第十九讲数理统计的基本概念 一.考试内容与要求 1.考试内容： 总体、个体、简单随机样本、统计量、经验分布函数（数三）、样本均值、样本方差和 样本矩、X一分布、1一分布、F一分布、分位数、正态总体的常用抽样分布 2.考试要求： (1)理解（数一）了解（数三）总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样 本矩的概念 (2)了解产生X变量、1变量和F变量的典型模式，了解分位数，会查相应的数值表. (3)了解（数一）掌握（数三）正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布 (4)了解经验分布函数的概念和性质（数三）. 二.考试内容解析 总体 个体 数理统计的基本概念 样本 →正态总体下的四大分布 样本函数 统计量 (一)总体和样本 1.总体 一般而言，总体是指与所研究的问题有关的对象（个体）的全体所构成的集合，但在数理统 计中，总体就是一个服从某概率分布的随机变量X,其概率分布称为总体分布，其数字特 征称为总体数字特征 2.样本与荷单随机抽样 样本是指按一定规定从总体中抽出的一部分个体，所谓“按一定规定”是指总体中的每一个 个体均有同等的被抽出的机会，也就是说，·个独立且与总体X同分布的随机变量 (X,…,X)为来自总体X的一个简单随机样本，简称为样本，称为样本容量.样本的具 体观测值(,…,x)称为样本值 (二)统计量和样本矩 1.统计量 完全由样本决定的量叫做统计量.统计量只依赖于样本，而不依赖于任何其他未知的量，特 别是它不能依赖于总体分布中所包含的未 数 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，其分布称为抽样分布 2.样本矩 设(X,…,X)是来自总体X的简单随机样本 1
1 第十九讲 数理统计的基本概念 一.考试内容与要求 1.考试内容： 总体、个体、简单随机样本、统计量、经验分布函数（数三）、样本均值、样本方差和 样本矩、 2 —分布、 t —分布、 F —分布、分位数、正态总体的常用抽样分布. 2.考试要求： （1）理解（数一）了解（数三）总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样 本矩的概念. （2）了解产生 2 变量、 t 变量和 F 变量的典型模式，了解分位数，会查相应的数值表. （3）了解（数一）掌握（数三）正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布. （4）了解经验分布函数的概念和性质（数三）. 二.考试内容解析 正态总体下的四大分布 统计量 样本函数 样本 个体 总体 数理统计的基本概念 → （一）总体和样本 1.总体 一般而言，总体是指与所研究的问题有关的对象（个体）的全体所构成的集合，但在数理统 计中，总体就是一个服从某概率分布的随机变量 X ，其概率分布称为总体分布，其数字特 征称为总体数字特征. 2.样本与简单随机抽样 样本是指按一定规定从总体中抽出的一部分个体，所谓“按一定规定”是指总体中的每一个 个体均有同等的被抽出的机会.也就是说，n 个独立且与总体 X 同分布的随机变量 ( X X 1 , , n ) 为来自总体 X 的一个简单随机样本，简称为样本，n 称为样本容量.样本的具 体观测值 ( x x 1 , , n ) 称为样本值. （二）统计量和样本矩 1.统计量 完全由样本决定的量叫做统计量.统计量只依赖于样本，而不依赖于任何其他未知的量，特 别是它不能依赖于总体分布中所包含的未知参数. 统计量是样本的函数，它是一个随机变量，其分布称为抽样分布. 2.样本矩 设 ( X X 1 , , n ) 是来自总体 X 的简单随机样本
4)样本均值下=∑X n @样本方整占之化-，5路为样木标准差 （3)样本k阶原点矩4=之X,k=12… n 4)样本k阶中心矩B=∑(X,-X列，k=1,2, 3.经验分布函数 设X,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，则对于任意实数x,称 到2x,s 为总体X的经验分布函数，其中I)为示性函数 (三)常用的抽样分布 常用的抽样分布有X-分布、1一分布和F-分布，要了解这些分布的典型模式以及会查相 应的分位数表 1.x2-分布 (1)定义：设X,X2,…,X为n个独立的标准正态随机变量，则称 X=X+X好+…+X 服从自由度为n的x2-分布，记为X~x2(n): (2)性质：可加性：如果X~X(,Y~X(m),且X与Y相互独立，则 X+Y-z(m+n)- (3)上分位数：设随机变量X~x(m),对于给定的a(0xc(n))=a 的X2(n)为x(n)分布的上a分位点。 2.1-分布 (1)定义：设随机变量X~N(0,),Y~x2(),且X与Y相互独立，则称随机变量
2 （1） 样本均值 1 1 n i i X X n = = （2） 样本方差 ( ) 2 2 1 1 1 n i i S X X n = = − − ， S 称为样本标准差. （3） 样本 k 阶原点矩 1 1 , 1, 2, n k k i i A X k n = = = （4） 样本 k 阶中心矩 ( ) 1 1 , 1,2, n k k i i B X X k n = = − = 3.经验分布函数 设 1 2 , , , X X X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则对于任意实数 x ，称 ( ) ( ) 1 1 n i n i i i X x F x I X x n n = = = 为总体 X 的经验分布函数，其中 I () 为示性函数. （三）常用的抽样分布 常用的抽样分布有 2 − 分布、 t − 分布和 F − 分布，要了解这些分布的典型模式以及会查相 应的分位数表. 1. 2 − 分布 （1）定义：设 1 2 , , , X X X n 为 n 个独立的标准正态随机变量，则称 2 2 2 X X X X = + + + 1 2 n 服从自由度为 n 的 2 − 分布，记为 ( ) 2 X n ~ . （ 2 ） 性 质： 可 加 性： 如 果 ( ) 2 X n ~ ， ( ) 2 Y m ~ ， 且 X 与 Y 相互独立，则 ( ) 2 X Y m n + + ~ . （3）上分位数：设随机变量 ( ) 2 X n ~ ，对于给定的 (0 1 ) ，称满足条件 ( ( )) 2 P X n = 的 ( ) 2 n 为 ( ) 2 n 分布的上 分位点. 2. t −分布 （1）定义：设随机变量 X N~ 0,1 ( ) ， ( ) 2 Y n ~ ，且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量
2限从自由度为n的1-分布，记作T (2)渐近正态性：当1(n)的自由度n非常大时，t(n)分布与标准正态分布非常接近， (3)上分位点：设随机变量T~1(n),对于给定的(0t (n=a 的1(n)为1(n)分布的上a分位点. 由于1-分布的概率密度是偶函数，故1()=-t(n）: 3.F-分布 (1)定义：设随机变量X~x2(m),Y~x(),且二者相互独立，则称随机变量 F.为最从自由度为m小的F-分有，记作P一Fm, (2)F-分布的性质：如果F~F(mn),则F(m,m), (3)上分位点：设随机变量F~F(m,n),对于给定的a(0F(m.n)=a 的E(m,n)为F(m,n)分布的上a分位点. 由F-分布的性质，有Fm网）FE仅网】 (四)正态总体的抽样分布 1.一个正态总体 设总体X~N(山，0)，X,X2,…,Xn是来自X的样本，X和S2分别为样本均值和样本 方差 wa不.e}老a侧 G/ n 2样本方整的分：色-5--) (3)样本均值X和样本方差S2相互独立. 基于上面三点，有
3 X T Y n = 服从自由度为 n 的 t − 分布，记作 T t n ~ ( ) . （2）渐近正态性：当 t n( ) 的自由度 n 非常大时， t n( ) 分布与标准正态分布非常接近. （3）上分位点：设随机变量 T t n ~ ( ) ，对于给定的 (0 1 ) ，称满足条件 P T t n ( = ( )) 的 t n ( ) 为 t n( ) 分布的上 分位点. 由于 t −分布的概率密度是偶函数，故 t n t n 1− ( ) = − ( ) . 3. F −分布 （1）定义：设随机变量 ( ) 2 X m ~ ， ( ) 2 Y n ~ ，且二者相互独立，则称随机变量 X m F Y n = 服从自由度为 (m n, ) 的 F − 分布，记作 F F m n ~ , ( ) . （2） F −分布的性质：如果 F F m n ~ , ( ) ，则 ( ) 1 ~ , F n m F . （3）上分位点：设随机变量 F F m n ~ , ( ) ，对于给定的 (0 1 ) ，称满足条件 P F F m n ( = ( , )) 的 F m n ( , ) 为 F m n ( , ) 分布的上 分位点. 由 F −分布的性质，有 ( ) ( ) 1 1 , , F m n F n m − = . （四）正态总体的抽样分布 1.一个正态总体 设总体 ( ) 2 X N ~ , ， 1 2 , , , X X X n 是来自 X 的样本， X 和 2 S 分别为样本均值和样本 方差. （1） 样本均值的分布： 2 X N~ , n ，即 ~ 0,1 ( ) X N n − （2）样本方差的分布： ( ) ( ) 2 2 2 1 ~ 1 n S n − − （3）样本均值 X 和样本方差 2 S 相互独立. 基于上面三点，有
T--4a-) ④2x-川x回 2.两个正态总体 设总体X~N(4,o)总体了~N(山，o),X,…,X和y,…,Y是分别来自总体X和 总体Y的简单随机样本，X,S子和了，S是相应的样本均值和样本方差 D样本均值差的分布：X-了-N4一4，三+三】 m n / 2样本方差比的分布：F= --F(m-1,n-1). a (3)如果o=o,则 T=- x-了-(4-凸) -a-应w mn ~t(m+n-2) m+n-2 Fg2钱-4 ~F(m,n） ∑(y-4 三.例题详解 例1.设总体X:N(4,o2),Y:N(42,o),XL,X和YL,Y分别是来自总体X 2x,-y+2出，- 和Y的简单样本，则E %+%-2 答案：2 【提示】本题考查样本方差的无偏性、随机变量和的数学期望。 解：
4 ~ 1 ( ) X T t n S n − = − （4） ( ) ( ) 2 2 2 1 1 ~ n i i X n = − 2.两个正态总体 设总体 ( ) 2 X N ~ , 1 1 ，总体 ( ) 2 Y N ~ , 2 2 ， 1 , , X X m 和 1 , , Y Y n 是分别来自总体 X 和 总体 Y 的简单随机样本， X ， 2 X S 和 Y ， 2 Y S 是相应的样本均值和样本方差. （1）样本均值差的分布： 2 2 1 2 X Y N~ , 1 2 m n − − + . （2）样本方差比的分布： ( ) 2 2 1 2 2 2 ~ 1, 1 X Y S F F m n S = − − . （3）如果 2 2 1 2 = ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 ~ 2 1 1 2 X Y X Y mn T t m n m S n S m n m n − − − = + − − + − + + − （4） ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ~ , m i i n i i X n F F m n m Y = = − = − 三.例题详解 例 1. 设总体 2 1 X N : ( , ) ， 2 2 Y N : ( , ) ， 1 1 , , X X L n 和 2 1 , , Y Y L n 分别是来自总体 X 和 Y 的简单样本，则 1 2 2 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ____ 2 n n i j i j X X Y Y E n n = = − + − = + − 答案： 2 【提示】本题考查样本方差的无偏性、随机变量和的数学期望. 解：
【典型错误】许多考生不能把本题和样本方差的无偏性联系起来，而直接求数学期望，从而 造成计算错误或无从下手. 例2.设总体X一N(0,22),X,X5是来自总体X的样本，则Y= X2+L+X。2 2X2+L+X6 服从分布，参数为一 答案：F,(10,5) 【提示】本题主要考查抽样分布. 解 【典型错误】不熟悉F-分布的定义 例3.设随机变量X和Y独立同服从N(0,32),而X,X和X,,Y分别是来自总体 X和Y的样本，则统计量U=七+L+X服从一分布，参数为_ Y+LY 答案：t,9 【提示】本题主要考查1-分布. 解： 【典型错误】不熟悉1一分布的定义. 例4.设X,X2,X,X,是米自总体N(0,4)的样本， X=a(X,-2X2)+b(3X3-4X,),则当a=,b=时，统计量X~x2分布。 自由度为 鞋02 【提示】本题考查x2-分布。 解：
5 【典型错误】许多考生不能把本题和样本方差的无偏性联系起来，而直接求数学期望，从而 造成计算错误或无从下手. 例 2. 设总体 X ~ ( ) 2 N 0,2 ，X X 1 15 是来自总体 X 的样本，则 2 2 1 10 2 2 11 15 2( ) X X Y X X + + = + + L L 服从 ____ 分布，参数为 ____. 答案： F, 10,5 ( ) 【提示】本题主要考查抽样分布. 解： 【典型错误】不熟悉 F −分布的定义. 例 3. 设随机变量 X 和 Y 独立同服从 ( ) 2 N 0,3 ，而 X X 1 9 和 Y Y 1 9 分别是来自总体 X 和 Y 的样本，则统计量 1 9 2 2 1 9 X X U Y Y + + = + L L 服从 ____ 分布，参数为 ____ 答案： t,9 【提示】本题主要考查 t − 分布. 解： 【典型错误】不熟悉 t − 分布的定义. 例 4. 设 1 2 3 4 X X X X , 是来自总体 N(0,4) 的样本， 2 2 1 2 3 4 X a X X b X X = − + − ( 2 ) (3 4 ) ，则当 a = ____ ，b = ____ 时，统计量 2 X ~ 分布， 自由度为 ____ 答案： 1 1 , , 2 20 100 【提示】本题考查 2 − 分布. 解：
例5.在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立同服从N(a,0.04), 若以X,表示n次称量结果的算术平均值，则为使P下。-dZ)=a,若 P(X1,Y=是，则() )Y-x2(m） B)Y~x'(n-1)C)Y~F(n,1)D)Y-F(Ln) 答案：C 【提示】本题考查1一分布、x2-分布及F-分布的定义. 解： 例8.设X和Y都服从N(0,),则() )X+Y服从正态分布 B)X2+Y2~xX分布 C)X2和Y2都服从x2分布 )X为服从F分布 答案：C
6 例 5. 在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立同服从 N a( ,0.04) , 若以 X n 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 P X a ( n − 0.1 0.95 ) ，n 的最小值应 不小于正整数 ____ 答案：16 【提示】本题主要考查样本均值的抽样分布、标准正态分布的分位点. 解： 例 6. 设 X N~ 0,1 ( ) ,对给 定的 （ 0 1 ），数 Z 满足 P X Z ( = ) ，若 P X x ( =) ，则 x = ____ A) 2 Z B) 1 2 Z − C) 1 2 Z − D) Z1− 答案：C 【提示】本题考查概率运算、标准正态分布. 解： 例 7. 设 X t n ~ ( ) ， n 1， 2 1 Y X = ，则（ ） A) 2 Y n ~ ( ) B) 2 Y n ~ ( 1) − C) Y F n ~ ( ,1) D) Y F n ~ (1, ) 答案：C 【提示】本题考查 t − 分布、 2 − 分布及 F − 分布的定义. 解： 例 8. 设 X 和 Y 都服从 N (0,1) ,则（ ） A) X Y+ 服从正态分布 B) 2 2 2 X Y+ ~ 分布 C) 2 X 和 2 Y 都服从 2 分布 D) 2 2 X Y 服从 F 分布 答案：C
【提示】本题考查正态分布、X2-分布、F-分布的定义和性质。 解 例9.从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间 (1.4,5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？ 【提示】本题考查抽样分布、区间估计、正态概率表 解： 例10.设总体X~N(20,3),从X中抽取两个样本X,X,…,X。和X,Y2,…,X5,求概率 P呕->3 【提示】本题主要考查正态总体样本均值的分布. 解： 例1.设X,X,,X为总体X~BLp)的一个样本，p未知，则P下=）=() (A)p (B)1-p (C)Cip'(1-p)(D)CAp"-(1-p) 答案：C 【提示】本题考查(0-1)分布和二项分布的关系。 解： 例12.设X,X,,Xo是总体X~N(0,)的一个样本，X和S2分别是样本均值和样本 方差令y=10 ,若有P(V>)=0.01,则元应为多少？ 7
7 【提示】本题考查正态分布、 2 − 分布、 F − 分布的定义和性质. 解： 例 9.从正态总体 ( ) 2 N 3.4,6 中抽取容量为 n 的样本，如果要求其样本均值位于区间 (1.4,5.4) 内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？ 【提示】本题考查抽样分布、区间估计、正态概率表. 解： 例 10.设总体 X N~ 20,3 ( ) ，从 X 中抽取两个样本 1 2 10 X X X , , , 和 1 2 15 Y Y Y , , , ，求概率 P X Y ( − 3). 【提示】本题主要考查正态总体样本均值的分布. 解： 例 11.设 1 2 , , , X X X n 为总体 X B p ~ 1, ( ) 的一个样本， p 未知，则 k P X n = = （ ）. （A） p （B） 1− p （C） (1 ) n k k k C p p n − − （D） (1 ) k k n k C p p n − − 答案：C 【提示】本题考查（0-1）分布和二项分布的关系. 解： 例 12.设 1 2 10 X X X , , , 是总体 X N~ 0,1 ( ) 的一个样本， X 和 2 S 分别是样本均值和样本 方差.令 2 2 10X Y S = ，若有 P Y( = ) 0.01,则 应为多少？
提示】本题考查1-分布和F-分布，定义. 解 四.考研真题选讲 1.(05(1,3)设X,X2,,X(n≥2)为来自总体N0,1)的简单随机样本，X为样本均值， S2为样本方差，则 (A)nr~N(0,) (B)nS2、x2m. (C)(n-I)-A(1)(D)(-DXi-F(n-1). ∑x: 答案：D 解：由X-x产0.2xxa-).-X、FLn-》 ∑X好 i=2 2.(O9(1,3)设X,X2,…X.是来自二项分布总体B(n,p)的简单随机样本，X和S分 别为样本均值和样本方差，记统计量T=X-S2,则ET=_ 答案：p 解：由ET=E(X-S2)=EX-ES2=p-p1-p)=p2 *重点考核点 统计量的分布
8 【提示】本题考查 t − 分布和 F −分布，定义. 解： 四.考研真题选讲 1. (05(1,3))设 , , , ( 2) X1 X2 Xn n 为来自总体 N(0,1)的简单随机样本， X 为样本均值， 2 S 为样本方差，则 (A) nX ~ N(0,1) (B) ~ ( ). 2 2 nS n (C) ~ ( 1) ( 1) − − t n S n X (D) ~ (1, 1). ( 1) 2 2 2 1 − − = F n X n X n i i [ ] 答案：D 解：由 2 2 X1 ~ (1) , 2 2 2 ~ ( 1) n i i X n = − , ~ (1, 1). ( 1) 2 2 2 1 − − = F n X n X n i i 2.(09(1,3))设 X1 ， X2 ,… X n 是来自二项分布总体 B n p ( , ) 的简单随机样本， X 和 2 S 分 别为样本均值和样本方差，记统计量 2 T X S = − ，则 ET = 答案： 2 np 解：由 2 2 2 ET E X S E X ES np np p np = − = − = − − = ( ) (1 ) *重点考核点 统计量的分布