第十三讲 随机事件和概率 一.考试内容与要求 分数一、三有不同要求，区分了解、理解、掌握（本次课中要求均一致）。 1,考试内容 随机事件与样本空间、事件的关系与运算 ,完各事件组、概率的概念、概率的基本性质 古典概型、几何概型、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验。 2.考试要求 (1)了解样本空间的概念，理解随机事件的将今，堂据事件间的关系及坛篁。 (3)理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算的方法，理解独立重 复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二.考试内容解析 古典概型 几何概型 加法B+C 样本空间2 减法B-C 随机试验E→ 随机事件A →P(4)五大公式条件概率B/C和乘法公式B(C 全概公式 贝叶斯公式 独立性 贝努里概型 (一)随机事件与样本空间 1.基本概念 必然现象：在一定条件下必然出现的现象。 随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 随机试验：满足三个条件的试验：(1)可以在相同条件下重复进行：(2)每次试验结果不止 一个，且可以事先明确所有可能出现的结果：(3)进行一次试验之前，不能确定会出现哪 个结果。 样本空间：试验的所有基本结果的集合，用Ω表示。 事件：样本空间的子集，即随机试验的可能的结果，常用A,B,C,…表示
1 第十三讲 随机事件和概率 一.考试内容与要求 分数一、三有不同要求，区分了解、理解、掌握（本次课中要求均一致）。 1.考试内容 随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完备事件组、概率的概念、概率的基本性质、 古典概型、几何概型、条件概率、概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验。 2.考试要求 （1） 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。 （2） 理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何 型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式. （3） 理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算的方法，理解独立重 复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 二.考试内容解析 ( ) / B C B C E P A B C BC A + − → → 古典概型 几何概型 加法 减法 样本空间 随机试验 五大公式 条件概率 和乘法公式 随机事件 全概公式 贝叶斯公式 独立性 贝努里概型 （一）随机事件与样本空间 1.基本概念 必然现象：在一定条件下必然出现的现象。 随机现象：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。 随机试验：满足三个条件的试验：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验结果不止 一个，且可以事先明确所有可能出现的结果；（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一 个结果。 样本空间：试验的所有基本结果的集合，用 表示。 事件：样本空间的子集，即随机试验的可能的结果，常用 A，B，C， 表示
必然事件：每次试验中必然发生的事件，用2表示。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，用Φ表示。 基本事件 个元素构成的单点集 2.事件间的关系和运算 关系：包含，相等，互不相容，互逆 运算：并，交，差 (1)句含：A二B:事件A发牛必然导致事件B发生 (2)相等： AC B且AB (3)互不相容：事件A与B不可能同时发生，即AB=中 (4)互逆：若AUB=2且AB=中，则称A与B互逆. 显然，互逆一定互斥，互斥不一定互逆。 (5)并：AUB:事件A与B中至少有一个发生。 AAB:事件A与B同时发生 (7)差：A-B:事件A发生而B不发生。 (8)完备事件组：若事件A,A,…满足U4=2,且A4=(≠)，并且P(4)>0, 则称之为完备事件组。完备事件组可以是有限的，也可以是可数的。 3.话算独 (1)交换律 (2)结合律 (3)分配律 (4)对偶律 (二)事件的概率 概率是事件出现可能性大小的度量，用P(4)表示事件A的概率。 1.概率的概念 在样本空间中，对于每一个事件A,都有唯一的实数P()和它对应，且P()是满足 下列条件的事件A的函数： (1)非负性：P(A)≥0 (2)规范性：对于必然事件2，有P(2)=1 (3)可列可加性：对于两两互斥的可列无穷多个事件A,1=1,2,,有 )-P(4) 则称P(4)为事件A的概率。 2.概率的基本性质 (1)P(①)=0，注意，反之不然！
2 必然事件：每次试验中必然发生的事件，用 表示。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，用 表示。 基本事件：由一个元素构成的单点集。 2.事件间的关系和运算 关系：包含，相等，互不相容，互逆 运算：并，交，差 （1）包含： A B ：事件 A 发生必然导致事件 B 发生 （2）相等： A B = ： A B 且 A B （3）互不相容：事件 A 与 B 不可能同时发生，即 AB = （4）互逆：若 A B = 且 AB = ，则称 A 与 B 互逆。 显然，互逆一定互斥，互斥不一定互逆。 （5）并： A B ：事件 A 与 B 中至少有一个发生。 （6）交： A B ：事件 A 与 B 同时发生。 （7）差： A B− ：事件 A 发生而 B 不发生。 （8）完备事件组：若事件 1 2 A A, , 满足 i i A = ，且 A A i j i j = ( ) ，并且 ( ) 0 P Ai ， 则称之为完备事件组。完备事件组可以是有限的，也可以是可数的。 3.运算律 （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 （4）对偶律 （二）事件的概率 概率是事件出现可能性大小的度量，用 P A( ) 表示事件 A 的概率。 1.概率的概念 在样本空间中，对于每一个事件 A ，都有唯一的实数 P A( ) 和它对应，且 P A( ) 是满足 下列条件的事件 A 的函数： （1） 非负性： P A( ) 0 （2） 规范性：对于必然事件 ，有 P( ) 1 = （3） 可列可加性：对于两两互斥的可列无穷多个事件 , 1,2, A i i = ，有 ( ) 1 1 i i i i P A P A = = = 则称 P A( ) 为事件 A 的概率。 2.概率的基本性质 （1） P( =) 0 ，注意，反之不然！
(2)有限可加性：设事件A,i=L2,…,n,两两互斥，有 P04-2P(4) (3)如果AcB,则P(B-A)=P(B)-P(A),且P(A)sP(B (4)对于任意事件A,有P(=1-P(A) (5)对于任意事件A,B,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) o=oa,=o,)- 设任一事件A,它是由@1,2…0n组成的，则有 P(A)={(U()U…U(on)}=Po,)+Po2)+…+P(om) =m=A所包含的基本事件数 基本事件总数 4.几何型概率 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每 个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A, P(A)=L(A) 其中L为几何度量（长度、面积、体积）。 5.条件概率 定义设A、B是两个事件，且P(4>0,则称1)为事件A发生条件下，事件B发 P(A) 生的条件概率，记为P(B/A)=PLA圆 P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(2B)=1→P(AB)=1-P(AB) 6.计算概率的几个公式： (1)加法公式：对于任意事件A,B,C,有 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
3 （2）有限可加性：设事件 , 1,2, , A i n i = ，两两互斥，有 ( ) 1 1 n n i i i i P A P A = = = （3）如果 A B ，则 P B A P B P A ( − = − ) ( ) ( ) ，且 P A P B ( ) ( ) （4）对于任意事件 A ，有 P A P A ( ) = −1 ( ) （5）对于任意事件 A ， B ，有 P A B P A P B P AB ( = + − ) ( ) ( ) ( ) 3.古典型概率 1° = 1 ,2 n ， 2° n P P P n 1 ( ) ( ) ( ) 1 = 2 = = 。 设任一事件 A ，它是由 1 2 m , 组成的，则有 P A( ) = = ( ) ( ) ( ) 1 2 m ( ) ( ) ( ) P 1 + P 2 ++ P m n m = 基本事件总数 A所包含的基本事件数 = 4.几何型概率 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每 一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A ， 有 ( ) ( ) ( ) = L L A P A 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 5.条件概率 定义 设 A 、 B 是两个事件，且 P A( ) 0 ，则称 ( ) ( ) P A P AB 为事件 A 发生条件下，事件 B 发 生的条件概率，记为 P(B / A) = ( ) ( ) P A P AB 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P B ( =) 1 = − P A B P A B ( ) 1 ( ) 6.计算概率的几个公式： （1）加法公式：对于任意事件 A ， B ，C ,有 P A B P A P B P AB ( = + − ) ( ) ( ) ( ) P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ( = + + − − − + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
上式可以推广到多个事件的情形。 (2)减法公式：对于任意两个事件A,B有 P(A-B)=P(A)-P(AB) (3)乘法公式：对于任意事件A,B,若P(4A)>0,则 P(AB)=P()P(BA) 对于n个事件4,4，…An,若P(44…An)>0,则有 P(AA2…A)=P(A)P(AA)…P(A4…An） (4)全概率公式：设A,A,…A是一个完备事件组，则对于任意事件A,有 P()-P(AA)P(4) (⑤)贝叶斯公式：设A,A,…An是一个完备事件组，则对于任意事件A(P(4A)>0), 有 P(A)P(A4) P44zPP=12. (三)事件的独立性与独立重复试验 1.独立事件 (1)两个事件独立：P(AB)=P(A)P(B) 如果两事件A与B独立，则事件A与B,A与B,A与B也分别独立。 (2)多个事件相互独立：对于个事件A,A,…A,如果其中任两个事件均相互独立，即 对任意1≤1<j≤n,有P(4A）=P(4)P(A),则称A,A,…A两两独立：如果其中 任何k(2≤k≤n)个事件：A,A,A(1≤<<<≤n),均有 P(4A…A)=P(4)P(4)…P(4)则称事件A,A,…An相互独立。 2.独立试验 (1)贝努里试验：只有两个可能结果A,A的试验。 (2)n重贝努里试验：将一贝努里试验重复独立地进行n次，称之为n重贝努里试验。 设在每次试验中P(A)=p(0<p<1),则在n重贝努里试验中，事件A出现k次的概 4
4 上式可以推广到多个事件的情形。 （2）减法公式：对于任意两个事件 A ， B 有 P A B P A P AB ( − = − ) ( ) ( ) (3)乘法公式：对于任意事件 A ， B ，若 P A( ) 0,则 P AB P A P B A ( ) = ( ) ( ) 对于 n 个事件 1 2 , , A A A n ,若 P A A A ( 1 2 1 n− ) 0 ,则有 P A A A P A P A A P A A A ( 1 2 1 2 1 1 1 n n n ) = ( ) ( ) ( − ) （4）全概率公式：设 1 2 , , A A A n 是一个完备事件组，则对于任意事件 A ，有 ( ) ( ) ( ) 1 n i i i P A P A A P A = = （5）贝叶斯公式：设 1 2 , , A A A n 是一个完备事件组，则对于任意事件 A （ P A( ) 0 ）, 有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i k k k P A P A A P A A P A P A A = , i =1,2, （三）事件的独立性与独立重复试验 1.独立事件 （1）两个事件独立： P AB P A P B ( ) = ( ) ( ) 如果两事件 A 与 B 独立，则事件 A 与 B , A 与 B ， A 与 B 也分别独立。 （2）多个事件相互独立：对于 n 个事件 1 2 , , A A A n ，如果其中任两个事件均相互独立，即 对任意 1 i j n ,有 P A A P A P A ( i j i j ) = ( ) ( ) ,则称 1 2 , , A A A n 两两独立；如果其中 任 何 k （ 2 k n ） 个事件： 1 2 , , , k A A A i i i ( 1 2 1 k i i i n ), 均 有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 k k P A A A P A P A P A i i i i i i = ,则称事件 1 2 , , A A A n 相互独立。 2.独立试验 （1）贝努里试验：只有两个可能结果 A ， A 的试验。 （2）n 重贝努里试验：将一贝努里试验重复独立地进行 n 次，称之为 n 重贝努里试验。 设在每次试验中 P A p ( ) = (0 1 p ) ,则在 n 重贝努里试验中，事件 A 出现 k 次的概
率为Cp-p)-t 三.例题详解 例1.袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 答案：子 【提示】本盟主要考查古典概率的计算、全概率公式的应用及买彩票原理。 解法1：由“买彩票模型”立刻可知，第二个人抽得黄球的概率仍为三 解法2： 【典型错误】不知道“买彩票模型”，也不会全事件划分，而是直接把第一个人取得的球去 神后，求第二个人取得黄球的概*为号 例2.设两两独立事件A、B、C满足：ABC=,P()=P(B)=P(C)<),且己知 P(4UBUC)=6则P(4=— 备美子 提示】本题主要考查一般加法公式、独立性。 解 例3设事件A、B、C满足：P(A=P(B)=P(C),P(4B)=0,P(4C)= P(BC)=求P(4UBUC)的值. 提示】本题主要考查：零概率事件并不一定是不可能事件及概率的单调性 解
5 率为 (1 ) k k n k C p p n − − . 三.例题详解 例 1.袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球.今有两人依次随机地从袋中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是__________. 答案： 2 5 . 【提示】本题主要考查古典概率的计算、全概率公式的应用及买彩票原理. 解法 1：由“买彩票模型”立刻可知，第二个人抽得黄球的概率仍为 2 5 . 解法 2： 【典型错误】不知道“买彩票模型”，也不会全事件划分，而是直接把第一个人取得的球去 掉后，求第二个人取得黄球的概率为 19 49 . 例 2. 设两两独立事件 A 、B 、C 满足： ABC = ， ( ) ( ) ( ) 1 2 P A P B P C = = ，且已知 ( ) 9 16 P A B C = ，则 P A( ) = ______. 答案： 1 4 . 【提示】本题主要考查一般加法公式、独立性. 解： 例 3.设事件 A 、 B 、C 满足： ( ) ( ) ( ) 1 = 2 P A P B P C = = ， P AB ( ) = 0, ( ) 1 3 P AC = ， ( ) 1 4 P BC = ,求 P A B C ( ) 的值. 答案： 11 12 . 【提示】本题主要考查；零概率事件并不一定是不可能事件及概率的单调性. 解：
例4.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为。，A发生B不发生的概率与B发 生A不发生的概率相等，则P(4)=一 【提示】本题主要考查事件的独立性及事件的运算法则，应注意独立和不相容是两个不同的 解： 【典型错误】误认为独立性和不相容是相同的含义，从而有部分考生如下计算： g-P(B)=P(B)=1-P(4VB)=1-[P(4)+P(B)-P(4B)]=1-2P(4) 故P(4)=号 例5.设A、B是任两个事件，则PA+B)(A+B)A+B(A+B}= 答案：0. 【提示】本题主要考查随机事件的基本运算 解： 【典型错误】展开运算时不小心而出错。 例6.对于任两个事件A、B,( A若AB≠·，则A与B一定独立B.若AB≠，则A与B有可能独立 C.若AB=,则A与B一定独立D.若AB=,则A与B一定不独立 答案：B. 【提示】本题主要考查事件的不相容与独立性之间的关系. 例7.将一枚硬币独立抛掷两次，令A={掷第一次出现正面}，A,={掷第二次出现正面)， 4={正反各出现一次，A,={正面出现两次，则 A.A,A,4,相互独立B.4,A,A相互独立 D.A,A,A,两两独立D.A,A,A,两两独立 6
6 例 4. 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 9 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发 生 A 不发生的概率相等，则 P A( ) = ____ . 答案： 2 3 . 【提示】本题主要考查事件的独立性及事件的运算法则，应注意独立和不相容是两个不同的 概念. 解： 【典型错误】误认为独立性和不相容是相同的含义，从而有部分考生如下计算： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = 1 1 1 2 9 P AB P A B P A B P A P B P AB P A = = − = − + − = − 故 ( ) 4 9 P A = . 例 5.设 A 、 B 是任两个事件，则 P A B A B A B A B ( + + + + = )( )( )( ) ____ . 答案：0. 【提示】本题主要考查随机事件的基本运算. 解： 【典型错误】展开运算时不小心而出错. 例 6. 对于任两个事件 A 、 B ，（ ） . , . , . , . , A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B = = 若 则 与 一定独立 若 则 与 有可能独立 若 则 与 一定独立 若 则 与 一定不独立 答案： B . 【提示】本题主要考查事件的不相容与独立性之间的关系. 例 7. 将一枚硬币独立抛掷两次，令 A1 ={掷第一次出现正面}， A2 ={掷第二次出现正面}， A3 ={正反各出现一次}， A4 ={正面出现两次}，则 1 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 4 . , , . , . , , . , A A A A B A A A D A A A D A A A 相互独立 ， 相互独立 两两独立 ， 两两独立
答案： 【提示】本题主要考查三个事件的相互独立性和两两独立性， 例8.设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充要条件是( AA与BC独立B.AB与AUC独立 D.AB与AC独立D.AUB与AUC独立 答案：4. 【提示】本盟主要考查三个事件相互独立的条件 例9.设A、B、C相互独立，且00,P(B4)=P(BA,则必
7 答案： 【提示】本题主要考查三个事件的相互独立性和两两独立性. 例 8. 设 A 、B 、C 三个事件两两独立，则 A 、B 、C 相互独立的充要条件是（ ） . . . . A A BC B AB A C D AB AC D A B A C 与 独立 与 独立 与 独立 与 独立 答案： A . 【提示】本题主要考查三个事件相互独立的条件. 解： 例 9. 设 A 、 B 、C 相互独立，且 0 1 P C( ) ，则在下列给定的四对事件中不相互独立 的是（ ） A A B C B AC C C A B C D AB C . . . . + − 与 与 与 与 答案： B . 【提示】本题主要考查随机事件相互独立的概念及性质.对于两个相互独立的事件，其逆事 件也是相互独立的. 解： 【典型错误】从四个选项的结构看，只有（ A ）是考查事件 C 而其余三个考查事件 C ,故部 分同学错误地选了（ A ）. 例 10.设 A 、 B 是任意两个事件，其中 A 的概率不等于 0 和 1.证明： P B A P B A ( ) = ( ) 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件. 【提示】本题主要考查条件概率和事件的独立性.在证明充分性时，可以利用事件独立性的 定义；在证明必要性时，则要应用下面的结论：如果事件 A 与 B 相互独立，则事件 A 与 B ， A 与 B , A 与 B 均相互独立. 证： 例 11.设 A 、 B 是两个随机事件，且 0 1 P A( ) , P B( ) 0, P B A P B A ( ) = ( ) ,则必
A.P(AB)=P(B) B.P(AB)≠P(AB C.P(AB)=P(A)P(B) D.P(AB)≠P(A)P(B) 答案：C. 【提示】本题主要考查条件概率及事件的基本运算， 解： 【典型错误】误认为由P(B卧A)=P(BA可推出选项(A) 例12。甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概 率为0.8，求目标被射中的概率。 提示】本题主要考查加法公式和事件的独立性。 解 例13.某种彩票的中奖概率是p(0<p<),某君一次购买了10张，求其中奖的概率 【提示】本题主要考查个独立事件的并的概率，可以借助对偶律转化为事件的积的概率。 在有独立性假设的概率计算中这是简化计算的有效方法. 解： 例14发报台以概率0.6和0.4发出信号“”和“-”由于通信系统存在随机干扰 当发出信号为“ ”和“ 时，收报台分别以概率0.2和0.1收到信号 和“·” 求收报台收到信号“·”时，发报台确实发出信号“·”的概率。 【提示】本题主要考查贝叶斯公式。 解：
8 有（ ） A . P A B P A B ( ) = ( ) B . P A B P A B ( ) ( ) C . P AB P A P B ( ) = ( ) ( ) D . P AB P A P B ( ) ( ) ( ) 答案： C . 【提示】本题主要考查条件概率及事件的基本运算. 解： 【典型错误】误认为由 P B A P B A ( ) = ( ) 可推出选项（ A ）. 例 12. 甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中的概 率为 0.8，求目标被射中的概率。 【提示】本题主要考查加法公式和事件的独立性. 解： 例 13.某种彩票的中奖概率是 p p (0 1 ) ,某君一次购买了 10 张，求其中奖的概率. 【提示】本题主要考查 n 个独立事件的并的概率，可以借助对偶律转化为事件的积的概率. 在有独立性假设的概率计算中这是简化计算的有效方法. 解： 例 14. 发报台以概率 0.6 和 0.4 发出信号“· ”和“－”，由于通信系统存在随机干扰， 当发出信号为“· ”和“－”时，收报台分别以概率 0.2 和 0.1 收到信号“－”和“· ”。 求收报台收到信号“· ”时，发报台确实发出信号“· ”的概率。 【提示】本题主要考查贝叶斯公式. 解：
例15.设有米自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别 有价5的名表。从中先后出两份 1 (2)己知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。 【提示】本题主要考查条件概率和全概率公式。 解： 例16。会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达 的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？ 【提示】本题主要考查几何概型的解法 例17.在长度为的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率？ 【提示】考查几何概型的解法. 解： 例18.一批零件共100个，其中有次品10个，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回， 求第一 二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率 指案品品0 x90 【问题】本题若改为“己知第一、二次取到的是次品，求第三次取到正品的概率”，答案与
9 例 15. 设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别 为 3 份、7 份和 5 份，随机取一个地区的报名表，从中先后抽出两份 （1） 求先抽到的一份是女生表的概率 p ； （2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q 。 【提示】本题主要考查条件概率和全概率公式. 解： 例 16. 会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达 的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？ 【提示】本题主要考查几何概型的解法. 解： 例 17. 在长度为 a 的线段内任取两点将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率？ 【提示】考查几何概型的解法. 解： 例 18.一批零件共 100 个，其中有次品 10 个.每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回， 求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率. 答案： 10 9 90 100 99 98 . 【问题】本题若改为“已知第一、二次取到的是次品，求第三次取到正品的概率”，答案与
原题相同吗？为什么？（应为0 进行 题中所求的是条件概率还是无条件概率 系列独立的试验，每次试验成功的概率为，则在成功2次之前已经失败3 次的概率为：() A.4p21-p)3B.4p1-p)3C.10p21-p)3 D.p21-p) E.1-p)3 答案：A 【提示】本题主要考查贝努里概型。 例20.袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个， 则它怡为白球的概率是 答案： 【提示】买彩票模型. 例21.甲、乙两封信随机地投入标号是1,2,3,4,5的五个信筒内，则第3号信筒恰好只 投入一封信的概率 【提示】本题考查古典概型或贝努里概型。 解： 例22袋中有10个球，其中2个为白色.从中有放回地取出3个，求这3个球中恰有2个白 球的概率 【提示】本题考查古典概型或贝努里概型， 解： 例23.已知掷5枚硬币时至少出现2个正面，求正面数恰为3个的概率， 【提示】本题考查条件概率和贝努里概型。 解 例24加工某一产品有三道工序.设第一、二、三道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05， 假定各道工序相互独立，求完成的产品的次品率. 【提示】本题考查乘法公式和独立性. 解： 0
10 原题相同吗？为什么？（应为 90 98 ） 【提示】本题考查如何判断一个问题中所求的是条件概率还是无条件概率. 例 19. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为 p ，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为：（ ） A ． 2 3 4p (1− p) B ． 3 4 p(1− p) C ． 2 3 10p (1− p) D ． 2 3 p (1− p) E ． 3 (1− p) 答案： A 【提示】本题主要考查贝努里概型. 例 20. 袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个， 则它恰为白球的概率是 答案： 4 10 . 【提示】买彩票模型. 例 21.甲、乙两封信随机地投入标号是 1，2，3，4，5 的五个信筒内，则第 3 号信筒恰好只 投入一封信的概率. 【提示】本题考查古典概型或贝努里概型. 解： 例 22.袋中有 10 个球，其中 2 个为白色.从中有放回地取出 3 个，求这 3 个球中恰有 2 个白 球的概率. 【提示】本题考查古典概型或贝努里概型. 解： 例 23.已知掷 5 枚硬币时至少出现 2 个正面，求正面数恰为 3 个的概率. 【提示】本题考查条件概率和贝努里概型. 解： 例 24.加工某一产品有三道工序.设第一、二、三道工序的次品率分别为 0.02，0.03，0.05， 假定各道工序相互独立，求完成的产品的次品率. 【提示】本题考查乘法公式和独立性. 解：
