长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）高等代数选讲——第二章 行列式

第二章行列式 一，性质 性质1：行与列互换，行列式的值不变 性质2：某行（列）的公因子可以提到行列式符号外. 性质3：如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和：这两个 行列式的这一行（列的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列元素与原行列式相同. 性质4：两行（列）对应元素相同，行列式的值为零 性质：两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零 性质6：某行（列）的倍数加到另一行（列）上，行列式的值不变. 性质7：交换行列式两行（列）的位置，行列式的值变号. 性质8：（行列式按某一行（列）展开)设D=a为n级行列式，A,为元素a,的代数余子式，则 (1)D=+ak2A2+...+aknAini (2)D=++...+ankAni. 性质9∑=1a4=0i≠∑=1a4=0(≠) 工3 性质10（范德蒙行列式） x2x号 =l≤csn（c-) 1… 性质10设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则 =(-1)mm4卧， 二，解题方法与技巧 2.1基本性质在行列式计算中的应用 例题2.11计算下列阶行列式 b c d a1为 (D=6 a d e (②D c d a b c -d -a b d c b a d c-6 -a 中∑ ,是对所有n级排列求和 解可设D是关于a的4次多项式，故可设D=fa a b e d 1 11 因为D =(a+b+c+d b a d c c d a b c d a b 故(a+b+c+df(a) d c b a d c b a 同理可得(a+b-c-dlf(a),(a-b+c-df(a).(a-b-c+dlf(a).又a的系数为1，故D=f(a)= (a+b+c+d)(a+b-c-d)(a=b+c-d)(a-b-c+d). a b c d (2)令A= b-a d -c ,则 -a

1Ÿ 1™ ò, 5ü 5ü1: 1ÜpÜ,1™äÿC. 5ü2: ,1()˙œfå±J1™Œ“ . 5ü3: XJ,1()§kɗ屧¸ë⁄,KT1™å±§¸á1™⁄;˘¸á 1™˘ò1()É©OèÈA¸á\ÍÉò,Ÿ{à1()ÉÜ1™É”. 5ü4: ¸1()ÈAÉÉ”,1™äè". 5ü5: ¸1()ÈAɧ'~,1™äè". 5ü6: ,1()Í\,ò1()˛,1™äÿC. 5ü7: Ü1™¸1()†ò,1™äC“. 5ü8: (1™U,ò1()–m) D = |aij |èn?1™,AijèÉaijìÍ{f™, K (1) D = ak1Ai1 + ak2Ai2 + · · · + aknAin; (2) D = a1kA1i + a2kA2i + · · · + ankAni. 5ü9 Pn k=1 aikAjk = 0(i 6= j);Pn k=1 akiAkj = 0(i 6= j). 5ü10 (âÑ1™)              1 1 1 · · · 1 x1 x2 x3 · · · xn x 2 1 x 2 2 x 2 3 · · · x 2 n . . . . . . . . . . . . x n−1 1 x n−1 2 x n−1 3 · · · x n−1 n              = Q 1≤j<i≤n (xi − xj ) 5ü10 A¥m› ,B¥n› ,K (i)      A 0 ∗ B      =      A ∗ 0 B      = |A| · |B|, (ii)      0 A B ∗      =      ∗ A B 0      = (−1)mn|A| · |B|. , )Kê{ÜE| 2.1 ƒ5ü31™Oé•A^ ~K2.1.1 Oée1™ (1) D =           a b c d b a d c c d a b d c b a           ; (2) D =           a b c d b −a d −c c −d −a b d c −b −a           . (3) P j1j2···jn            a1j1 a1j2 · · · a1jn a2j1 a2j2 · · · a2jn . . . . . . . . . anj1 anj2 · · · anjn            ,Ÿ • P j1j2···jn¥È§kn?¸¶⁄. ):(1) åD¥'ua4gıë™,åD = f(a). œèD =           a b c d b a d c c d a b d c b a           = (a + b + c + d)           1 1 1 1 b a d c c d a b d c b a           , (a + b + c + d)|f(a). ”nå(a + b − c − d)|f(a), (a − b + c − d)|f(a).(a − b − c + d)|f(a). qa 4XÍè1,D = f(a) = (a + b + c + d)(a + b − c − d)(a − b + c − d)(a − b − c + d). (2) -A =   a b c d b −a d −c c −d −a b d c −b −a   , K 1

/a2+2+c2+e 0 0 0 2+242+2 A2= 0 0 a2+b2+2+ 2+b2+t 因此D=4=4=(a2+2+c2+2,由行列式定义知a的系数为-1，于是D=-(a2++c2+ 11a12.a1n a11a1p·01jm (3③)令D= a21022··42m a21a2归·a2y. =(-l)r心ijmD,所有n级排列中奇 1 un? anjt anja…anjn 偶各半，从而D带正负号的个数相等，故原式=0. 例题2.12设A-(a,)是一个n阶方阵，A,是a的代数余子式，证明 AA2g… A32A33··A3 =ai4-2 A2A… a11a12 00.. 0 a12 1 a22 21 0A2 A 1 inl an2 a10 a211A… aulAl-1 ≠时结论 an1 0 (间当4=0时，如果r(A)≤n-2,则因(4)=0，于是4°=0，故4=0，因此结论也成立. ()当A川=0时，如果r(A)=n-1,则r(A)=1,所证等式的左端行列式因任意两行成比例也等于零，故 结论也成立 例题2.13设A为n(n≥2)阶方阵，求证(1)1A1=4-1:(2)(4)=14m-2A(n为A的阶数，n≥2引. 证()由A4°=4E,得到441=4.当14≠0时，则41=4-1，结论成立：当14=0时，如能 证A1=0,则结论也成立 下证A=0如果4≠0，则存在可逆矩阵B使AB=E,于是AB=A但AA”=4E=0,故A= 0,从而4”=0,41=0这显然与4|≠0相矛后.因而，当4=0时，41=0. (2)分14=0与4≠0两种情况进行讨论： 当A≠0时，反复利用A=IAA-,则(Ay=(0AA-)=AA-(AA-1)-1=AA-1A 14m-14-1A=4n-24 当4=0时，只须证(4=0 ()当n>2时，因r(4)≤1而n-1>1,故r(4)≤1<n-1,因而(Ay=0,故(Ay=Am-2A成立. A(因n=2,故(Ay=14-2A

A2 =   a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2   œdD = |A2 | = |A| 2 = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 4 ,d1™½¬a 4XÍè−1, u¥D = −(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 . (3) -D =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann            ,K            a1j1 a1j2 · · · a1jn a2j1 a2j2 · · · a2jn . . . . . . . . . anj1 anj2 · · · anjn            = (−1)τ(j1j2···jn D, §kn?¸•¤ Ûàå, l DëK“áÍÉ, ™= 0. ~K2.1.2 A = (aij )¥òánê ,Aij¥aijìÍ{f™,y²            A22 A23 · · · A2n A32 A33 · · · A3n . . . . . . . . . An2 An3 · · · Ann            = a11|A| n−2 y            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann                       1 0 0 · · · 0 A21 A22 A23 · · · A2n . . . . . . . . . . . . An1 An2 An3 · · · Ann            =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann                       1 A21 · · · An1 0 A22 · · · An2 . . . . . . . . . 0 A2n · · · Ann            , =            a11 0 · · · 0 a21 |A| · · · 0 . . . . . . . . . an1 0 · · · |A|            = a11|A| n−1 (i)|A| 6= 0û,(ÿw,§·. (ii)|A| = 0û,XJr(A) ≤ n − 2,Kœr(A∗ ) = 0,u¥A∗ = 0,Aij = 0,œd(ÿ觷. (iii)|A| = 0û,XJr(A) = n−1,Kr(A∗ ) = 1,§y™܇1™œ?ø¸1§'~èu", (ÿ觷. ~K2.1.3 Aèn(n ≥ 2)ê , ¶y (1) |A∗ | = |A| n−1 ; (2) (A∗ ) ∗ = |A| n−2A(nèAÍ,n ≥ 2). y (1) dAA∗ = |A|E,|A||A∗ | = |A| n. |A| 6= 0û,K|A∗ | = |A| n−1 ,(ÿ§·; |A| = 0û,XU y|A∗ | = 0,K(ÿ觷. ey|A∗ | = 0.XJ|A∗ | 6= 0,K3å_› B¶A∗B = E,u¥AA∗B = A.AA∗ = |A|E = 0,A = 0,l A∗ = 0, |A∗ | = 0˘w,Ü|A∗ | 6= 0ÉgÒ.œ ,|A| = 0û,|A∗ | = 0. (2) ©|A| = 0Ü|A| 6= 0¸´ú¹?1?ÿ: |A| 6= 0û, áE|^A∗ = |A|A−1 , K(A∗ ) ∗ = (|A|A−1 ) ∗ = ||A|A−1 |(|A|A−1 ) −1 = |A∗ ||A| −1A = |A| n−1 |A| −1A = |A| n−2A; |A| = 0û,êLy(A∗ ) ∗ = 0. (1)n > 2û,œr(A∗ ) ≤ 1 n − 1 > 1,r(A∗ ) ≤ 1 < n − 1, œ (A∗ ) ∗ = 0,(A∗ ) ∗ = |A| n−2A§·. (2)n = 2û,A = a11 a12 a21 a22 ! ,KA∗ = a22 −a12 −a21 a11 ! ,(A∗ ) ∗ = a11 a12 a21 a22 ! = A, |A| n−2A = A(œn = 2),(A∗ ) ∗ = |A| n−2A. 2

2.2三对角线型及其变形行列式常用算法 三对角线型的行列式是指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为零而 其余元素全为零的行列式 法一：化三角形法此法是将主对角线上方或下方第一条次对角线上元素全部消成零，有时也将次对 角线下方的n-1个主对角元消成零. |aob1b2…bn 9a0 例题2.21计算D=0…0 0 解()当a≠0(i 时，提取公因式后将新行列式的第+1列乘以-6/a,=12,都 加到第一列，可得三角形行列式 ao-∑，gb1b… 0 10· D=TIa 0 01…0 0 00.1 (2)当a=0(i=1,2,…,n)时，显然，D=0. 法二：递推法先建立原行列式与其类型相同的低阶行列式的递推关系，然后按递推关系计算原行列 式 例题2.2.2计算n阶行列式（空白处全为零） a+8 1a+8a3 Dn= 1a+月 1 a+8 解将Dn按第一列展开，得到Dn=(a+3)Dn-1-aBDn-2,即 D-QD-1=B(D=1-aD-2)或D。-BD-1=a(D-1-BD-2 由此递推下去.得到D-aDn-1=m-2(D2-aD1)或Dn-BDn-1=a-2(D2-8D) 又因D=(a+-a,D, =a+8 故Dn-aDn-1=m(1片Dm-BD-1=a”(②) ()当a≠3时，由(1)与(2)得到Dn=。==a”+a"-1B+…+a6m-1+m (m)当a=6时，由(1)或(2)递推下去，得到Dn=a”+an-1B+…+a8m-1+m=(m+1)a” 2a1 a 2a 1 a22a1 练习1.设A= 是n阶矩阵，证明行列式A=(m+1)an ” a2 2a 1 a2.2a 3

2.2 nÈÇ.9ŸC/1™~^é{ nÈÇ.1™¥çÃÈDzÉÜÃÈDzê⁄eê1ò^gÈDzÉÿè" Ÿ{Éè"1™. {ò:zn/{ d{¥ÚÃÈDzê½eê1ò^gÈDzÉ‹û§",kûèÚgÈ Çeên − 1áÃÈû§". ~K2.2.1 OéD =              a0 b1 b2 · · · bn c1 a1 0 · · · 0 c2 0 a2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . cn 0 0 · · · an              . ) (1)ai 6= 0(i = 1, 2, · · · , n)û,J˙œ™￾,Ú#1™1i+1¶±−(ci/ai)(i = 1, 2, · · · , n)— \1ò,ån/1™ D = Yn i=1 ai              a0 − Pn i=1 cibi ai b1 b2 · · · bn 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1              = Yn i=1 ai(a0 − Xn j=1 cj bj aj ) (2)ai = 0(i = 1, 2, · · · , n)û,w,,D = 0. {: 4Ì{ kÔ·1™ÜŸa.É”$1™4Ì'X,,￾U4Ì'XOé1 ™. ~K2.2.2 Oén1™(òx?è") Dn =               α + β αβ 1 α + β αβ 1 α + β . . . . . . . . . αβ 1 α + β               ) ÚDnU1ò–m,Dn = (α + β)Dn−1 − αβDn−2, = Dn − αDn−1 = β(Dn−1 − αDn−2) ½Dn − βDn−1 = α(Dn−1 − βDn−2) dd4Ìe,Dn − αDn−1 = β n−2 (D2 − αD1) ½Dn − βDn−1 = α n−2 (D2 − βD1) qœD2 = (α + β) 2 − αβ, D1 = α + β, Dn − αDn−1 = β n (1); Dn − βDn−1 = α n (2) (i)α 6= βû,d(1)Ü(2)Dn = α n−β n α−β = α n + α n−1β + · · · + αβn−1 + β n (ii)α = βû,d(1)½(2)4Ìe,Dn = α n + α n−1β + · · · + αβn−1 + β n = (n + 1)α n. ˆS 1. A =                 2a 1 a 2 2a 1 a 2 2a 1 . . . . . . . . . a 2 2a 1 a 2 2a                 ¥n› ,y²1™|A| = (n + 1)a n. 3

法三：用数学归纳法已知三对角线型或其变形的行列式的结果时，可采用数学归纳法证明其结果的 正确性 a0-1 a1x-1 例题2.2.3证明a20x. doz"++..+an-iz+an 证对行列式阶数用数学归纳法当 2时，可直接验算结论成立：假定对(n≥2)结论成立，下证 对n+1也成立 设等式左端的行列式为Dn+1,按最后一行展开，得到Dn+1=xDn十a,由归纳假设知：Dn=aox"-1+ a1xn-2+…+an-2x+an-1代入Dn+1,即得Dn+1=aox+a1xn-+…+an-1x+an 2.3分块矩阵的初等不换在行列式中的应用 两个主要公式 例题2.3.1设A为m阶矩阵，a,3为n维列向量，A为A的随矩阵，则 (1)若A可逆，则A+a8=|41+3A-1a). (2)对一般的A,则A+a1=14M川+Aa. 证()因为 (）(）(日+)()()=(4） 所上+Aa=A+a (2)若14≠0，则由A1=高A“及(1)得A+a31=41+8A1a)=14+3Aa 若14=0，令141=A+tE,存在6>0使得当0<t<时有A1l≠0，于是由(1)得141+a川=4l+ 4:a.注意到该等式两边可视为t的多项式，因而是1的连续函数，因此当川→0+时也得到4+a1一 IAl+8A'a. 例题2.3.2设A∈Cn×n为可逆矩阵，U,V∈Cm×m,则 (A+UVI=+VA-iUl: 回)若m+VA-U可逆，则A+UVH可逆且(A+UV)1=A1-AULn+V"AU)-V'A~ 证记B=Im+VHAU 因为vA 式可得4+r。g期A+m=h国=+warn (倒)若B可逆，则由A可逆及回得1A+UV1=4E≠0，因此A+VH可逆 -）A()。）(AI)A-(4,0 A-10 因此 （-）=BBBB=（A-AUE-wa-Awg-1） B-1V'A-1 B-1 4

{n:^ÍÆ8B{ ÆnÈÇ.½ŸC/1™(Jû,åÊ^ÍÆ8B{y²Ÿ(J (5. ~K2.2.3 y²:               a0 −1 a1 x −1 a2 0 x . . . . . . . . . . . . . . . −1 an 0 0 · · · x               = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. y È1™Ín^ÍÆ8B{: n = 2û,åÜé(ÿ§·; b½Èn(n ≥ 2)(ÿ§·,ey Èn + 1觷. ™Ü‡1™èDn+1,UÅ￾ò1–m, Dn+1 = xDn + an, d8Bb:Dn = a0x n−1 + a1x n−2 + · · · + an−2x + an−1ì\Dn+1,=Dn+1 = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an. 2.3 ©¨› –ÿÜ31™•A^ ¸áÃá˙™ ~K2.3.1 Aèn› , α, βènëï˛, A∗èAäë› , K (1) eAå_, K|A + αβT | = |A|(1 + β 0A−1α). (2) ÈòÑA, K|A + αβ0 | = |A| + β 0A∗α. y (1) œè En 0 β 0A−1 1 ! A α −β 0 1 ! = A α 0 1 + β 0A−1α ! , A α −β 0 1 ! En 0 −β 0 1 ! = A + αβ0 α 0 1 ! §±      A α β 0 1      = |A|(1 + β 0A−1α) = |A + αβ0 |. (2) e|A| 6= 0, KdA−1 = 1 |A|A∗9(1)|A + αβT | = |A|(1 + β 0A−1α) = |A| + β 0A∗α. e|A| = 0, -|A1 = A + tEn, 3δ > 0¶0 å¿èt ıë™, œ ¥t ÎYºÍ, œd|t| → 0 +ûè|A + αβ0 | = |A| + β 0A∗α. ~K2.3.2 A ∈ C n×nèå_› , U, V ∈ C n×m, K (i) |A + UV 0 | = |A||Im + V 0A−1U|; (ii) eIm + V 0A−1Uå_, KA + UV Hå_Ö(A + UV 0 ) −1 = A−1 − A−1U(Im + V 0A−1U) −1V 0A−1 . y PB = Im + V HA−1U. (i) œè In 0 V 0A−1 Im ! A + UV 0 U 0 Im ! In 0 −V 0 Im ! = A U 0 B ! , §±™¸>1 ™å      A + UV 0 U 0 Im      =      A U 0 B      , =|A + UV 0 | = |A||B| = |A||Im + V 0A−1U|. (ii) eBå_, KdAå_9(i)|A + UV 0 | = |A||B| 6= 0, œdA + UV Hå_. -P1 = In 0 V 0A−1 Im ! , P2 = A−1 0 0 Im ! , P3 = In −A−1UB−1 0 Em ! , P4 = In 0 0 B−1 ! , P5 = In 0 V 0 Im ! . KP4P3P2P1 A U −V 0 Im ! = In 0 0 Im ! , A U −V 0 Im ! P5 = A + UV 0 U 0 Im ! . œd A U −V 0 Im !−1 = P4P3P2P1 = A−1 − A−1UB−1V 0A−1 −A−1UB−1 B−1V 0A−1 B−1 ! . 4

同时有 -h）=A+Um。 A U1 ）广-(4tmg）】 -1 -(A+U"-1U 01 于是(A+UV)-1=A-1-A-1U(Lm+VA-1-1v'A-1 例2.3.3设a=(a1,a2,…,an),8=(d,b2,·,bn)为n维实向量，求矩阵A=1-ag的行列式 () En0 En-aT8 aT -81 = 0 1/ -31/3 0 1-BaT 于是Ea-E-a8arar g1- 0 101-a 即l4=lEn-aal=1-Bar1=1-(ab1+…+anbn) a11+xa12+x·a1n+xa11a12… a21+xa2+x.ay知+x 例2.3.4证明 a21 022.. +∑，∑=A an1+xan2+x…ann+xan1an2…ann+x 其中A是a,的代数余子式. a11+xa12+xa1m+x a11a12 证明令D a21+x … 1= 1 则D=A+a3H.由定理1，D1=A+a31-4+BHA'a=4+x∑1∑=1A: aa1a2-1…a1am-1 例23.5计算行列式 a2a1-1a吃 的值，其中a,为实数，1<i≤n ana1-1 dnd2-1. a7a102-1·a10-1 22a1-1 a2a-1 解令D 9- a21 ana-1 ana2-1... an 1 则D=1n+VH.由定理2,1Dl=lnl2+VU川=(1-n(a+…+a品+1)+(a1+…+an2 练习计算下列n(n≥2)阶行列式： T-aa a a r-a a y+1 1) x-a 2) a 5

”ûk A U −V 0 Im !−1 = P5 A + UV 0 U 0 Im !−1 = (A + UV 0 ) −1 −(A + UV 0 ) −1U V H(A + UV 0 ) −1 Im − V 0 (A + UV 0 ) −1U ! . u¥(A + UV 0 ) −1 = A−1 − A−1U(Im + V 0A−1U) −1V 0A−1 . ~2.3.3 α = (a1, a2, · · · , an), β = (b1, b2, · · · , bn)ènë¢ï˛, ¶› A = I − α T β1™. ) En α T β 1 ! En 0 −β 1 ! = En − α T β αT 0 1 ! , En 0 −β 1 ! En α T β 1 ! = En − α T β αT 0 1 − βαT ! , u¥      En α T β 1      =      En − α T β αT 0 1      =      En α T 0 1 − βαT      , =|A| = |En − α T β| = |1 − βαT | = 1 − (a1b1 + · · · + anbn). ~2.3.4 y²:            a11 + x a12 + x · · · a1n + x a21 + x a22 + x · · · a2n + x . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · · ann + x            =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann + x            + Pn i=1 Pn j=1 Aij , Ÿ•Aij¥aijìÍ{f™. y² -D =   a11 + x a12 + x · · · a1n + x a21 + x a22 + x · · · a2n + x . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · · ann + x   , A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann   , α =   x x . . . x   , β =   1 1 . . . 1   . KD = A + αβH. d½n1, |D| = |A + αβH| = |A| + β HA∗α = |A| + x Pn i=1 Pn j=1 Aij . ~2.3.5 Oé1™            a 2 1 a1a2 − 1 · · · a1an − 1 a2a1 − 1 a 2 2 · · · a2an − 1 . . . . . . . . . ana1 − 1 ana2 − 1 · · · a 2 n            ä, Ÿ•aiè¢Í, 1 ≤ i ≤ n. ) -D =   a 2 1 a1a2 − 1 · · · a1an − 1 a2a1 − 1 a 2 2 · · · a2an − 1 . . . . . . . . . ana1 − 1 ana2 − 1 · · · a 2 n   , U =   a1 1 a2 1 . . . . . . an 1   , V =   a1 −1 a2 −1 . . . . . . an −1   . KD = In + UV H. d½n2, |D| = |In||I2 + V HU| = (1 − n)(a 2 1 + · · · + a 2 n + 1) + (a1 + · · · + an) 2 . ˆS Oéen(n ≥ 2)1™: (1)              x − a a a · · · a a x − a a · · · a a a x − a · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · x − a              ; (2)            y + 1 y · · · y y y + b · · · y . . . . . . . . . y y · · · y + b n            ; 5

1+0111,.11 -m2 (3)1B= 1 11 111+a 中a≠0. (⑤)，设n阶矩阵A=(@)的所有对角元素都等于2，当i-引=1时，a=-1,其它元素均为0，求矩 阵A的行列式. 答案1)（红-2a)n-1z+(n-2):(2)b9Ψ(1+∑ob-片(3）(-1)-1m-1(1+x2+…+xn-m) aa+含（间D=D-1+1=…=n+1 例2.3.6(1)设A为是n×m矩阵，B为是m×n方阵，En表示n级单位矩阵.证明：En-AB引=|Em-BA川 (2)设A为是n×m矩阵，B为是m×n方阵，En表示n级单位矩阵，入≠0. 证明：入E-AB=入n-m入E-BAl. ③)设A,B均为n阶方阵，E为n阶单位阵，证明：zE-AB引=E-BA.(等价的说法：设A,B为n阶 方阵，证明AB与BA有相同的特征值) B A En ()(5g)(“) EmB）Em0 B En-BA B -1Em-BAl 0 即IE,-AB=Em-BA (2) 所以 0 En-4B IAEmllEn -4E]=Xm-nEn ABl, B AEn-BA B En IEm BAl. 0 En 从而Am-叫AE-AB=AEm-BAL,即|AEn-AB=An-mAEm-BA (3)若x=0,则-AB=(-1)AB=(-1)BA=1-BA 石江丰0，因为 -4 E A E. （0En-49 xEnBE0 (En -BA B 所以 0Em-4里 IEnllEn-48=En ABl

(3) |B| =            x1 − m x2 · · · xn x1 x2 − m · · · xn . . . . . . . . . x1 x2 · · · xn − m            ; (4)              1 + a1 1 1 · · · 1 1 1 1 + a2 1 · · · 1 1 1 1 1 + a3 · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · 1 1 + an              , Ÿ •ai 6= 0. (5), n› A = (aij )§kÈÉ—u2, |i − j| = 1û, aij = −1, Ÿßɲè0, ¶› A1™. âY(1) (x − 2a) n−1 [x + (n − 2)a]; (2) b n(n+1) 2 (1 +Pn i=0 b −i ); (3) (−1)n−1mn−1 (x1 + x2 + · · · + xn − m) (4) a1a2 · · · an(1 + Pn i=1 1 ai ). (5) Dn = Dn−1 + 1 = · · · = n + 1. ~2.3.6 (1) Aè¥n×m› , Bè¥m×nê , EnL´n?¸†› . y²:|En −AB| = |Em −BA|. (2) Aè¥n × m› , Bè¥m × nê , EnL´n?¸†› , λ 6= 0. y²: |λEn − AB| = λ n−m|λEm − BA|. (3) A, B˛ènê , Eèn¸† , y²: |xE − AB| = |xE − BA|.(d`{: A, Bèn ê , y²ABÜBAkÉ”Aä). y² (1) œè Em 0 −A En ! Em B A En ! = Em B 0 En − AB ! , Em B A En ! Em 0 −A En ! = Em − BA B 0 En ! , §±      Em B A En      =      Em B 0 En − AB      = |En − AB| =      Em − BA B 0 En      = |Em − BA|, =|En − AB| = |Em − BA|. (2) Em 0 − A λ En ! λEm B A En ! = λEm B 0 En − AB λ ! , λEm B A En ! Em 0 −A En ! = λEm − BA B 0 En ! , §  ±     λEm B A En      =      λEm B 0 En − AB x      = |λEm||En − AB λ | = λ m−n|λEn − AB|,      λEm B A En      =      λEn − BA B 0 En      = |λEm − BA|, l λ m−n|λEn − AB| = |λEm − BA|, =|λEn − AB| = λ n−m|λEm − BA|. (3) ex = 0, K| − AB| = (−1)n|A||B| = (−1)n|B||A| = | − BA|; ex 6= 0, œè En 0 − A x En ! xEn B A En ! = xEn B 0 En − AB x ! , xEn B A En ! En 0 −A En ! = xEn − BA B 0 En ! , §  ±     xEn B A En      =      xEn B 0 En − AB x      = |xEn||En − AB x | = |xEn − AB|,      xEn B A En      =      xEn − BA B 0 En      = |xEn − BA|, 6

从而zEn-AB=E-BA 237假若AB.C,D率是m×n方阵，并且AC=CA.证明AB-hD-CB C D 运明国+时(.c)(。8）-(。a)动取行试利&8 C D A B IA(D-CA-'B)I=IAD-ACA-BI=IAD-CBI. 0 D-CA-B (2)A=0时，由于A只有有限个非零特征值，因此总存在常数a>0使得对于0<x<a的一切x, E+A的可造由4C=CA得eE+4AC=CeE+周此由情彩0有。ABeE+AD- C引.两边均为x的次多项式，据多项式理论，这种相等关系为恒等关系，因此上式在工=0时仍然成立， 可&8wo-cm

l |xEn − AB| = |xEn − BA|. ~2.3.7 beA, B, C, D—¥n × nê , øÖAC = CA. y²:      A B C D      = |AD − CB|. y² |A| 6= 0û, E 0 −CA−1 E ! A B C D ! = A B 0 D − CA−1B ! , ¸>1™,       A B C D      =      A B 0 D − CA−1B      = |A(D − CA−1B)| = |AD − ACA−1B| = |AD − CB|. (2) |A| = 0û,duAêkkÅáö"Aä, œdo3~Ía > 0¶Èu0 ˛èxngıë™, ‚ıë™nÿ, ˘´É'Xèð'X, œd˛™3x = 0ûE,§·, =      A B C D      = |AD − CB|. 7