长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）高等代数选讲——第二章行列式

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A2 =   a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 0 0 0 0 a 2 + b 2 + c 2 + d 2   œdD = |A2 | = |A| 2 = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 4 ,d1™½¬a 4XÍè−1, u¥D = −(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 . (3) -D = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann ,K a1j1 a1j2 · · · a1jn a2j1 a2j2 · · · a2jn . . . . . . . . . anj1 anj2 · · · anjn = (−1)τ(j1j2···jn D, §kn?¸•¤ Ûàå, l DëK“áÍÉ, ™= 0. ~K2.1.2 A = (aij )¥òánê ,Aij¥aijìÍ{f™,y² A22 A23 · · · A2n A32 A33 · · · A3n . . . . . . . . . An2 An3 · · · Ann = a11|A| n−2 y a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann 1 0 0 · · · 0 A21 A22 A23 · · · A2n . . . . . . . . . . . . An1 An2 An3 · · · Ann = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann 1 A21 · · · An1 0 A22 · · · An2 . . . . . . . . . 0 A2n · · · Ann , = a11 0 · · · 0 a21 |A| · · · 0 . . . . . . . . . an1 0 · · · |A| = a11|A| n−1 (i)|A| 6= 0û,(ÿw,§·. (ii)|A| = 0û,XJr(A) ≤ n − 2,Kœr(A∗ ) = 0,u¥A∗ = 0,Aij = 0,œd(ÿè§·. (iii)|A| = 0û,XJr(A) = n−1,Kr(A∗ ) = 1,§y™Ü‡1™œ?ø¸1§'~èu", (ÿè§·. ~K2.1.3 Aèn(n ≥ 2)ê , ¶y (1) |A∗ | = |A| n−1 ; (2) (A∗ ) ∗ = |A| n−2A(nèAÍ,n ≥ 2). y (1) dAA∗ = |A|E,|A||A∗ | = |A| n. |A| 6= 0û,K|A∗ | = |A| n−1 ,(ÿ§·; |A| = 0û,XU y|A∗ | = 0,K(ÿè§·. ey|A∗ | = 0.XJ|A∗ | 6= 0,K3å_› B¶A∗B = E,u¥AA∗B = A.AA∗ = |A|E = 0,A = 0,l A∗ = 0, |A∗ | = 0˘w,Ü|A∗ | 6= 0ÉgÒ.œ ,|A| = 0û,|A∗ | = 0. (2) ©|A| = 0Ü|A| 6= 0¸´ú¹?1?ÿ: |A| 6= 0û, áE|^A∗ = |A|A−1 , K(A∗ ) ∗ = (|A|A−1 ) ∗ = ||A|A−1 |(|A|A−1 ) −1 = |A∗ ||A| −1A = |A| n−1 |A| −1A = |A| n−2A; |A| = 0û,êLy(A∗ ) ∗ = 0. (1)n > 2û,œr(A∗ ) ≤ 1 n − 1 > 1,r(A∗ ) ≤ 1 < n − 1, œ (A∗ ) ∗ = 0,(A∗ ) ∗ = |A| n−2A§·. (2)n = 2û,A = a11 a12 a21 a22 ! ,KA∗ = a22 −a12 −a21 a11 ! ,(A∗ ) ∗ = a11 a12 a21 a22 ! = A, |A| n−2A = A(œn = 2),(A∗ ) ∗ = |A| n−2A. 2

”ûk A U −V 0 Im !−1 = P5 A + UV 0 U 0 Im !−1 = (A + UV 0 ) −1 −(A + UV 0 ) −1U V H(A + UV 0 ) −1 Im − V 0 (A + UV 0 ) −1U ! . u¥(A + UV 0 ) −1 = A−1 − A−1U(Im + V 0A−1U) −1V 0A−1 . ~2.3.3 α = (a1, a2, · · · , an), β = (b1, b2, · · · , bn)ènë¢ï˛, ¶› A = I − α T β1™. ) En α T β 1 ! En 0 −β 1 ! = En − α T β αT 0 1 ! , En 0 −β 1 ! En α T β 1 ! = En − α T β αT 0 1 − βαT ! , u¥ En α T β 1 = En − α T β αT 0 1 = En α T 0 1 − βαT , =|A| = |En − α T β| = |1 − βαT | = 1 − (a1b1 + · · · + anbn). ~2.3.4 y²: a11 + x a12 + x · · · a1n + x a21 + x a22 + x · · · a2n + x . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · · ann + x = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann + x + Pn i=1 Pn j=1 Aij , Ÿ•Aij¥aijìÍ{f™. y² -D =   a11 + x a12 + x · · · a1n + x a21 + x a22 + x · · · a2n + x . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · · ann + x   , A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann   , α =   x x . . . x   , β =   1 1 . . . 1   . KD = A + αβH. d½n1, |D| = |A + αβH| = |A| + β HA∗α = |A| + x Pn i=1 Pn j=1 Aij . ~2.3.5 Oé1™ a 2 1 a1a2 − 1 · · · a1an − 1 a2a1 − 1 a 2 2 · · · a2an − 1 . . . . . . . . . ana1 − 1 ana2 − 1 · · · a 2 n ä, Ÿ•aiè¢Í, 1 ≤ i ≤ n. ) -D =   a 2 1 a1a2 − 1 · · · a1an − 1 a2a1 − 1 a 2 2 · · · a2an − 1 . . . . . . . . . ana1 − 1 ana2 − 1 · · · a 2 n   , U =   a1 1 a2 1 . . . . . . an 1   , V =   a1 −1 a2 −1 . . . . . . an −1   . KD = In + UV H. d½n2, |D| = |In||I2 + V HU| = (1 − n)(a 2 1 + · · · + a 2 n + 1) + (a1 + · · · + an) 2 . ˆS Oéen(n ≥ 2)1™: (1) x − a a a · · · a a x − a a · · · a a a x − a · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · x − a ; (2) y + 1 y · · · y y y + b · · · y . . . . . . . . . y y · · · y + b n ; 5

(3) |B| = x1 − m x2 · · · xn x1 x2 − m · · · xn . . . . . . . . . x1 x2 · · · xn − m ; (4) 1 + a1 1 1 · · · 1 1 1 1 + a2 1 · · · 1 1 1 1 1 + a3 · · · 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · 1 1 + an , Ÿ •ai 6= 0. (5), n› A = (aij )§kÈÉ—u2, |i − j| = 1û, aij = −1, ŸßÉ˛è0, ¶› A1™. âY(1) (x − 2a) n−1 [x + (n − 2)a]; (2) b n(n+1) 2 (1 +Pn i=0 b −i ); (3) (−1)n−1mn−1 (x1 + x2 + · · · + xn − m) (4) a1a2 · · · an(1 + Pn i=1 1 ai ). (5) Dn = Dn−1 + 1 = · · · = n + 1. ~2.3.6 (1) Aè¥n×m› , Bè¥m×nê , EnL´n?¸†› . y²:|En −AB| = |Em −BA|. (2) Aè¥n × m› , Bè¥m × nê , EnL´n?¸†› , λ 6= 0. y²: |λEn − AB| = λ n−m|λEm − BA|. (3) A, B˛ènê , Eèn¸† , y²: |xE − AB| = |xE − BA|.(d`{: A, Bèn ê , y²ABÜBAkÉ”Aä). y² (1) œè Em 0 −A En ! Em B A En ! = Em B 0 En − AB ! , Em B A En ! Em 0 −A En ! = Em − BA B 0 En ! , §± Em B A En = Em B 0 En − AB = |En − AB| = Em − BA B 0 En = |Em − BA|, =|En − AB| = |Em − BA|. (2) Em 0 − A λ En ! λEm B A En ! = λEm B 0 En − AB λ ! , λEm B A En ! Em 0 −A En ! = λEm − BA B 0 En ! , § ± λEm B A En = λEm B 0 En − AB x = |λEm||En − AB λ | = λ m−n|λEn − AB|, λEm B A En = λEn − BA B 0 En = |λEm − BA|, l λ m−n|λEn − AB| = |λEm − BA|, =|λEn − AB| = λ n−m|λEm − BA|. (3) ex = 0, K| − AB| = (−1)n|A||B| = (−1)n|B||A| = | − BA|; ex 6= 0, œè En 0 − A x En ! xEn B A En ! = xEn B 0 En − AB x ! , xEn B A En ! En 0 −A En ! = xEn − BA B 0 En ! , § ± xEn B A En = xEn B 0 En − AB x = |xEn||En − AB x | = |xEn − AB|, xEn B A En = xEn − BA B 0 En = |xEn − BA|, 6

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