第七章，线性变换 一，基本知识点 7.1线性映射和线性变换 ()设，是数域P上的线性空间，是K到的映射，若对任意a,3∈，k∈P满足：（四）p(a+)= p(a)+(8),(2)(ka)=p(ka,则称p是到的一个线性映射：当==V时，则称o是V的一个 线性变换.显然p是线性变换的充分必要条件是p(ka+l8)=kp(a)+l(),a,B∈V,k,l∈P. (②)若2是听到的双射，称是到5同构映射，简称同构，记为%￥ （)设是到⅓的-个线性映，射记kcrp=《aele(a)=0,m三()={ala∈， 称kerp为p的核，Imo为的像.可以证明，kerp为%的子空间，Imp为及的子空间，且/kerp兰Imp, p是W到同构映射当且仅当kerp=0且Img=. (④)设V是数域P上的n维线性空间，V与Pm同构. 7.2线性变换的运算 ()设V是数域P上的n维线性空间，L(W)表示V的所有线性变换的集合，o,p∈L(V,a,B∈Vk∈F 定义(o)(a)=((a》,(9+(a)=p(a)+(a,(kpa)=kp(a,则p,p+,kpeL(V),pp称为线 性变换的乘积，口+P称为线性变换的加法，kp称为数与线性变换的数量乘法.且L(W)对于线性变换的 加法及数与线性变换的数量乘法作成数域P上的维线性空间. (2)线性变换的逆变换对0∈L(W),若存在o∈L(V)使得=p0=,其中e为V的恒等变换，则称 是可逆的，o是的逆变换，记为p-1,于是0=p1,p1也是线性变换 (3)幂：p…=p”,p°=e,(”)严=pm,p””=p"+n,pn=(-1)P(n∈N,但(pp)”≠”” (4)线性变换的多项式：f（)-amp”+am-1p-1+…+aoe也是一个线性变换且它对乘法可交换，即 有fP)g(p)=g(p)f(p). 7.3线性变换的矩阵 设V是数域P上的n维线性空间，a4,,an是V的一组基，M(P)表示数域P上的所有n阶矩阵的集合. (1)如果V的线性变换p与o在基a1,…,an上的作用相同，即(a)=a)(位=1，…，n,则p= (②)对V中任意一组元素B1,…,Bn存在唯一的线性变换使(a)=B,(位=1，…，n). (a1)=a11a1+a21a2+·+a1a, (③)设o是V的线性变换，基的像可以被基线性表出 p(a2)=a12a1+a2a2+…+an2 (on)=ainal+a2no2+...+annan 01101201m 即((a…,p(an》=(a…,an)A其中A a21a2a2n 矩阵A称为在基1，… an下的矩阵 (④)定理设V的线性变换p与在基a1,·,a.下的矩阵分别是A与B,则： 下的矩陈为A+B: (i3p在基a1,·,an下的矩晖为AB: (v)可逆的充分必要条件是A可逆，且A-1在基a1,·,am下的矩阵为A-1; 第1页
1‘Ÿ, Ç5CÜ ò, ƒ £: 7.1 Ç5N⁄Ç5CÜ (1) V1, V2¥ÍçP˛Ç5òm,ϕ¥V1 V2N, eÈ?øα, β ∈ V1, k ∈ P ˜v:(1) ϕ(α + β) = ϕ(α) + ϕ(β), (2) ϕ(kα) = ϕ(kα), K°ϕ¥V1 V2òáÇ5N; V1 = V2 = V û, K°ϕ¥V òá Ç5CÜ. w,ϕ ¥Ç5CÜø©7á^á¥ϕ(kα + lβ) = kϕ(α) + lϕ(β), ∀α, β ∈ V, k, l ∈ P. (2) eϕ¥V1 V2V, °ϕ¥V1 V2”N, {°”, PèV1 ∼= V2. (3) ϕ¥V1 V2òáÇ5N, Pkerϕ = {α ∈ V1|ϕ(α) = 0}, Imϕ = ϕ(V1) = {ϕ(α)|α ∈ V1}, °kerϕèϕÿ, Imϕèϕî. å±y², kerϕ èV1 fòm, ImϕèV2 fòm, ÖV1/kerϕ ∼= Imϕ. ϕ¥V1 V2”NÖ=kerϕ = 0ÖImϕ = V2. (4) V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, V ÜP n”. 7.2 Ç5CÜ$é (1) V ¥ÍçP˛nëÇ5òm, L(V )L´V §kÇ5CÜ8‹, φ, ϕ ∈ L(V ), α, β ∈ V, k ∈ P, ½¬(ϕφ)(α) = ϕ(φ(α)), (ϕ + φ)(α)) = ϕ(α) + φ(α), (kϕ)(α) = kϕ(α), Kϕφ, ϕ + φ, kϕ ∈ L(V ), ϕφ °èÇ 5Cܶ», ϕ + φ °èÇ5CÜ\{, kϕ °èÍÜÇ5CÜͲ¶{. ÖL(V )ÈuÇ5CÜ \{9ÍÜÇ5CÜͲ¶{ä§ÍçP˛ëÇ5òm. (2)Ç5CÜ_CÜ Èϕ ∈ L(V ), e3φ ∈ L(V )¶φϕ = ϕφ = ε, Ÿ•εèV ð CÜ, K°ϕ ¥å_,φ¥ϕ_CÜ, Pèϕ −1 , u¥φ = ϕ −1 , ϕ −1è¥Ç5CÜ. (3)ò: z }| { ϕϕ · · · ϕ = ϕ n, ϕ0 = ε,(ϕ n) n = ϕ nn, ϕ nϕ n = ϕ n+n, ϕ−n = (ϕ −1 ) n(n ∈ N), (ϕφ) n 6= ϕ nφ n. (4)Ç5CÜıë™: f(ϕ) = amϕ n +am−1ϕ n−1 +· · ·+a0εè¥òáÇ5CÜ.Ößȶ{åÜ,= kf(ϕ)g(ϕ) = g(ϕ)f(ϕ). 7.3 Ç5CÜ› V ¥ÍçP˛nëÇ5òm,α1, · · · , αn¥V ò|ƒ, Mn(P)L´ÍçP˛§kn › 8‹. (1) XJV Ç5CÜϕÜφ3ƒα1, · · · , αn˛ä^É”,=ϕ(αi) = φ(αi) (i = 1, · · · , n),Kϕ = φ. (2) ÈV •?øò|Éβ1, · · · , βn3çòÇ5CÜϕ¶ϕ(αi) = βi , (i = 1, · · · , n). (3) ϕ¥V Ç5CÜ, ƒî屃Ç5L— ϕ(α1) = a11α1 + a21α2 + · · · + an1αn ϕ(α2) = a12α1 + a22α2 + · · · + an2αn · · · ϕ(αn) = a1nα1 + a2nα2 + · · · + annαn =(ϕ(α1), · · · , ϕ(αn)) = (α1, · · · , αn)A, Ÿ•A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann , › A°èϕ 3ƒα1, · · · , αne› . (4) ½n V Ç5CÜϕÜφ3ƒα1, · · · , αne› ©O¥AÜB,K: (i) ϕ + φ3ƒα1, · · · , αne› èA + B; (ii) kA3ƒα1, · · · , αne› kA (k ∈ P); (iii) ϕφ3ƒα1, · · · , αne› èAB; (iv) ϕå_ø©7á^á¥Aå_,ÖA−13ƒα1, · · · , αne› èA−1 ; 1 1 ê
(w)设a∈V在基a,…,an下的坐标为X=(e1,…,xny,则p(a)在基1，·，an下的坐标y= (1,·,ny满足Y=AX i)设a,. 0和8 ,,,B是数域P上线性空间V的两组基且由基0 ,an到，…，月n的过渡矩 阵为x:又设V的线性变换在这两组基下的矩阵分别为A和B,则B二X-1AX ()线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的：反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看做一个 线性变换在两组基所对应的矩阵， (i)设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X,使得B=X-lAX,就 说A相似于B,记为AB. 上面的定理表明，若V是数域P上的n维线性空间，a1,·,a,为V的一组基，则Pm,n(P)和L(W 是数域P上的线性空间，且对任意a∈V及p∈L(V,令X是a关于基a1,…,an的坐标，A是o关于 ,a的矩阵，则n:a→X是V到pm的同构映射：2：p→A是Mn(P)到L(W)的同构映射.因 此dimL(W)=dimM(P)=n2 7.4特征值与特征向量 (1)设©是数域P上线性空间V的一个线性变换。如果对于P中一数入，存在一个非零向量aEV.使 得 a,那么A称为的一个特征值.而a称为的属于特征值入的一个特征向量. (2)设 是数域P上 n阶矩阵，入是 个数字矩阵E一A的行列式 入-a11 -a12 E-Al= -21-a22… 一a2n 称为A的特征多项式它是卫上的n次多项式 (3)设是数域P上线性空间V的一个线性变换，A是关于V的一组基的矩阵，A称为的一个特征值（从 而也是A的特征值)，={a∈Vo(a)=a,S={传∈P"|A=A),称V为p一个特征子空间， S为A的一个特征子空间，易证与S同构. (4)求的特征值与特征向量的方法与步骤： (在线性空间V中取】 组基1 ,写出在这组基下的矩阵A ()求出A的特征多 上州在P中的全根它是性变换，的全部特征位 ()将特征值逐个代入方程组(E-A)X=0,X=(红1，x2,·,xn/,求出一组基础解系，它们就是属 于这个特征值的一组线性无关的特征向量在基1,2，·，m下是坐标. o的屈于某特征值0的全部特征向量再添上零向量所成集合，是V的一个子空间，称为的属于0的特 征子空间，记为。它的维数是属于0的线性无关的特征向量的最大个数，并记队。 =oa,a∈V (或A)全体特征值之和为a1+a2 十an,称为A的迹：而全体特征值之乘积为列4即rA=1+2十 "十入n 011十22十· =1.2.. 入 (⑤)相似矩阵有相同的特征多项式.但逆命题不成立.以后可以称线性变换的特征多项式与行列式： (6)哈密顿-凯莱定理：设A是数域P上一个n×n矩阵，f(A)=AE-4A川是A的特征多项式，则f(A)= An-(a11+a22+.,+am)Am-1+..,+(-1)4E=0. (T)推论设是有限维空间V的线性变换，fA)是的特征多项式则f()=0. 7.5对角矩阵 (1)定义如果数域P上的n级矩阵A可相似于对角矩阵，则称A可对角化：设是n维线性空间V的线性 变换，若关于V的一组基的矩阵为对角阵，则称可对角化. (②)数域P上n级矩阵A可对角化的条件如下 ①（充分必要条件）A有n个线性无关的特征向量 第2页
(v) α ∈ V 3ƒα1, · · · , αneãIèX = (x1, · · · , xn) 0 , Kϕ(α) 3ƒα1, · · · , αneãIY = (y1, · · · , yn) 0 ˜vY = AX. (vi) α1, · · · , αn⁄β1, · · · , βn¥ÍçP˛Ç5òmV ¸|ƒ,Ödƒα1, · · · , αnβ1, · · · , βnLfi› èX;qV Ç5CÜϕ3˘¸|ƒe› ©OèA⁄B,KB = X−1AX. (vi) Ç5CÜ3ÿ”ƒe§ÈA› ¥Éq;áL5,XJ¸á› Éq,@oßÇå±wâòá Ç5CÜ3¸|ƒ§ÈA› . (vii) A, BèÍçP˛¸án?› ,XJå±ÈÍçP˛n?å_› X,¶B = X−1AX, “ `A ÉquB,PèA ∼ B. ˛°½nL², eV ¥ÍçP˛nëÇ5òm, α1, · · · , αn èV ò|ƒ, KP n, Mn(P)⁄L(V ) ¥ÍçP˛Ç5òm, ÖÈ?øα ∈ V 9ϕ ∈ L(V ), -X ¥α 'uƒα1, · · · , αnãI, A ¥ϕ 'u ƒα1, · · · , αn› . Kτ1 : α → X¥V P n”N; τ2 : ϕ → A¥Mn(P)L(V )”N. œ ddimL(V ) = dimMn(P) = n 2 . 7.4 AäÜAï˛ (1) ϕ¥ÍçP˛Ç5òmV òáÇ5CÜ, XJÈuP•òÍλ,3òáö"ï˛α ∈ V , ¶ ϕα = λα, @oλ°èϕòáAä, α°èϕ·uAäλòáAï˛. (2) A¥ÍçP˛òn › ,λ¥òáÍi,› λE − A1™ |λE − A| = λ − a11 −a12 · · · −a1n −a21 λ − a22 · · · −a2n . . . . . . . . . −an1 −an2 · · · λ − ann °èAAıë™,ߥP˛ngıë™. (3) ϕ¥ÍçP˛Ç5òmV òáÇ5CÜ, A¥ϕ'uV ò|ƒ› , λ°èϕòáAä(l è¥AAä), Vλ = {α ∈ V |ϕ(α) = λα}, Sλ = {ξ ∈ P n|Aξ = λξ}, °VλèϕòáAfòm, SλèAòáAfòm, ¥yVλÜSλ”. (4) ¶ϕAäÜAï˛ê{Ü⁄½: (i) 3Ç5òmV •ò|ƒε1, ε2, · · · , εn,—ϕ3˘|ƒe› A; (ii) ¶—AAıë™|λE − A|3ÍçP• ‹ä,ßÇè“¥Ç5CÜϕ ‹Aä; (iii) ÚAäÅáì\êß|(λE − A)X = 0, X = (x1, x2, · · · , xn) 0 , ¶—ò|ƒ:)X,ßÇ“¥· u˘áAäò|Ç5Ã'Aï˛3ƒε1, ε2, · · · , εne¥ãI. ϕ·u,Aäλ0 ‹Aï˛2V˛"ï˛§§8‹,¥V òáfòm,°èϕ·uλ0A fòm,PèVλ0 .ßëÍ¥·uλ0Ç5Ã'Aï˛ÅåáÍ,øPVλ0 = {α|ϕα = λ0α, α ∈ V }, ϕ(½A) NAäÉ⁄èa11 + a22 + · · · + ann,°èA,; NAäɶ»è|A|.=trA = λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann,|A| = λ1 · λ2 · · · · · λn. (5) Éq› kÉ”Aıë™._·Kÿ§·.±å±°Ç5CÜAıë™Ü1™. (6) MóÓ-p4½n: A¥ÍçP˛òán × n› ,f(λ) = |λE − A|¥AAıë™,Kf(A) = An − (a11 + a22 + · · · + ann)An−1 + · · · + (−1)n|A|E = 0. (7) Ìÿ ϕ¥kÅëòmV Ç5CÜ,f(λ)¥ϕAıë™,Kf(ϕ) = 0. 7.5 È› (1) ½¬ XJÍçP˛n?› AåÉquÈ› ,K°AåÈz; ϕ¥nëÇ5òmV Ç5 CÜ, eϕ'uV ò|ƒ› èÈ ,K°ϕ åÈz. (2) ÍçP˛n?› AåÈz^áXe: (I) (ø©7á^á) AknáÇ5Ã'Aï˛; 1 2 ê
(四)（充分条件）A有n个互异特征值： (四（充分必要条件）)在数域P内，A有m个特征值（考虑重数）：（创）A的所有重特征值对应的线性 无关特征向量的个数等于特征值的重数，即对A的任意特征值入，若它的重数为k,则n-r(AE-A)= (③)n级矩阵A可相似于对角矩阵的计算 第一步求A的特征值和对应的线性无关特征向量.设入1,2，·，入，为A的所有互异特征值，其重数分 别为r1,r2,…ra,且n1+r2十+r。=n又设对应特征值入的个线性无关的特征向量为1,2，…，x,(位= 1.2.·.s. 第二步构造相似变换矩阵X=(1,12,…,11,2,…,2…,1,2，…，n则有X-1AX (④)设是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，的矩阵可以在某一组基下为对角阵有下列条件 )(充分必要条件)。 个线性无关的特征向量 3)(充分必要条件))在数域P内，中有个特征值（考虑重数）：（的）对的任意特征值为入，则的特征 子空间dimW=入的重数. (5)求一组基是线性变换在该基下的矩阵为对角阵的计算 第 步取n维线性空间V的 1,2 ,求线性变换在该基下是矩阵A 第 求n级可逆矩阵X,使X-1AX=A为对角阵 第三步 由(a1,a2,…,an)=(e1,2,·,n)X求出V的另一组基a1,a2,…,an,则p在基下的矩阵为对 角阵A. 7.6线性变换的值域，核与不变子空间 设V是数域P上的线性空间，是V是一个线性变换，称集合(a)la∈V是o的像，也叫o的值域，表示 为a(V)或1mo.称集合{6(al5(a)=0)是a的核，表示为kcro或a-1(O).a(V的维数称为a的秩，-1(O)的维 数称为σ的零度 设W是V的一个子空间，如果a(W)cW,即aa)cW对任意a∈W,称w是V的不变子空间.也等 价于：o在W上的限制是W的一个线性变换，即 L(W) 数域P上线性空 V的线性变 换，以下诸条件成 (1)a(V)和a (0)是σ的不变子空间 (2)线性变换σ是单射的充要条件是o-1(0)={0} (3)若V是有限维线性空间，则σ单射当且仅当σ满射，当且仅当。将一组基变为一组基。 d若V是n维线性空间，a1,a ,an是V的一组基，a∈V且(a(a…,a(an》=( x)A on)4= (,…,.则aa)=(oa (an) )4X.令w =[AXIX E L(作，…，).则(W)=L(a(a…,(an)={a4…,an)YIY∈W,a的秩=r(A 因为a(a)=0当且仅当则AX=0,令Sa为AX=0的解空间，所以a-1(O)={(a1,·,an)XX∈SA}. (⑤)若V是n维线性空间，则：o的秩+σ的零度=n (6)若。是数乘变换则V的任一子空间是的不变子空间 (7)若，和x均为V的线性变换且T=Ta.则V八和x-10)都是x的不变子空间 (⑧)若W是线性变换和的不变子空间，则W一定 和r的不变子空间 (⑨)σ是可逆线性变换，则W是的不变子空间当且仅当W是。 的不变子空间 (10)若W,W是a的不变子空间，则W+W和WnW2都是a的不变子空间. 第3页
(II) (ø©^á) Aknáp…Aä; (III) (ø©7á^á) (i) 3ÍçPS, A knáAä(ƒÍ); (ii) A §kAäÈAÇ5 Ã'Aï˛áÍ uAäÍ, =ÈA?øAäλ, eßÍèk, Kn − r(λE − A) = k. (3) n?› AåÉquÈ› Oé: 1ò⁄ ¶AAä⁄ÈAÇ5Ã'Aï˛.λ1, λ2, · · · , λsèA§kp…Aä,ŸÍ© Oèr1, r2, · · · rs,Ör1+r2+· · ·+rs = n.qÈAAäλiriáÇ5Ã'Aï˛èxi1, xi2, · · · , xiri (i = 1, 2, · · · , s). 1⁄ EÉqCÜ› X = (x11, x12, · · · , x1r1 , x21, x22, · · · , x2r2 , · · · , xs1, xs2, · · · , xsrs ), KkX−1AX = λ1Er1 λ2Er2 . . . λsErs . (4) ϕ¥ÍçP˛nëÇ5òmV òáÇ5CÜ,ϕ› å±3,ò|ƒeèÈ ke^á: 1) (ø©7á^á) ϕknáÇ5Ã'Aï˛; 2) (ø©^á) ϕ3ÍçP•knáÿ”Aä; 3) (ø©7á^á) (i) 3ÍçPS, ϕ knáAä(ƒÍ); (ii) Èϕ?øAäèλ,KϕA fòmdimVλ = λ Í. (5)¶ò|ƒ¥Ç5CÜ3Tƒe› èÈ Oé: 1ò⁄ nëÇ5òmV ò|ƒε1, ε2, · · · , εn,¶Ç5CÜϕ3Tƒe¥› A; 1⁄ ¶n?å_› X,¶X−1AX = AèÈ ; 1n⁄ d(a1, a2, · · · , an) = (ε1, ε2, · · · , εn)X¶—V ,ò|ƒa1, a2, · · · , an,Kϕ3ƒe› èÈ A. 7.6 Ç5CÜäç,ÿÜÿCfòm V ¥ÍçP˛Ç5òm,σ¥V ¥òáÇ5CÜ,°8‹{δ(α)|α ∈ V }¥σî,èσäç,L´ èσ(V )½lmσ.°8‹{δ(α)|δ(α) = 0}¥σÿ, L´èker σ½σ −1 (0). σ(V ) ëÍ°èσù, σ −1 (0)ë Í°èσ"›. W¥V òáfòm, XJσ(W) ⊆ W, =σ(α) ⊆ W È?øα ∈ W, °W¥V ÿCfòm. è du:σ3W˛Åõ¥WòáÇ5CÜ, =σ|W ∈ L(W). 'uÍçP˛Ç5òmV Ç5CÜσ,±eÃ^᧷. (1) σ(V )⁄σ −1 (0)¥σÿCfòm. (2) Ç5CÜσ¥¸øá^á¥σ −1 (0) = {0}. (3) eV ¥kÅëÇ5òm,Kσ ¸Ö=σ ˜,Ö=σ Úò|ƒCèò|ƒ. (4) eV ¥nëÇ5òm,α1, α2, · · · , αn¥V ò|ƒ, α ∈ V Ö(σ(α1), · · · , σ(αn)) = (α1, · · · , αn)A, α = (α1, · · · , αn)X, A = (ξ1, · · · , ξn). Kσ(α) = (σ(α1), · · · , σ(αn)X = (α1, · · · , αn)AX. -W = {AX|X ∈ P n} = L(ξ1, · · · , ξn). Kσ(V ) = L(σ(α1), · · · , σ(αn) = {(α1, · · · , αn)Y |Y ∈ W}, σ ù= r(A); œèσ(α) = 0Ö=KAX = 0, -SAèAX = 0)òm, §±σ −1 (0) = {(α1, · · · , αn)X|X ∈ SA}. (5) eV ¥nëÇ5òm,K:σù+σ"›=n. (6) eσ¥Í¶CÜ,KV ?òfòm¥σÿCfòm. (7) eσ⁄τ˛èV Ç5CÜÖστ = τσ,Kτ (V )⁄τ −1 (0)—¥σÿCfòm. (8) eW¥Ç5CÜσ⁄τÿCfòm,KWò½σ + τ⁄στÿCfòm. (9) σ¥å_Ç5CÜ,KW¥σÿCfòmÖ=W¥σ −1ÿCfòm. (10) eW1, W2¥σÿCfòm,KW1 + W2⁄W1 ∩ W2—¥σÿCfòm. 1 3 ê
(11)若V是有限维线性空间.则V能分解为σ的若干个不变子空间的直和当且仅当σ在某组基下的矩阵 为准对角形矩阵。 (12)设线性变换σ的特征多项式f)=(A-)r…(a-入，)户，则V可分解为不变子空间的直和V= ⊕…⊕,其中={长∈V(G -Ae)r()=0 典型例题与解题技巧 例7.1设A为数域F上m×n矩阵，定义LA:Fm→Fm,xAc.证明：L是单射当且仅当A的列向量 组线性无关；LA是满射当且仅当A的行向量组线性无关： 例7.2设W与W2是数域P上线性空间V的子空间，且V=W1+W2对任意a∈V有唯一的分解式a= a1+a2,a1∈W1,a2∈W2,定义V的变换p:(a)=a2,证明p是V的一个线性变换. 证对任意a,B∈V,且a=a1+a2,B=B1+2,a1,B1∈，a2,32∈W2,又k∈P,则有e(a+)= T++B1三+=O)+ea)=oa+a=ka=ko故p是y 例7.3设V是由次数不超过4的一切实系数一元多项式组成的线性空间，对于V中任意多项式P(x)除 以x2-1得商式及余式分别为Q(e)及()，即 P)=Q((2-)+R(,)=0或)的次数<2.设是从V到V得一个映射使得(P》 R(c (1)证明，p是V的一个线性变换：(2)求o关于V的基1，工，2，x3,的矩阵 证明(1)设1()，2()∈V且p1()=9m(口)(x2-1)+n(c),2(a)=92()(x2-1)+r2(,其 中r1z),r2e)或为0或次数<2.于是(m(x)=r1(,(2(x》=r2().对任意实数1，k2,有k1n()+ kP2()=k19(a)+k((2-1)+[kr(国)+r2(e.因为r(,2)减为0或次数<2，所以kn 或次数<2.所以e(kpm回)+)=r+k2r2)=k1p1)+2p2(e》.故p是V的 (2因为1-0(x2-1)+1,x-0(x2-1)+x,x2=1(x2-1)+1,x2=x2-1)+x,x= (2+1)(r2-1)+1,所以(1)=1，p(e)=,(2)=1,p(x3)=五，()=1.从而(1，五，x2,x3,x)= 10101 10101 01010 01010 (1,工，x2,x3,) 00000 故关于V的基1，工，x2,x3,x4的矩阵为00000 00000 00000 00000 00000 基碳=儿高=g的阅珠足(：）求变衡新+石对A高的矩库行对o的矩床 第4页
(11) eV ¥kÅëÇ5òm,KV U©)èσeZáÿCfòmÜ⁄Ö=σ3,|ƒe› èOÈ/› . (12) Ç5CÜσAıë™f(λ) = (λ − λ1) r1 · · ·((λ − λs) rs , KV å©)èÿCfòmÜ⁄V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vs, Ÿ•Vi = {ξ ∈ V |(σ − λiε) ri (ξ) = 0}. ;.~KÜ)KE| ~7.1 AèÍçF˛m × n› , ½¬LA : F n → F m, x 7→ Ax. y²: LA¥¸Ö=Aï˛ |Ç5Ã'; LA¥˜Ö=A1ï˛|Ç5Ã'; ~7.2 W1ÜW2¥ÍçP˛Ç5òmV fòm,ÖV = W1 u W2;È?øα ∈ V kçò©)™α = α1 + α2, α1 ∈ W1, α2 ∈ W2,½¬V CÜϕ : ϕ(α) = α2,y²ϕ¥V òáÇ5CÜ. y È?øα, β ∈ V,Öα = α1 + α2, β = β1 + β2, α1, β1 ∈, α2, β2 ∈ W2,qk ∈ P, Kkϕ(α + β) = ϕ(α1 + α2) + (β1 + β2) = α2 + β2 = ϕ(α) + ϕ(β), ϕ(kα) = ϕ(kα1 + kα2) = kα2 = kϕ(α). ϕ¥V ¥Ç5C Ü. ~7.3 V ¥dgÍÿáL4òÉ¢XÍòıë™|§Ç5òm,ÈuV •?øıë™P(x)ÿ ±x 2 − 1˚™9{™©OèQ(x)9R(x), = P(x) = Q(x)(x 2 − 1) + R(x), R(x) = 0½R(x)gÍ< 2. ϕ¥lV V òáN¶ϕ(P(x)) = R(x). (1) y², ϕ¥V òáÇ5CÜ; (2) ¶ϕ'uV ƒ1, x, x2 , x3 , x4› . y² (1) p1(x), p2(x) ∈ V Öp1(x) = q1(x)(x 2 − 1) + r1(x), p2(x) = q2(x)(x 2 − 1) + r2(x),Ÿ •r1(x), r2(x)½è0½gÍ< 2. u¥ϕ(p1(x)) = r1(x), ϕ(p2(x)) = r2(x). È?ø¢Ík1, k2, kk1p1(x) + k2p2(x) = [k1q1(x) +k2q2(x)](x 2 −1) + [k1r1(x) +k2r2(x)]. œèr1(x), r2(x)½è0½gÍ< 2, §±k1r1(x) + k2r2(x)½è0½gÍ< 2.§±ϕ(k1p1(x)+k2p2(x)) = k1r1(x)+k2r2(x) = k1ϕ(p1(x))+k2ϕ(p2(x)). ϕ¥V òáÇ5CÜ; (2) œè1 = 0(x 2 − 1) + 1, x = 0(x 2 − 1) + x, x2 = 1(x 2 − 1) + 1, x3 = x(x 2 − 1) + x, x4 = (x 2 + 1)(x 2 − 1) + 1,§±ϕ(1) = 1, ϕ(x) = x, ϕ(x 2 ) = 1, ϕ(x 3 ) = x, ϕ(x 4 ) = 1. l ϕ(1, x, x2 , x3 , x4 ) = (1, x, x2 , x3 , x4 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . ϕ'uV ƒ1, x, x2 , x3 , x4› è 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . ~7.4 ëï˛òm•,Ç5CÜT1ȃ.α1 = (1, 2), α2 = (2, 1)› ¥ 1 2 2 3 ! , Ç5CÜT2È ƒ.β1 = (1, 1), β2 = (1, 2)› ¥ 3 3 2 4 ! , ¶CÜT1 + T2 Èβ1, β2› ,T1T2Èα1, α2› . )(β1, β2) = (α1, α2)P −1 ,KP = (β1, β2) −1 (α1, α2), §±P = 1 1 1 2 !−1 1 2 2 1 ! = 0 3 1 −1 ! . 1 4 ê
al=aaa4=a(任）pp-(日)(&)（日）广 56 =C,所以T(3,32)=(3,32)C=(31,B2) 56 -23-1 -2/3-1 ,而I2(1,2)=(,3)B= (a24 33Y -2/8-1 产（》=(a) (,)D.因为P-1BP= 12 (a1,a2)G,D,G即为所求的矩阵 例7.5设,0是线性变换，2=,02=女.证明 (1)如果(2+)2=0+6.那么00=0： (2)如果p0=,那么(+-p0)2=p+中-p0 证()因为2=,=,(0+)2=+0.由于(+}2=(++)=2+0++ 故+ +p0+0 +,即0+0=0.又20=0+p0=p0-9=p20 -2=p20+p 0=0,所以p0=0. (2)因为02=，02=4,0=g,所以(e+0-p)=2+中-p0 =p2+p-20y+p0+02-p02-p2o-p0+p0p0 =9+9p-9p0+0+p-p0-p0-p00+9p00 =+-p0+p0+中-p0-p0-p0+p0 =p+0-0 例7.6如果1,·,P,是线性空间V的s个两两不同的线性变换，那么在V中存在向量a,使a,…,9a也 两两不同 证明令%=ala∈Vp,a=防a(6,j=1,2,…,).因为p0=p0=0,0∈，故V非空又因 为1,2…，.两两不同，所以对于每两个9，而言，总存在一个向量B,使3≠98.故V是V的非空真 子集 设a,B∈V则a=pa,3=9B.于是p(a+)=9(a+).即a+Be又p,(ka)=kpa= 2ka),于是kaeV ,是V的真子空间. 四如果，都是V的非平凡 空间，在V 至少有一向量不属于所有的V%设a∈V,(低，j=1,2,,s, 则a≠9a(ij=1,2…,》即证：存在向量a,使p1a,P20, ·,p0两两不同. (2)如果，中有V的平凡子空间V。n,则Vn只能是零空间.对于这种Vo加，只要取a≠0，就有p:a≠ a,故这样的Vo。可以去掉，因而问题可归于1).即知也存在向量a使p1a,20,…,P,a两两不同。 例7.7设o1,…,p,是线性空间V的s个线性变换，若存在a∈V(1≤i≤s)使得(a)≠0，那么 在a∈V使得p.(a)≠0,1≤i≤s. 空间，所以kery:U ·ker。为V的真子集，于是存在 i≤8 第5页
qT1(α1, α2) = (α1, α2)A = (α1, α2) 1 2 2 3 ! , P AP −1 = 0 3 1 −1 ! 1 2 2 3 ! 0 3 1 −1 !−1 = 5 6 −2/3 −1 ! = C1,§±T1(β1, β2) = (β1, β2)C1 = (β1, β2) 5 6 −2/3 −1 ! , T2(β1, β2) = (β1, β2)B = (β1, β2) 3 3 2 4 ! ; (T1+T2)(β1, β2) = (β1, β2) 5 6 −2/3 −1 ! + 3 3 2 4 !! = (β1, β2) 8 9 4/3 3 ! = (β1, β2)D. œèP −1BP = 0 3 1 −1 !−1 3 3 2 4 ! 0 3 1 −1 ! = [5 41 2] = C2, §±T2(α1, α2) = (α1, α2)C2 = (α1, α2) 5 4 1 2 ! , T1T2(α1, α2) = (α1, α2) 1 2 2 3 ! 5 4 1 2 !! = (α1, α2) 7 8 13 14 ! = (α1, α2)G, D, G=觶› . ~7.5 ϕ, φ¥Ç5CÜ,ϕ 2 = ϕ, φ2 = φ. y²: (1) XJ(ϕ + φ) 2 = ϕ + φ,@oϕφ = o; (2) XJϕφ = φϕ,@o(ϕ + φ − ϕφ) 2 = ϕ + φ − ϕφ y (1) œèϕ 2 = ϕ, φ2 = φ,(ϕ + φ) 2 = ϕ + φ. du(ϕ + φ) 2 = (ϕ + φ)(ϕ + φ) = ϕ 2 + ϕφ + φϕ + φ 2 , ϕ + φ = ϕ + ϕφ + φϕ + φ,=ϕφ + φϕ = o. q2ϕφ = ϕφ + ϕφ = ϕφ − φϕ = ϕ 2φ − φϕ2 = ϕ 2φ + ϕφϕ = ϕ(ϕφ + φϕ) = ϕo = o,§±ϕφ = o. (2) œèϕ 2 = ϕ, φ2 = φ, ϕφ = φϕ, §±(ϕ + φ − ϕφ) = ϕ + φ − ϕφ = ϕ 2 + φϕ − ϕφϕ + ϕφ + φ 2 − ϕφ2 − ϕ 2φ − φϕφ + ϕφϕφ = ϕ + ϕφ − ϕϕφ + ϕφ + φ − ϕφ − ϕφ − ϕφφ + ϕϕφφ = ϕ + ϕφ − ϕφ + ϕφ + φ − ϕφ − ϕφ − ϕφ + ϕφ = ϕ + φ − ϕφ ~7.6 XJϕ1, · · · , ϕs¥Ç5òmV sḸÿ”Ç5CÜ,@o3V •3ï˛α,¶ϕ1α, · · · , ϕsαè ¸¸ÿ”. y² -Vij = α|α ∈ V, ϕiα = ϕjα(i, j = 1, 2, · · · , s). œèϕi0 = ϕj0 = 0, 0 ∈ Vij ,Vijöò.qœ èϕ1, ϕ2, · · · , ϕs¸¸ÿ”,§±Èuz¸áϕi , ϕj Û,o3òáï˛β,¶ϕiβ 6= ϕjβ. Vij¥V öò˝ f8. α, β ∈ Vij ,Kϕiα = ϕjα, ϕiβ = ϕjβ. u¥ϕi(α + β) = ϕj (α + β).=α + β ∈ Vij . qϕi(kα) = kϕiα = kϕjα = ϕj (kα),u¥kα ∈ Vij . Vij¥V ˝fòm. (1) XJVij—¥V ö²Öfòm, 3V •ñkòï˛ÿ·u§kVij . α ∈ Vij (i, j = 1, 2, · · · , s), Kϕiα 6= ϕjα(i.j = 1, 2, · · · , s)). =y: 3ï˛α,¶ϕ1α, ϕ2α, · · · , ϕsα¸¸ÿ”. (2) XJVij•kV²ÖfòmVi0j0 ,KVi0j0êU¥"òm.Èu˘´Vi0j0 ,êáα 6= 0,“kϕiα 6= ϕjα, ˘Vi0j0å±K,œ ØKå8u1),=è3ï˛α¶ϕ1α, ϕ2α, · · · , ϕsα¸¸ÿ”. ~7.7 ϕ1, · · · , ϕs¥Ç5òmV sáÇ5CÜ, e3αi ∈ V (1 ≤ i ≤ s) ¶ϕi(αi) 6= 0, @o 3α ∈ V ¶ϕi(α) 6= 0, 1 ≤ i ≤ s. y² -kerϕièϕiÿ, œè3αi ∈ V (1 ≤ i ≤ s) ¶ϕi(αi) 6= 0, §±kerϕi(1 ≤ i ≤ s)èV ˝f òm, §±kerϕ1 ∪ · · · kerϕs èV ˝f8, u¥3α ∈ V ¶α 6∈ kerϕi(1 ≤ i ≤ s), =ϕi(α) 6= 0, 1 ≤ i ≤ s. ~7.8 (1) Rè¢Íç, σ : R2 → R2¥R2Ç5CÜ, σ(x, y) = (2x + y, x + 2y), ¶σAä⁄A ï˛. 1 5 ê
460 (②)设V是数域F所有3维列向量构成的线性空间，A -3-50 定义映射p:X→AXX∈ -61 (1)是线性变换 (②)求p的核kerp和Imvp的维数 (3)求的特征值和特征向量： 证明：(1)任取X,Y∈V,k∈F,因为A(K+Y)=AX+A,A(kX)=k(AX),所以P是线性变换； (②)因为ker2={X∈VAX=0,所以kerP是线性方程组Ar=0的解空间，于是dimker2=3-r(4) 注意到A=-2,所以A可逆，因此r(A)=0,于是dimker=0.因为Lm+dimke =3,所以1m=3. =(1,0,0,2=(01,0以，63=(0,0,1y.则p在基61,2,3下的矩月 A的特征多项式AE-A川=(A-1)P(+2),于是A的特征值为1(2重)，-2，也就是p的特征值 当入=1时，解方程(E-A)z=0,得基础解析61=(-2,1,0y,52=(0,0,1y,于是得的属于1的特征向量 为k161+k25,k1,2∈F为任意常数： 当入=-2时，解方程(-2E-A)r=0,得基础解析=(1，-1,1以，于是得的属于-2的特征向量 为k3,k∈F为任意常数 311） 例7.9设A=242,计算A0 1 -11 例7.10设A,B为n阶方阵，证明AB与BA有相同的特征值 例7.11()设是数域F上n维线性空间V的线性变换，入是的一个特征值，其重数为k,八是属于A的 特征子空间，证明：dim≤k (②)设A是数域F上n阶方阵，A是A的一个特征值，其重数为k,S是线性方程组(AE一A)z=0的解空间， 证明：dmS≤k. 证明(1)人是n维线性空间V的子空间，所以，是有限维子空间，设dim。=s,取的一个 基n1,…,a,将共扩充为V的一个基a ,00g+1…,0则 第6页
(2) V ¥ÍçF§k3ëï˛§Ç5òm, A = 4 6 0 −3 −5 0 −3 −6 1 . ½¬Nϕ : X → AX ∀X ∈ V . (1) ϕ¥Ç5CÜ; (2) ¶ϕÿkerϕ⁄ImϕëÍ. (3) ¶ϕAä⁄Aï˛. y²:(1) ?X, Y ∈ V, k ∈ F, œèA(X + Y ) = AX + Ay, A(kX) = k(AX), §±ϕ¥Ç5CÜ; (2) œèkerϕ = {X ∈ V |AX = 0} , §±kerϕ¥Ç5êß|Ax = 0)òm, u¥dimkerϕ = 3−r(A). 5ø|A| = −2, §±Aå_, œdr(A) = 0, u¥dimkerϕ = 0. œèImϕ + dimkerϕ = 3, §±Imϕ = 3. (3) V ò|ƒε1 = (1, 0, 0)0 , ε2 = (0, 1, 0)0 , ε3 = (0, 0, 1)0 . Kϕ3ƒε1, ε2, ε3e› èA. AAıë™|λE − A| = (λ − 1)2 (λ + 2), u¥AAäè1(2), −2, è“¥ϕAä. λ = 1û,)êß(E − A)x = 0,ƒ:)¤ξ1 = (−2, 1, 0)0 , ξ2 = (0, 0, 1)0 ,u¥ϕ·u1Aï˛ èk1ξ1 + k2ξ2, k1, k2 ∈ Fè?ø~Í; λ = −2û,)êß(−2E − A)x = 0,ƒ:)¤ξ3 = (1, −1, 1)0 , u¥ϕ·u−2Aï˛ èk3ξ3, k3 ∈ Fè?ø~Í. ~7.9 A = 3 1 1 2 4 2 −1 −1 1 , OéA10 . ~7.10 A, Bèn ê , y²ABÜBAkÉ”Aä. ~7.11 (1) ϕ¥ÍçF˛nëÇ5òmV Ç5CÜ, λ¥ϕòáAä,ŸÍèk, Vλ¥·uλ Afòm, y²:dimVλ ≤ k. (2) A¥ÍçF˛n ê , λ¥AòáAä,ŸÍèk, S¥Ç5êß|(λE − A)x = 0)òm, y²:dimS ≤ k. y²(1) Vλ0¥nëÇ5òmV fòm, §±Vλ0 ¥kÅëfòm, dimVλ0 = s. Vλ0òá ƒα1, · · · , αs, ÚŸ*øèV òáƒα1, · · · , αs, αs+1, · · · , αn. K 1 6 ê
T(a1)=0a1,T(a2）=入0a2,·,T(a.)=入0a. T(a+i)=@1+1a1+a2,+1a2+…+an,s+1 T(an)=+azna2++annan: 于是r在基a1,·,a,+1,,n下的矩阵为A- (E。A如）其中E,为阶单位阵，： 、0A2/ /a1+1…a1m 因此 an+1·ann/ IE-Al= (-)E -A12 =(A-Xo)"IAEn---A2l=(A-Ao)h(A,其中h() IAEn--Al.所以o在AE-A川中的重数之于是im。≤k 例7.12设f口)=（红-3）2,9()=工-1是实数域R上的两个多项式，定义R上线性空间的线性变 换g:o，头)=(2r+,x+2划，3，证明：R-kerf(o)©kerg(o). 例7.13设f),g)是实数域F上的两个多项式，m()-f,g是它们的首一的最小公倍式， 是F上线性空间V的线性变换，证明kerf(a)+kerg(a)=kcrm(a, 例7.14假若f,g都是n维线性空间V的线性变换，NU)表示f的核子空间，即N)={a∈Vfa)=0 证明：VUg)的维数≤NU)的维数+N(g)的维数 例7.l5设是n维线性空间V的线性变换，kerp=aeV(a)=0}为p的核，m=(ala∈V门 为心的像证明 (1)存在自然数r使得kerp=kerp+1,且对任意自然数ro,均有kerb”=kerr+n (2)存在自然数s使得m心”=Imw+1,且对任意自然数s0,均有1mp=1m心+0 (3)存在自然数k使得v=ker心由Imv. 证明：()对任意自然数，取a∈kerw,则w(a)=0,因此w+1(a)=(ew(a》=0,于是E ker+ 从而有ker C ker+.这样我们得到 因此，dimkerv≤dimker2≤…≤dimker≤dimker+1≤…. 因为ker中为V的子空间，所以dimkery≤dhmV=n,因此存在自然数r使得dimkery=dimker中r+l 由此可得对任意自然数ro,均有dimkert=dimker心r+ro.于是ker=ker+1=keT心r+ro. (②对任意自然数取a∈Im+,则存在B∈V使得 =+1(3)=(3,因此E Ime,于 22 是1m+11mw.这样我们得到m中 21m 因此，dimmw≥ 1≥….因为1mp*为v的子空间，所以0≤dimlm≤ dimV=n,因此存在自然数s使得dimIm=dimm心+1.由此可得对任意自然数so,均有dimIm= dimlm+o.于是Impr=Imr+l=Im+o. (3)令k=max{r.s}.则由1)和(2)得kerk=kerk=r+1=.·=U.Im=Imk+1=..=V. 令aeV,则p(a) =1m2，因此存在B∈V使得(a)=2().于是(a-心()=0 因此a-(∈ken， 是存在)eke使得a-()=,即a=()+,故=U+W 令a∈0nW,则由a∈W存在3∈V使得a=(),由a∈U得w(a)=0,于是(a)=2*()=0,这 样B∈kerp2k=kerw,因此a=*(B)=0.即UnW=0,于是V=U⊕W. 例7.16设A为n阶实方阵且A2-3A+2E=0,其中E为n阶单位阵，证明：A相似于对角阵」 第7页
τ (α1) = λ0α1, τ (α2) = λ0α2,· · · , τ (αs) = λ0αs, τ (αs+1) = a1,s+1α1 + a2,s+1α2 + · · · + an,s+1αn · · · , · · · , · · · , τ (αn) = a1nα1 + a2nα2 + · · · + annαn, u¥τ3ƒα1, · · · , αs, αs+1, · · · , αne› èA = λ0Es A12 0 A22 ! , Ÿ•Esès ¸† , A22 = a1,s+1 · · · a1n . . . . . . an,s+1 · · · ann . œd, |λE − A| = (λ − λ0)Es −A12 0 λEn−s − A22 = (λ − λ0) s |λEn−s − A22| = (λ − λ0) sh(λ), Ÿ•h(λ) = |λEn−s − A22|. §±λ03|λE − A|•Í≥ s, u¥dimVλ0 ≤ k. ~7.12 f(x) = (x − 3)2 , g(x) = x − 1¥¢ÍçR˛¸áıë™, ½¬R˛Ç5òmR3Ç5C Üσ: σ(x, y, z) = (2x + y, x + 2y, 3z), y²: R3 = kerf(σ) ⊕ kerg(σ). ~7.13 f(x), g(x)¥¢ÍçF˛¸áıë™, m(x) = [f(x), g(x)]¥ßǃòÅ˙™, σ ¥F ˛Ç5òmV Ç5CÜ, y²kerf(σ) + kerg(σ) = kerm(σ). ~7.14 bef, g—¥nëÇ5òmV Ç5CÜ,N(f)L´fÿfòm, =N(f) = {α ∈ V |f(α) = 0}. y²: N(fg)ëÍ≤ N(f)ëÍ+N(g)ëÍ. ~7.15 ψ¥nëÇ5òmV Ç5CÜ,kerϕ = {α ∈ V |ϕ(α) = 0} èψ ÿ,Imψ = {ψ(α)|α ∈ V } èψ îy²: (1) 3g,Ír¶kerψr = kerψr+1 , ÖÈ?øg,Ír0, ˛kkerψr = kerψr+r0 ; (2) 3g,Ís¶Imψs = Imψs+1 , ÖÈ?øg,Ís0, ˛kImψr = Imψs+s0 ; (3) 3g,Ík¶v = kerψk ⊕ Imψk . y²: (1) È?øg,Íl,α ∈ kerψl , Kψ l (α) = 0, œdψ l+1(α) = ψ(ψ l (α)) = 0, u¥α ∈ kerψl+1 , l kkerψl ⊆ kerψl+1 . ˘·Ç kerψ ⊆ kerψ2 ⊆ · · · ⊆ kerψl ⊆ kerψl+1 ⊆ · · · , œd, dimkerψ ≤ dimkerψ2 ≤ · · · ≤ dimkerψl ≤ dimkerψl+1 ≤ · · · . œèkerψlèV fòm, §±dimkerψl ≤ dimV = n, œd3g,Ír¶dimkerψr = dimkerψr+1 . ddåÈ?øg,Ír0, ˛kdimkerψr = dimkerψr+r0 . u¥kerψr = kerψr+1 = kerψr+r0 . (2) È?øg,Íl,α ∈ Imψl+1 , K3β ∈ V ¶α = ψ l+1(β) = ψ l (ψ(β)), œdα ∈ Imψl , u ¥Imψl+1 ⊆ Imψl+1 . ˘·ÇImψ ⊇ Imψ2 ⊇ · · · ⊇ Imψl ⊇ Imψl+1 ⊇ · · · , œd, dimImψ ≥ dimImψ2 ≥ · · · ≥ dimImψl ≥ dimImψl+1 ≥ · · · . œèImψkèV fòm, §±0 ≤ dimImψl ≤ dimV = n, œd3g,Ís¶dimImψs = dimImψs+1 . ddåÈ?øg,Ís0, ˛kdimImψs = dimImψs+s0 . u¥Imψr = Imψr+1 = Imψs+s0 . (3) -k = max{r, s}. Kd(1)⁄(2)kerψk = kerψk=r+1 = · · · = U, Imψk = Imψk+1 = · · · = W. -α ∈ V , Kψ k (α) ∈ Imψk = Imψ2k , œd3β ∈ V ¶ψ k (α) = ψ 2k (β),u¥ψ k (α − ψ k (β)) = 0, œdα − ψ k (β) ∈ kerψk , u¥3γ ∈ kerψk ¶α − ψ k (β) = γ, =α = ψ k (β) + γ, V = U + W; -α ∈ U ∩ W, Kdα ∈ W 3β ∈ V ¶α = ψ k (β), dα ∈ U ψ k (α) = 0, u¥ψ k (α) = ψ 2k (β) = 0, ˘ β ∈ kerψ2k = kerψk , œdα = ψ k (β) = 0, =U ∩ W = 0, u¥V = U ⊕ W. ~7.16 Aèn ¢ê ÖA2 − 3A + 2E = 0,Ÿ•Eèn ¸† , y²:AÉquÈ . 1 7 ê
证明：令a是A的属于特征值λ的特征向量，则Aa=λa.于是(A2-34+2E)a=(2-3入+2)a=0, 因此2-3入+2=0，得入=1或2.即A的特征值的重数为1. 于3红+2，d)为A的最小的多项式.因为f)=0,所以df于是d)的根关 例7.17，设p是数域F上n为线性空间V的一个线性变换，满足p2-3+2id=0,其中d为V的恒等变 换，证明：存在V的一组基使得在该记下的矩阵为对角矩阵 证明：取V的一组基1,2，·，am,p关于基a1,a2,·,an的矩阵为A,则42-34+2E=0. 上题知A相似于对角阵，即存在可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵.令(3，品2·，A)=(@1,2,…,an)P 则1,品2，，Bn为V的一组基且关于它的矩阵为P-1AP,从而为对角阵。 例7.18设A是一个n阶矩阵且秩(A)=1 ()证明：A=aB,其中a,B为n维行向量 (②)若A的第 行和第 一列的元素全为1，求A及A10. (3)说明A相似于对角阵的充分必要条件并证明之， 例7.19，设1,2，…，an是数域P上得n为线性空间V的一个基，是由a1+a2+…+an生成的子空 间，={a1+k2a2+…+knanlk+2+…+kn=0,k∈P1≤i≤n}. (1)证明：2是V的子空间：（②）证明：V=⊕：(3)若V上的线性变换在1,2，·，am下的矩 a1 a2.03...dn a, a2..a 阵是A an-1 an a1 .an-2 ,证明：片与都是的不变子空间 证()任取a=1a1+k202+…+knan,月=ha+l22+…+lnan∈g,其中l+…+ln k1++kn=0k,l∈P,则ka+lB=(kk1+l)a+…+(kkn+ln)an,且(kk1+山)+…+(kkn+ln)= k(k1+…+km)++,+l)=0.因此ka+Be,故是V的子空间： (2)设aen,则a=a1+a2++an)=1m1+22+…+knam,其中1++kn=0,k,k∈P k.)o k-2)a2+ +k-kn)an=0,因此k =k-kn=0,即k-1十+k-kn=nk=0 于是 0,即a 0,故1n2={0. 对任意B∈V,则存在k1,…,n∈P使得B=101+22+…+knn,令=(k1+…+kn)/m, 则B=(@1+a2+…+an)+(1-k)a1+(2-ko)a2+…+(kn-)an且(1-a)+…+(kn-ko)=0, 从而k(a1+a2+…+an)∈，(k1-ko)a1+(2-ko)a2+…+(kn-k)an∈，故V=. (3)有顺设得 (1)=aio++...+a2on, p(a2）=a2a1+a1a2+.+a203,. 0(0n】=0m01+a-102+.··+0201 任取a=k(a1+a2+…+an)e,则p(a)=k(a)…+p(an】=k(a1++an)(a1+2+…+am)∈ :故K是2不变的： 令k1a1+ka2+…+knan E,则(a+…+kna)=k1(a)+…+kn(a)=k(a +km(ana1十an-1a2十 …+a2a)=(a1++an(k1a+…+kan)∈，故5t也 是口不变的， 例7.20令是数域F上n维线性空间V的一个线性变换且a2 =a,a(W)为的值域，a1(O)为的核.证 明： 第8页
y²: -α¥A·uAäλAï˛, KAα = λα. u¥(A2 − 3A + 2E)α = (λ 2 − 3λ + 2)α = 0, œdλ 2 − 3λ + 2 = 0, λ = 1½2. =AAäÍè1. f(x) = x 2 − 3x + 2, d(x)èAÅıë™. œèf(A) = 0, §±d(x)|f(x), u¥d(x)äè¸ä, AÉquÈ . ~7.17, ϕ¥ÍçF˛nèÇ5òmV òáÇ5CÜ, ˜vϕ 2 − 3ϕ + 2id = 0, Ÿ•idèV ð C Ü, y²: 3V ò|ƒ¶ϕ3TPe› èÈ› . y²: V ò|ƒα1, α2, · · · , αn, ϕ'uƒα1, α2, · · · , αn› èA, KA2 − 3A + 2E = 0. ˛KAÉquÈ , =3å_› P¶P −1APèÈ . -(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αn)P, Kβ1, β2, · · · , βnèV ò|ƒÖϕ'uß› èP −1AP, l èÈ . ~7.18 A¥òán › Öù(A) = 1. (1) y²: A = α 0β,Ÿ•α, βènë1ï˛; (2) eA1ò1⁄1òÉ è1, ¶A9A100 . (3) `²AÉquÈ ø©7á^áøy²É. ~7.19, α1, α2, · · · , αn¥ÍçP˛nèÇ5òmV òáƒ,V1¥dα1 + α2 + · · · + αn)§fò m, V2 = {k1α1 + k2α2 + · · · + knαn|k1 + k2 + · · · + kn = 0, ki ∈ P, 1 ≤ i ≤ n}. (1) y²:V2¥V fòm¶(2) y²: V = V1 ⊕ V2; (3) eV ˛Ç5CÜϕ3α1, α2, · · · , αne› ¥A = a1 a2 a3 · · · an an a1 a2 · · · an−1 an−1 an a1 · · · an−2 . . . . . . . . . . . . . . . a2 a3 a4 · · · a1 ,y²:V1ÜV2—¥ϕÿCfòm. y(1) ?α = k1α1 + k2α2 + · · · + knαn, β = l1α1 + l2α2 + · · · + lnαn ∈ V2, Ÿ•l1 + · · · + ln = k1 + · · · + kn = 0, k, l ∈ P, Kkα + lβ = (kk1 + ll1)α1 + · · · + (kkn + lln)αn,Ö(kk1 + ll1) + · · · + (kkn + lln) = k(k1 + · · · + kn) + l(l1 + · · · + ln) = 0, œdkα + lβ ∈ V2, V2¥V fòm; (2) α ∈ V1∩V2,Kα = k(α1+α2+· · ·+αn) = k1α1+k2α2+· · ·+knαn, Ÿ•k1+· · ·+kn = 0, ki , k ∈ P. u¥(k−k1)α1+(k−k2)α2+· · ·+(k−kn)αn = 0, œdk−k1 = · · · = k−kn = 0, =k−k1+· · ·+k−kn = nk = 0, u¥k = 0, =α = 0,V1 ∩ V2 = {0}. È?øβ ∈ V , K3k1, · · · , kn ∈ P¶β = k1α1 + k2α2 + · · · + knαn, -k0 = (k1 + · · · + kn)/n, Kβ = k0(α1 +α2 +· · ·+αn) + (k1 −k0)α1 + (k2 −k0)α2 +· · ·+ (kn −k0)αnÖ(k1 −k0) +· · ·+ (kn −k0) = 0, l k0(α1 + α2 + · · · + αn) ∈ V1,(k1 − k0)α1 + (k2 − k0)α2 + · · · + (kn − k0)αn ∈ V2, V = V1 ⊕ V2. (3)kK ϕ(α1) = a1α1 + anα2 + · · · + a2αn, ϕ(α2) = a2α1 + a1α2 + · · · + a2α3, · · · ϕ(αn) = anα1 + an−1α2 + · · · + a2α1. ?α = k(α1+α2+· · ·+αn) ∈ V1, Kϕ(α) = k[ϕ(α1)· · ·+ϕ(αn)] = k(a1+· · ·+an)(α1+α2+· · ·+αn) ∈ V1; V1¥ϕÿC; -k1α1 + k2α2 + · · · + knαn ∈ V2, Kϕ(k1α1 + · · · + knαn) = k1ϕ(α1) + · · · + knϕ(αn) = k1(a1α1 + anα2 +· · · +a2αn) +· · · +kn(anα1 +an−1α2 +· · · +a2α1) = (a1 +· · · +an)(k1α1 +· · · +knαn) ∈ V2, V2è ¥ϕÿC. ~7.20 -σ¥ÍçF˛nëÇ5òmV òáÇ5CÜÖσ 2 = σ,σ(V )èσäç,σ −1 (0)èσÿ. y ²: 1 8 ê
(1)a-1(0)={长-() (2)V=o()©g-10: (3)若r是V的一个线性变换，则(W和g1(O)均是r的不变子空间的充要条件是rg= 证()对任意∈V,-)=)-2()=0，所以-)∈-1(0.若∈a1(0,则a)=0, 所以=n-a().因此a1(0)={-o()∈V. 对任意E∈V,因为=（传-(5）)+a(),所以E∈a1(O)+(W).因此V=o1(0)+a(W).若∈ g-1(0)na(y),则a)=0且存在使得7=a(),于是7=()=g2()=a()=0,因此V=g-1(0⊕a(W) (a() 意∈V, (传-a()+a(,(cr))=(arI低-()+a(】=(r(5-(》+ a(r(a()》,因为o-1(0)是r不变的，所以r(-a()∈。-1(o)故ar(-()=0因为o(V)r不变，所以存 在n使得(ro)()=o().于是a(r(a())=o2()=a().因此(ar)()=a()=T(a(,故aT=ro. b c a c a b a b c 例7.26设a,b,c是实数.4= c a b,B=a b=c a b a bc bc a b c a 证明：（①)A,B,C彼此相似：②如果BC=CB,则A至少有两个特征根为零. E2,3),乃 EL,2)则P乃AB=B,PAPB=C,P=,P=乃 故A与B相似，A与C相似 从而A,B c d o (②)因为BC=CB,即 a b c a b c b c a c a b c a b \b c a 比较对应元素有a2++c2=ab+bc+ac,即a2+2+2-ab-bc-ac=0,两边同乘以a+b+c得a3+ b3+c2-3abc=0.A的特征多项式f)=3-(a+b+c)x2-(a2+b2+c2-ab-bc-ac)A+a3+b+3-3abc 得f)=3-(a+b+C2故A至少有两个特征根为零. 例7.21假若A1,A2,B1,B2是n级方阵，其中A2,B2为可逆矩阵，证明：存在可逆矩阵PQ使得PA,Q B,i=1,2成立的充要条件是A1A51和B1B2相似. 证必要性，设存在可逆矩阵PQ使得PAQ=B,i=1,2,于是A1=P1B,Q-1,42=P-1B2Q 所以AA5=P-BQ-QBP=P-BB5'P,因此AA5和BB5相似 充分性，设A1A5和BB相似，于是有可逆矩阵P使得A1A=P-1BB时P,即A1=P-1BBPA2 因此PA1=B1B5PA2.令A5P-1B2=Q,可得PA1Q=B1(B21PA2)(A'P-1B2)=B1,PA2Q= PA2(A5P-1B2)=B2.故存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=B,i=1,2. 例72正明a设4伪三阶实矩阵2，证明：4与对角阵相似. 证()令A的特征多项式为f(A f()=E-A=A-a -012 -021入-22 =(+02)+=-0i3 -012 -a21-a22 =A2-(a11+a2}入+4l 设A的两个特征值为1,2，由二次方程根与系数有A12=42故△=B2-44C= (a+d2-411>0,故A有个不相等的非零实特征值，因而A与对角阵相似. 第9页
(1) σ −1 (0) = {ξ − σ(ξ)}; (2) V = σ(V ) ⊕ σ −1 (0); (3) eτ¥V òáÇ5CÜ, Kσ(V )⁄σ −1 (0)˛¥τÿCfòmøá^á¥τσ = στ . y (1) È?øξ ∈ V , σ(ξ −σ(ξ)) = σ(ξ)−σ 2 (ξ) = 0, §±ξ −σ(ξ) ∈ σ −1 (0). eη ∈ σ −1 (0), Kσ(η) = 0, §±η = η − σ(η). œdσ −1 (0) = {ξ − σ(ξ)|ξ ∈ V }. È?øξ ∈ V ,œèξ = (ξ − σ(ξ)) + σ(ξ), §±ξ ∈ σ −1 (0) + σ(V ). œdV = σ −1 (0) + σ(V ). eη ∈ σ −1 (0)∩σ(V ), Kσ(η) = 0Ö3ξ¶η = σ(ξ), u¥η = σ(ξ) = σ 2 (ξ) = σ(η) = 0, œdV = σ −1 (0)⊕σ(V ). (3) ø©5È?øξ ∈ σ −1 (0), σ(τ (ξ)) = τ (σ(ξ)) = τ (0) = 0, œdτ (ξ) ∈ σ −1 (0), È?øσ(η) ∈ σ(V ), τ (σ(η)) = σ(τ (η)) ∈ σ(V ). u¥σ −1 (0), σ(V )èτÿCfòm. 7á5È?øξ ∈ V , ξ = (ξ − σ(ξ)) + σ(ξ), (στ )(ξ)) = (στ )[(ξ − σ(ξ)) + σ(ξ)] = σ(τ (ξ − σ(ξ))) + σ(τ (σ(ξ))), œèσ −1 (0)¥τÿC,§±τ (ξ − σ(ξ) ∈ σ −1 (0), στ (ξ − σ(ξ)) = 0; œèσ(V )τÿC, §± 3η¶(τσ)(ξ) = σ(η). u¥σ(τ (σ(ξ))) = σ 2 (η) = σ(η). œd(στ )(ξ) = σ(η) = τ (σ(ξ)), στ = τσ. ~7.26 a, b, c ¥¢Í.A = b c a c a b a b c , B = c a b a b c b c a , C = a b c c a b b c a y²: (1) A, B, C*dÉq;(2) XJBC = CB, KAñk¸áAäè". (1) -P1 = E(2, 3), P2 = E(1, 2),KP2P1AP1P2 = B, P1P2AP2P1 = C, P −1 1 = P1, P −1 2 = P2, AÜBÉq, AÜCÉq, l A, B, CÉq. (2) œèBC = CB, = c a b a b c b c a a b c b c a c a b = a b c b c a c a b c a b a b c b c a . 'ÈAÉka 2 +b 2 +c 2 = ab+bc+ac, =a 2 +b 2 +c 2 −ab−bc−ac = 0, ¸>”¶±a+b+ca 3 + b 3+c 3−3abc = 0. AAıë™f(λ) = λ 3−(a+b+c)λ 2−(a 2+b 2+c 2−ab−bc−ac)λ+a 3+b 3+c 3−3abc. f(λ) = λ 3 − (a + b + c)λ 2 , Añk¸áAäè". ~7.21 beA1, A2, B1, B2¥n?ê , Ÿ•A2, B2èå_› , y²: 3å_› P, Q¶P AiQ = Bi , i = 1, 2§·øá^á¥A1A −1 2 ⁄B1B −1 2 Éq. y 7á5, 3å_› P, Q¶P AiQ = Bi , i = 1, 2, u¥A1 = P −1B1Q−1 , A2 = P −1B2Q−1 . §±A1A −1 2 = P −1B1Q−1QB−1 2 P = P −1B1B −1 2 P,œdA1A −1 2 ⁄B1B −1 2 Éq. ø©5, A1A −1 2 ⁄B1B −1 2 Éq, u¥kå_› P¶A1A −1 2 = P −1B1B1 2P, =A1 = P −1B1B −1 2 P A2, œdP A1 = B1B −1 2 P A2. -A −1 2 P −1B2 = Q, åP A1Q = B1(B −1 2 P A2)(A −1 2 P −1B2) = B1,P A2Q = P A2(A −1 2 P −1B2) = B2. 3å_› P, Q¶P AiQ = Bi , i = 1, 2. ~7.22 y²: (1)Aè ¢› ,|A| 2,y²:AÜÈ Éq. y (1)-AAıë™èf(λ), f(λ) = |λE − A| = λ − a11 −a12 −a21 λ − a22 = λ 2 − (a11 + a22)λ + |λE − A| = −a11 −a12 −a21 −a22 = λ 2 − (a11 + a22)λ + |A| A¸áAäèλ1, λ2,dgêßäÜXÍkλ1λ2 = |A| 2, 4 = B2 − 4AC = (a + d) 2 − 4 · 1 · 1 > 0, AkáÿÉ ö"¢Aä,œ AÜÈ Éq. 1 9 ê
例7.23设A是一个n阶下三角矩阵，证明： (1)如果44≠a(位≠，i,j=1,2,…,m),那么A相似于一对角阵： 2)如果a,= …=anm,而至少有一a0≠0o>0,那么A不与对角阵相似。 证明()因为是下三角矩阵所以0)=AE-一A二 …(0 又因a:≠aG≠元i,j=1,2,…,m,故4有n个不同的特征值，从而矩阵A一定可对角化，故4相似于 对角矩阵， a (2)假定A= a11 对角矩阵B 相似，则它们有 相同的特征值，…，因为A的特征多项式=-an，所以=为=…==由 a11 于B =a11E是数量矩阵，它只能与自身相似，故4不可能与对角矩阵相似 a11 例7.24，证明对任一n×n阶复系数矩阵A存在可逆矩阵T,使T-1AT是上三角矩阵. 证明存在一组基1,…,1n,…,1,cr,使与矩阵A相应的线性变换p在该基下的矩阵成若当标准 型 ,911=Ah1e11+e12, pein Alein, pe1=入e1+e Ear,=入，ear, 若过渡矩阵为P,则P-1AP=J= 重排基向量的次序，使之成为一组新基1m …,1,…,r…,,则又新基到旧基的过度矩阵为 其中B,= Br. 于是(1n…51,…,…,91)=(61n,…,51,…,m…,91)J故p在 1 此新基下的矩阵即为上角形Q(P-1AP)Q=，即存在可逆矩阵T=PQ,使T-1AT成上三角形 例7.25设p2= .2=0.证明 ()与有相同值域的充分必要条件是0=·，2=： (②)p与有相同的核的充分必要条件是0=9,0=g 第10页
~7.23 A¥òán en› ,y²: (1)XJaii 6= ajj (i 6= j, i, j = 1, 2, · · · , n),@oAÉquòÈ ; (2)XJa11 = a22 = · · · = ann, ñkòai0j0 6= 0(i0 > j0),@oAÿÜÈ Éq. y² (1)œèϕ¥en› ,§±f(λ) = |λE − A| = (λ − a11)(λ − a22)· · ·(λ − ann). qœaii 6= ajj (i 6= j, i, j = 1, 2, · · · , n),Aknáÿ”Aä,l › Aò½åÈz,AÉqu È› . (2)b½A = a11 . . . a11 ai0j0 . . . a11 ÜÈ› B = λ1 λ2 . . . λn Éq,KßÇk É”Aäλ1, λ2, · · · , λn.œèAAıë™f(λ) = (λ − a11) n, §±λ1 = λ2 = · · · = λn = a11. d uB = a11 a11 . . . a11 = a11E¥Í˛› ,ßêUÜg Éq,AÿåUÜÈ› Éq. ~7.24 ,y²:È?òn × n EXÍ› A,3å_› T,¶T −1AT¥˛n› . y² 3ò|ƒε11, · · · , ε1r1 , · · · , εs1, εsrs , ¶Ü› AÉAÇ5CÜϕ3Tƒe› §eIO .J,Ö ϕε11 = λ1ε11 + ε12, ϕε1r1 = λ1ε1r1 , ϕεs1 = λsεs1 + εs2 , ϕεsrs = λsεsrs , eLfi› èP,KP −1AP = J = J1 J2 . . . Js , ¸ƒï˛gS,¶É§èò|#ƒε1r1 , · · · , ε11, · · · , εsrs , · · · , εs1, Kq#ƒŒƒL›› èQ = Br1 Br2 . . . Brs , Ÿ•Brj = 1 1 · · · 1 rj . u¥ϕ(ε1r1 , · · · , ε11, · · · , εsrs , · · · , εs1) = (ε1r1 , · · · , ε11, · · · , εsrs , · · · , εs1)J 0 ϕ3 d#ƒe› =è˛n/Q−1 (P −1AP)Q = J 0 ,=3å_› T = P Q,¶T −1AT§˛n/. ~7.25 ϕ 2 = ϕ, φ2 = φ, y²: (1) ϕÜφkÉ”äçø©7á^á¥ϕφ = φ, φϕ = ϕ; (2) ϕÜφkÉ”ÿø©7á^á¥ϕφ = ϕ, φϕ = φ; 1 10 ê
