高等代数教案 《高等代数与解析儿何》课程建设小组 (长沙理工大学数学与计算科学学院，长沙，410076) 第七章线性变换 计划学时：14学时 §1线性变换的定义(1学时) 教学目的：堂握线性亦换的定义及些简单性质 教学重点：线性变换的定义及一些特殊的线性变换。 教学难点：线性变换定义的理解及线性变换的判定。 本节内容可分为下面的几个问题来讲. 1.线性变换的定义 2.几种特殊的线性变换 3.线性变换的简单性质 布置作业：P3201.2.3.4 §2线性变换的运算(1学时) 教学目的：掌握线性变换的几种运算 教学重点：线性变换的加法、数乘运算与乘法运算 教学难点：线性变换的乘积的理解。 本节内容可分为下面的几个问题来讲 1.线性恋换的乖法云算 2.线性变换的加法运算 3.数乘运算、逆运算及线性变换的多项式. 布置作业：P326.补充题1.1).2)3.1).2).3). §3线性变换和矩阵(2学时) 教学目的：掌握线性变换在基下的矩阵的定义及求法，掌握线性变换在两组不同基下的矩阵之间 的关 教学重点 一个向量在某组基下的坐标与它在线性变换下的像在基下的坐标之间的关系，线性变 换两组不同基下的矩阵之间的关系
HB?ZO: * v L=4SDq6 (oY-v ?zQ"o 410076) CUl _e;K >5r 14 r § 1 `f<LADh (1 gX) He& 7 :B0 H2 7 :}t 7 Hf 7 XK: 7i IglR( b<+~WF 1. 7 2. <1}t 7 3. 7B0 .8 P320.1.2.3.4. § 2 `f<LAk[ (1 gX) He& 7<1#y H2 7&u#y &#y Hf 79XK IglR( b<+~WF 1. 7&#y 2. 7&#y 3. u#yh#y: 7$ s .8 P326. ~ 1.1). 2) 3.1).2).3). § 3 `f<LJQm (2 gX) He& 7$8 M( :j&& 7$[5Æ8 M(+A / H2 +\$d58 9 {$ 7 Æ$8 9 +A/ 7[5Æ8 M(+A/ 1
教学难点：对公式的掌握， 本节内容可分为下面的几个问题来讲. 1,线性变换由一线基的像唯一确定性 2.线性变换在基下的矩阵的定义 3.线性变换的运算与矩阵的运算的对应关系。 4.一个向量在某组基下的坐标与它在线性变换下的像在基下的坐标之间的关系式， 5.线性变换在两组不同基下的矩阵之间的关系 布置作业：P321.7.8.9.11.14.15. §4特征值和特征向量(2学时) 教学目的：掌握线性变换的特征值与特征向量的定义及求法 教学重点：线性变换的特征值与特征向量的求法及哈密顿-凯莱定理的内容。 教学难点：哈榄一凯莱定理的证明 本节内容可分为下面的几个向题来讲 1.线性变换的特征值与特征向量的定义。 2.根据定义椎导特征值与特征向量的求法】 3.讨论相似矩阵的特征多项式与特征值的关系 4.哈密倾一凯莱定理。 布置作业：P325.24.25.26 P327.补充题4.5. §5对角矩阵(1学时) 教学目的：掌握线性变换（可在某组基下可对角化的条件及对角化方法 教学重点：线性变换在某组基下对角化方法 教学难点：线性变换基某组下对角化方法 本节内容可分为下面的几个向题来讲. 1.线性变换在某组基下可对角化的条件 2.若线性变换在某组基下的矩阵可为对角形，如何求这组基。 3.举例说明， 作业：P32520.21,22.23. §6线性变换的值域与核(1学时) 教学目的：掌握线性变换的值域与核的定义及它们的基与维数的求法。 教学重点：线性变换的值域与核的维数公式。 教学难点：对线性变换的秩与它的零度之和等于空间的维数的定理的证明。 本节内容可分为下面的几个问题来讲。 2
Hf ".s& IglR( b<+~WF 1. 7 8Æk 2. 7$8 M( 3. 7#y M(#y"/ 4. +\$d58 9 {$ 7 Æ$8 9 +A/ s 5. 7$[5Æ8 M(+A/ .8 P321.7.8.9.11.14.15. § 4 \noJ\nbT (2 gX) He& 7})- })\ :j& H2 7})- })\j&:0a# – PV Xgl Hf 0a# – PV X* IglR( b<+~WF 1. 7})- })\ 2. ,O })- })\j& 3. |^ xM(})$ s })-/ 4. 0a# — PV X .8 P325.24.25.26. P327. ~ 4.5. § 5 ENQm (1 gX) He& 7R$d58 R"G6C:"G6'& H2 7$d58 "G6'& Hf 78d5 "G6'& IglR( b<+~WF 1. 7$d58 R"G6C 2. n 7$d58 M(R"Gm3j'58 3. NZw 8 P325 20, 21, 22, 23. § 6 `f<LAojiI (1 gX) He& 7-! 1 :{`8 uj& H2 7-! 1u.s Hf " 7/ {℄!+2 TAu X* IglR( b<+~WF 2
1.线性变换的值域与核的定义。 2.线性变换的秩与零度的定义与求法 3.维数公式（线性变换的秩+线性变换的零度=n)的定理及证明。 4.定理的应用。 作业：P32314 87不变子空间(1学时) 教学目的：掌握不变子空间的定义及将复数域上线性空间分成不变子空间的直和的方法， 教学重点：不变子空间的定义及不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。 教学难点：复数域上将线性空问分成不变子空问直和的方法. 本节内容可分为下面的几个问题来讲 1.不变子空间的定义 2.举例说明一些常用的不变子空间。 3.不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系 4.应用哈密顿-凯菜定理将空间V按特征值分解成不变子空间的直和 作业：P32625,26 8若尔当标准形介绍(2学时) 教学目的：掌握若尔当块与若尔当矩阵的定义及复数域上矩阵的若尔标准形求法 教学重点：若尔当矩阵的有关性质。 教学难点：对定理（复数域线性空间的一个线性变换在某一组下的矩阵可化为若尔当标准形）的 证明。 本节内容可分为下面的几个问题来讲。 1.若尔当块、若尔当矩阵的定义. 2.复数域上线性变换在某组基下的矩阵可化为若尔当标准形理论 3.每个n级复矩阵A都与一个若尔当标准形相似的理论 §9最小多项式(1学时) 教学目的：掌握矩阵最小多项式的求法。 教学重点：矩阵最小多项式的求法。 教学难点：矩阵最小多项式求法. 本节内容可分为下面的几个问题来讲 1.矩阵最小多项式的定义 2.矩阵最小多项式的唯一性定理。 3.矩阵最小多项式的求法 作业P32627
1. 7-! 1 2. 7/ ℄! j& 3. u.s 7/ + 7℄! =n X:* 4. X 8 P323 14 § 7 ><qSM (1 gX) He&Æ 4TA :E)u!p TA(Æ 4TA,2'& H2 Æ 4TA :Æ 4TA 7M(6B+A/ Hf )u!pE TA(Æ 4TA,2'& IglR( b<+~WF 1. Æ 4TA 2. NZw Æ 4TA 3. Æ 4TA 7M(6B+A/ 4. 0a# – PV XETA V })-(KÆ 4TA,2 8 P326 25, 26 § 8 VG=pdPW (2 gX) He&n%U n%M( :)u!pM(n% 3j& H2 n%M( /0 Hf " X)u! TA+ 7$d5 M(R6n% 3 * IglR( b<+~WF 1. n%Un%M( 2. )u!p 7$d58 M(R6n% 3X^ 3. _+ n ;)M( A +n% 3 xX^ § 9 r FaY (1 gX) He&M(7$ sj& H2 M(7$ sj& Hf M(7$ sj& IglR( b<+~WF 1. M(7$ s 2. M(7$ s X 3. M(7$ sj& 8 P326 27. 3
习题课(2学时) 1.小结本章内容 2.习题讲解。 4
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