实对称矩 A与B合同=二次型FAr与rBr有相同的正，负惯性指数=AB的正负特征值的个 数（考虑重数）分别相等. (6)实对称矩阵A与B相似一A与B有相同的特征值，因此，若A与B相似，则A与B合同：但A与B合同不 论推出A与B相似. (T)实对称矩阵A与B合同，则A与B刷或者同时为0或者符号相同。 23.n元二次型xTAx(4)正定 ÷对任意0≠0∈m,话Ao(定义) 台xTAx的正惯性指数D=刀 A与E合同，即有可逆矩阵C,使CTAC=E A的所有特征值 全大于 ÷A的顺序主子式全大于零 5
1n⁄,^Schmidtzê{zα1, α2, α3踆ï˛|ξ1, ξ2, ξ3, -P = (ξ1, ξ2, ξ3) ,KP −1AP = P T AP λ1 λ2 λ3 .; 15. (1) ÚÇ5Ã'ï˛α1, α2¸†z, (i) z: β1 = α1, β2 = α2 − (α2,β1) (β1,β1) β1. (ii) ¸†z: Pγi = βi |βi| , i = 1, 2. (2) eα1, α2, α3Ç5Ã'¸¸,KêI¸†z: Pγi = βi |βi| , i = 1, 2, 3. 16. f(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,Ÿ•A¥n È°› (AT = A), r(A) = r(f) . 17. ê¹²êëg.f(x1, x2, · · · , xn) = k1x 2 1 + · · · + knx 2 n , Ÿ•k1, · · · , knè¢Í°èg.I O/;ek1, · · · , knêUè−1, 0, 1,˘IO/°èg.5â/. 18. ?øng.x T Ax —屜LCÜx = Cy(Cå_)z§IO/,=x T Ax = y TΛy = d1y 2 1 + d2y 2 2 + · · · + dny 2 n ,Ÿ•Λ = C T AC. AO/, 3CÜx = Qy (Q ¥› )zx T Ax èIO/, =x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n , Λ = QT AQ = Q−1AQ,˘pλ1, λ2, · · · , λn¥g.› A náA ä. 19. ^CÜzg.èIO/)K⁄½è: 1ò⁄, rg.L´è› /™x T Ax; 1⁄, ¶› Q = (γ1, γ2, · · · , γn)¶QT AQ = diag(λ1, · · · , λn). 1n⁄, -x = Qy, x T Ax = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + · · · + λny 2 n . 20. eA⁄Bèn › , e3å_› C¶B = C T AC,K°› A⁄B‹”. 21. .5½n: kg.f(x1, x2, · · · , xn) = x T Ax,fùèr,k¸áå_CÜx = P y, x = Qz¶f = k1y 2 1 + · · · + kry 2 r , ki 6= 09f = λ1z 2 1 + · · · + λrz 2 r , λi 6= 0,Kk1, · · · , kr•ÍáÍÜλ1, · · · , λr•Íá ÍÉ . 22. g.fIO/•XÍáÍ°èg..5çÍ,KXÍáÍ°èg.K.5 çÍ,ef.5çÍèp,ùèr,KfK.5çÍèr − p,f5â/èf = y 2 1 + · · · + y 2 p − y 2 p+1 − · · · − y 2 r . (1) g.x T Axù= r(A) = Aö"AäáÍ(ƒÍ); (2) g.x T Ax.5çÍ= AAäáÍ= f5â/•XÍ1áÍ; (3) g.x T AxK.5çÍè= AKAäáÍ= f5â/•XÍ−1áÍ; (4) r(f) = r(A) =.5çÍ+K.5çÍ. (5) ¢È°› AÜB‹” g.x T Ax Üx T BxkÉ”,K.5çÍ A, BKAäá Í(ƒÍ)©OÉ . (6) ¢È°› AÜBÉq AÜBkÉ”Aä,œd,eAÜBÉq,KAÜB‹”;AÜB‹”ÿ ÿÌ—AÜBÉq. (7) ¢È°› AÜB‹”,K|A|Ü|B|½ˆ”ûè0½ˆŒ“É”. 23. ng.x T Ax(A)½ ⇔ È?ø0 6= x0 ∈ Rn, x T 0 Ax0(½¬) ⇔ x T Ax .5çÍp = n ⇔ A ÜE‹”ß=kå_› C߶C T AC = E ⇔ A§kAä åu" ⇔ A^SÃf™ åu" 5
二，线性代数中的典型思路 1.题设与代数余子式或伴随矩阵A有关，一般利用行列式展开定理或公式AA=A4“=14E求解： 2.涉及两个矩阵是否可交换AB=BA?,一般用逆矩阵的定义进行分析： 3.涉及到初等变换问题.一般利用初等矩阵转化为矩阵关系式讨论： 4.求参数问题，一般可考虑是否存在行列式为零的等式 5 已知 个向量组的行列式或线性相关性，研究与之相关的向量组的行列式或线性相关性时，可考 虑向量组的线性表示，转化为矩阵求解： 6.向量组的个数等于向量的维数时，向量组的线性相关性一般可考虑向量组的组成的行列式是否为 零 7.若已知AB=0.则想到B的每一列均为Ax=三0的解.且rA)+(B)<n 8.若已知线性方程组的的线性无关解1，·，，可考虑由基础解析所含解向量的个数满足n-r(4)≥ 转化为系数矩阵秩的关系 9.n阶矩阵A可以对角化÷入(k重根)，有n-r(A,E-A)=k; 10.若己知二次型f(工1,2，)的具体形式，则一般将相关问题转化为二次型实对称矩阵的特征值，特 征向量进行分析. 三，典型例题 (一)填空题 1.()设a,3,为3为列向量，已知行列式4y-a,B-2,2=40,则行列式a,3,= (2)己知a1,02为2维列向量，矩阵A-(2a1+a2,a1-2,B-(a1,02),若行列式A-6,则B= (3)若a1:a2,ag,3,32都是4维列向量，且4阶行列式a1,a2,a3:月1=m,a1,a2,2,agl=n,则4阶行列 式a,a2,1,月+3z= 2.(1)设A,B均为n阶矩阵，A4=2,B引=-3，则2AB-1=- (2)设矩阵A= 21）,E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E,则B=一 -12 12-1 (3)设a,均为3维列向量，3T是3的转置矩阵，如果aBT 36-3 则ar3=() 24-2 (4)设A,B为3阶矩阵，且A川=3，B剧=2A+B=2,则A1+B-1 12-1 (⑤)A=a= 36-3 则AE-A川=(). -2 6
, Ç5ìÍ•;.g¥ 1. KÜìÍ{f™½äë› A∗k', òÑ|^1™–m½n½˙™A∗A = AA∗ = |A|E¶); 2. 9¸á› ¥ƒåÜAB = BA?,òÑ^_› ½¬?1©¤; 3. 9– CÜØK, òÑ|^– › =zè› 'X™?ÿ; 4. ¶ÎÍØK, òÑ僥ƒ31™è" ™; 5. Æòáï˛|1™½Ç5É'5, ÔƒÜÉÉ'ï˛|1™½Ç5É'5û, å ƒï˛|Ç5L´,=zè› ¶); 6. ï˛|áÍ uï˛ëÍû, ï˛|Ç5É'5òÑåƒï˛||§1™¥ƒè "; 7. eÆAB = 0, KéBzò˛èAx = 0), Ör(A) + r(B) ≤ n. 8. eÆÇ5êß|Ç5Ã')ξ1, · · · , ξs, åƒdƒ:)¤§¹)ï˛á͘vn−r(A) ≥ s=zèXÍ› ù'X. 9. n › Aå±Èz⇔ ∀λi(kiä), kn − r(λiE − A) = ki ; 10. eÆg.f(x1, x2, x3)‰N/™, KòÑÚÉ'ØK=zèg.¢È°› Aä, A ï˛?1©¤. n, ;.~K (ò) WòK 1. (1) α, β, γè3èï˛, Æ1™|4γ − α, β − 2γ, 2α| = 40, K1™|α, β, γ| = . (2) Æα1, α2è2ëï˛, › A = (2α1 + α2, α1 − α2), B = (α1, α2),e1™|A| = 6, K|B| = . (3) eα1, α2, α3, β1, β2—¥4ëï˛,Ö4 1™|α1, α2, α3, β1| = m, |α1, α2, β2, α3| = n,K4 1 ™|α3, α2, α1, β1 + β2| = 2. (1) A, B˛èn › ,|A| = 2, |B| = −3,K|2A∗B−1 | = . (2) › A = 2 1 −1 2 ! , Eè2 ¸†› , › B˜vBA = B + 2E, K|B| = . (3) α, β˛è3ëï˛, β T¥β=ò› ,XJαβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , Kα T β = ( ). (4) A, Bè3 › ,Ö|A| = 3, |B| = 2,|A + B| = 2, K|A−1 + B−1 | = . (5) A = αβT = 1 2 −1 3 6 −3 2 4 −2 , K|λE − A| = ( ). 6
3.①)已知A,B为n阶矩阵，且A?+AB=E,r(B)=2,则秩r(AB-2BA-B)= (2)设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式A=0,则A的秩为 (3)设A是n阶实对称矩阵.满足A1+2A2+42+2A=0.若(A)=r,则A+3= (4已知A是3阶实对称矩阵，满足A+243+42+2A=0,且秩r(4)=2,则4的特征值为一-，秩r(A+ E)= ()设a1=(L,2,-1,0)T,a2=(1,1,0,2)T,ag=(2,1,1,a)T,若由a1,a2,g生成的向量空间的维数 是2，则a= 21-2 (6)设A= 520 ,B是3阶非0矩阵，且AB=0,则a=(). 3a4 2-13 ()设A= 1 ,若存在秩大于1的3阶矩阵B使得BA=0,则An=(). 4(山)设A为3阶矩阵，4=3，A为A的伴随矩阵.交换A的第1行与第2行得矩阵B,则BA1=一 (2)设A为3阶矩阵，A为A的伴随矩阵，14=，则（号A)-1-8A|=( (3).(山)设4阶矩阵A与B相似，B是B的伴随矩阵，若B的特征值是1，-1,2,4，则AA= (②)(2013)设A-(a)为3阶非零矩阵，4为4的行列式，A为a的代数余子式.若a与+A=0,i,j 1.2.3.则1A= 5.()向量a1=(2,1,1,1),a2=(2,1,a,a,g=(3,2,1,a,a4=(4,3,2,1)线性相关且a≠1，则a= (2)已知向量组8=(1，-3,6，-1)7,2=(a,0,6,2)7可以由向量组a1=(1,3,0,5)7,a2=(1,2,1,47,ag= (1,1.2.3)2线性表示则a=.b= =(2,3,a,ag=(，a+2,-27若=(1,3,4可由a1,a2,ag线性表出， 线性表出，则a= (4④向量a-(1,1,1)关于R3的基a1-(1,1,1),02-(0,1,1)T,a3=(0,0,1)F的坐标为--
3.(1) ÆA, Bèn › , ÖA2 + AB = E, r(B) = 2, Kùr(AB − 2BA − B2 ) = . (2) 3 › AAäpÿÉ”.e1™|A| = 0,KAùè . (3) A¥n ¢È°› , ˜vA4 + 2A2 + A2 + 2A = 0, er(A) = r, K|A + 3E| = . (4) ÆA¥3 ¢È°› ,˜vA4+2A3+A2+2A = 0 ,Öùr(A) = 2, KAAäè ,ùr(A+ E) = . (5) α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òmëÍ ¥2,Ka = . (6) A = 2 1 −2 5 2 0 3 a 4 ,B¥3 ö0› ,ÖAB = 0,Ka = ( ). (7) A = 2 −1 3 a 1 b 4 c 6 , e3ùåu13 › B¶BA = 0, KAn = ( ). 4. (1) Aè3 › , |A| = 3,A∗èAäë› . ÜA111Ü121› B,K|BA∗ | = . (2) Aè3 › ,A∗ èAäë› , |A| = 1 8 ,K|( 1 3A) −1 − 8A∗ | = ( ); (3). (1) 4 › AÜBÉq, B∗¥Bäë› , eB∗Aä¥1, −1, 2, 4, K||A|A−1 | = . (2) (2013) A = (aij )è3 ö"› ,|A|èA1™, AijèaijìÍ{f™. eaij +Aij = 0, i, j = 1, 2, 3, K|A| = . 5. (1) ï˛α1 = (2, 1, 1, 1), α2 = (2, 1, a, a), α3 = (3, 2, 1, a), α4 = (4, 3, 2, 1)Ç5É'Öa 6= 1, Ka = . (2) Æï˛|β1 = (1, −3, 6, −1)T , β2 = (a, 0, b, 2)Tå±dï˛|α1 = (1, 3, 0, 5)T , α2 = (1, 2, 1, 4)T , α3 = (1, 1, 2, 3)TÇ5L´,Ka = , b = . (3) α1 = (1, 2, 1)T , α2 = (2, 3, a) T , α3 = (1, a + 2, −2)T ,eβ1 = (1, 3, 4)Tådα1, α2, α3Ç5L—,β2 = (0, 1, 2)TÿUdα1, α2, α3Ç5L—,Ka = . (4) ï˛α = (1, 1, 1)'uR3ƒα1 = (1, 1, 1)T , α2 = (0, 1, 1)T , α3 = (0, 0, 1)TãIè . 7
(⑤)设a1=(1,2,-1,0)7,a2=(1,1,0,2)7,ag=(2,1,1,a)T若由a1:a2,a3生成的向量空间的维数 是2.则a= (6)从2的基a1=(1,0)T,a2=(1,-1)T到基品=(L,1)T,品=(1,2)T的过度矩阵为- 6.设A为3阶矩阵，1，a2是Ac=0的基础解析，3阶非零矩阵B满足AB=2B,则4+E引=- 111 7.()设A 201,A是A的伴随矩阵，则Az=0的通解是( -110/ 123 (②)己知A是4×3的非零矩阵，若B 456使得AB=0,则齐次线性方程组Ar=0的通解 789 8.()设3阶矩阵A的特征值为1,2,3.E为3阶单位矩阵，则4A-1-E=一一 (②)若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，寺，，点，则行列式B-1-E= (3)设3阶矩阵A的特征值为2,3，.若2A川=-48，则入= (④)设4为2阶矩阵，a1,a2为线性无关的2维列向量.Aa1=0,A2=2a1+a2,则4的非零特征值 为 (6)若3维列向量a,B满足aT3=2,其中aT为a的转置，则3aT的非零特征值为- (6)设A是n阶矩阵，A=E+xy了，x与y都是n×1矩阵，且xy=2,则A的特征值是- 8
(5) α1 = (1, 2, −1, 0)T , α2 = (1, 1, 0, 2)T , α3 = (2, 1, 1, a) T ,edα1, α2, α3)§ï˛òmëÍ ¥2,Ka = . (6) lR2ƒα1 = (1, 0)T , α2 = (1, −1)Tƒβ1 = (1, 1)T , β1 = (1, 2)TL›› è . 6. Aè3 › , α1, α2¥Ax = 0ƒ:)¤, 3 ö"› B˜vAB = 2B, K|A + E| = . 7. (1) A = 1 1 1 2 0 1 −1 1 0 , A∗¥Aäë› ,KA∗x = 0œ)¥( ). (2) ÆA¥4 × 3ö"› , eB = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ¶AB = 0, K‡gÇ5êß|Ax = 0œ) ¥ . 8. (1) 3 › AAäè1, 2, 3.Eè3 ¸†› ,K|4A−1 − E| = . (2) e4 › AÜBÉq, › AAäè1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , K1™|B−1 − E| = . (3) 3 › AAäè2, 3, λ.e|2A| = −48,Kλ = . (4) Aè2 › , α1, α2èÇ5Ã'2ëï˛. Aα1 = 0, Aα2 = 2α1 + α2,KAö"Aä è . (5) e3ëï˛α, β˜vα T β = 2, Ÿ•α Tèα=ò,KβαTö"Aäè . (6) A¥n › , A = E + xyT , xÜy—¥n × 1 › ,Öx T y = 2, KAAä¥ . 8
20 (⑦)设a,3为3维列向量，3T为3的转置，若矩阵a3T相似于 则ra= 000 300 (⑧)设a=(1,1,1)7,B=(1,0,)T若矩阵aT相似 000 9.设向量α1=(12,0)T,2=(1,0,1)T都是矩阵A的对应于特征值入=2的特征向量，又8=(-1,2，-2)T, 则AB= 12a 10.已知矩阵A 430可以对角化，入=5是矩阵A的二重特征值，则a=一b=一 25 .()设二次型f1,x2,x)=xTAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Q下的标 准形为 (2)若二次曲面的方程x2+32+22+2ary+2x2+2-4经正交变换化为+4好-4，则a (3)已知二次型f1,2,)=片+号+号+2a12+2红1x经正交变换化为标准形+2妮，则a (④二次型rTA杠=子+ar号+巧+212-2r23-2ax的正，负惯性指数都是1，则a- 100 (⑤)若实对称矩阵A与B 0-12 合同，则二次型xAx的规范形为一 022 9
(7) α, βè3ëï˛,β Tèβ=ò,e› αβTÉqu 2 0 0 0 0 0 0 0 0 , Kβ T α = . (8) α = (1, 1, 1)T , β = (1, 0, k) T .e› αβTÉqu 3 0 0 0 0 0 0 0 0 , Kk = . 9. ï˛α1 = (1, 2, 0)T , α2 = (1, 0, 1)T—¥› AÈAuAäλ = 2Aï˛,qβ = (−1, 2, −2)T , KAβ = . 10. Æ› A = 1 2 a 4 3 0 2 b 5 å±Èz, λ = 5¥› AAä, Ka = , b = . 11. (1) g.f(x1, x2, x3) = x T Axùè1,A•à1ÉÉ⁄è3,Kf3CÜx = QyeI O/è . (2) eg°êßx 2 + 3y 2 +z 2 + 2axy + 2xz + 2yz = 4²CÜzèy 2 1 + 4z 2 1 = 4,Ka = . (3) Æg.f(x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 2x1x3²CÜzèIO/y 2 1 + 2y 2 3 ,Ka = . (4) g.x T Ax = x 2 1 + ax2 2 + x 2 3 + 2x1x2 − 2x2x3 − 2ax1x3,K.5çÍ—¥1,Ka = . (5) e¢È°› AÜB = 1 0 0 0 −1 2 0 2 2 ‹”, Kg.x T Ax5â/è . 9
(二)选择题 1.(1)(2008)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0,则 :哥巴e (2)设A.B.A+B.A-1+B-1均为m阶可逆矩阵则(A-1+B-1)-1= (A)A+B (B)A-1+B-1(C)A(A+B)-B (D)(A+B)-1 (3)设A,B,C是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵且ABC=E,则必有 (A)CBA=E (B)BCA=E (C)BAC=E (D)ACB=E (④设A,B,C为n阶矩阵，E为m阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA,则B-C= (A)E (B)-E (C)A (D)-A 1-11 2.()己知A,B为三阶非零矩阵满足AB=0,其中B=2a1-a2a,则 a -a a2-2 (Aa=-1时，必有r(4=1.B)a≠-1时，必有r4=2.(C)a=2时，必有r(A=1.(B) a≠2时，必有r(4)=2 a bb (2)已知A= ba6,r(A°=1)，则 i b a (A)a=b=0`(B)a≠b且a+2h=0(C)a+2b≠0(D)a≠b且a+2b≠0 2 (3)已知4= 2a-14 ,B是3阶非零矩阵，且AB=0,则 3-36 (A)a=-1时，r(B)=1.(B)a=-1时，r(B)=2.(C)a=1时，r(B)=1.(D)a=1时，r(B)=2 123 (④已知Q 24t P是3阶非零矩阵，且PQ=0,则 369 (A)t=6时，r(P)=1.(B)t=6时，r(P)=2.(C)t≠6时，r(P)=1.(D)t≠6时，r(P)=2. (设4B是n阶非零矩阵且AB=0,则r(A),r(B)满足 (A)必有一个等于0：(B)都小于m(C)一个小于n,一个等于：(D)都等于n 10
() ¿JK 1. (1) (2008) Aèn ö"› ,Eèn ¸†› ,eA3 = 0,K (A) E − Aÿå_,E + Aÿå_. (B) E − Aÿå_,E + Aå_. (C) E − Aå_,E + Aå_. (D) E − Aå_,E + Aÿå_. (2) A, B, A + B, A−1 + B−1˛èn å_› ,K(A−1 + B−1 ) −1 = (A) A + B (B) A−1 + B−1 (C) A(A + B) −1B (D) (A + B) −1 (3) A, B, C¥n › , Eèn ¸†› ÖABC = E, K7k (A) CBA = E (B) BCA = E (C) BAC = E (D) ACB = E (4) A, B, Cèn › ,Eèn ¸†› , eB = E + AB, C = A + CA,KB − C = (A) E (B) −E (C) A (D) −A 2. (1) ÆA, Bèn ö"› ˜vAB = 0,Ÿ•B = 1 −1 1 2a 1 − a 2a a −a a2 − 2 , K (A) a = −1û, 7kr(A) = 1. (B) a 6= −1û, 7kr(A) = 2. (C) a = 2û, 7kr(A) = 1. (B) a 6= 2û, 7kr(A) = 2. (2) ÆA = a b b b a b b b a , r(A∗ = 1) ,K (A) a = b = 0 (B) a 6= bÖa + 2b = 0(C) a + 2b 6= 0 (D) a 6= bÖa + 2b 6= 0 (3) ÆA = 1 −1 2 2 a − 1 4 3 −3 6 , B¥3 ö"› ,ÖAB = 0,K (A) a = −1û,r(B) = 1. (B) a = −1û,r(B) = 2. (C) a = 1û,r(B) = 1. (D) a = 1û,r(B) = 2. (4) ÆQ = 1 2 3 2 4 t 3 6 9 , P¥3 ö"› ,ÖP Q = 0,K (A) t = 6û,r(P) = 1. (B) t = 6û,r(P) = 2. (C) t 6= 6û,r(P) = 1. (D) t 6= 6û,r(P) = 2. (5) A, B¥n ö"› ÖAB = 0, Kr(A), r(B)˜v (A) 7kòá u0; (B) —un; (C) òáun, òá un; (D) — un. 10