第四讲向量的线性相关性 考试内容及要求 1,考试内容：向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大线 性无关组，等价向量组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念 2,考试要求 ()理解n维向量，向量的线性组合与线性表示的概念。 (②)理解向量组线性相关，线性无关的概念，掌握向量组线性相关，线性无关的有关性质及判别法. (③)理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩 (4理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系. 齐次线性方程组的基础解系通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系 (6)理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念： 向量是线性代数的重点之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求粗略的说，本章有线性组合，线性相 关（无关）两大问题进而讨论线性无关向量的个数，引出秩（向量组及矩阵）的研究无论是证明，判断还是计 算，关键在于要深刻理解本章的基本概念，搞清其相互间的关联，要会用定义来作推到论证，注意推导过程叶 逻辑的正确性，表达要清晰要理解向量组的线性相关，掌捏判断方法，要搞清它和齐次线性方程组有非零解 的关系，以及和向量组秩之间的联系要掌握线性表出的判断方法，要搞清线性表出与矩阵的秩之间有密切 的联系，因此对于秩的问题要灵活运用条件，注意知识点的转化求秩，求极大线性无关组的重要方法是初等 行变换 一，n维向量的概念与运算 (一)维向量的概念 2n构成的有序数组称为n维向量，记作(a 行向量或维列向量也就是1×n或n1矩阵数称为向量的第个分量 )或a,a2,…,a)，分别称为n维 (仁）)n维向量的运算 =(a1,2,…,an)T,B=(1,b2,…,6n)T,则 1.加法a+3=(a1+b,a2+b2,…,aa+bn):2.数乘ka=(ka1,ka2,…,kan)T 二，线性组合与线性表出 1.向量组与矩阵若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组（个数可以无 限). 一个由m个n维的行（列）向量组成的向量组构成一个m×n(n×m)的矩阵A,一个m×n(n×m)的矩 阵A按行（列分块构成一个由m个n维的行（列）向量组成的向量组. 2.线性组合 由s个n维向量1，a2,…,,及s个常数1,2，…，k,所构成的向量k11+202+…+k,a,称为向量 组a1,a2…,0,的一个线性组合，其中数k1,应…，k,称为组合系数. 3.线性表出 如n维向量3能表示成向量a ,a,的线性组合，即1a+2十+k,0,=B,则称3可由a1,a2,,a,线 性表出，或说B是的1，2,…,a,线性组合
1o˘ ï˛Ç5É'5 £SN9ᶠ1,£SN:ï˛Vg,ï˛Ç5|‹ÜÇ5L´,ï˛|Ç5É'ÜÇ5Ã',ï˛|4åÇ 5Ã'|, dï˛|,ï˛|ù,ï˛|ùÜ› ùÉm'X,ï˛òm9ŸÉ'Vg. 2,£á¶ (1) n)nëï˛,ï˛Ç5|‹ÜÇ5L´Vg. (2) n)ï˛|Ç5É',Ç5Ã'Vg,›ºï˛|Ç5É',Ç5Ã'k'5ü9O{. (3) n)ï˛|4åÇ5Ã'|⁄ï˛|ùVg,¨¶ï˛|4åÇ5Ã'|9ù. (4) n)ï˛| dVg,n)› ùÜŸ1()ï˛|ùÉm'X. (5) n)‡gÇ5êß|ƒ:)X,œ)9)òmVg,›º‡gÇ5êß|ƒ:)X⁄œ) ¶{; (6) n)ö‡gÇ5êß|)(9œ)Vg; ï˛¥Ç5ìÍ:Éò,è¥J:,È‹6Ìnkpá¶.o—`, ŸkÇ5|‹,Ç5É '(Ã')¸åØK,? ?ÿÇ5Ã'ï˛áÍ,⁄—ù(ï˛|9› )Ôƒ.Ãÿ¥y²,‰Ñ¥O é,'Ö3uá èn) Ÿƒ Vg,tòŸÉpm'È,á¨^½¬5äÌÿy,5øÌLß• ‹6(5,Làáòfl.án)ï˛|Ç5É',›º‰ê{,átòß⁄‡gÇ5êß|kö") 'X,±9⁄ï˛|ùÉmÈX,᛺Ç5L—‰ê{,átòÇ5L—Ü› ùÉmkóÉ ÈX,œdÈuùØKá(¹$^^á,5ø£:=z.¶ù,¶4åÇ5Ã'|áê{¥– 1CÜ. ò,nëï˛VgÜ$é (ò) nëï˛Vg náÍa1, a2, · · · , an§kSÍ|°ènëï˛, Pä(a1, a2, · · · , an)½(a1, a2, · · · , an) T , ©O°ènë 1ï˛½nëï˛,è“¥1 × n½n × 1› ,Íai°èï˛1iᩲ. () nëï˛$é XJα = (a1, a2, · · · , an) T , β = (b1, b2, · · · , bn) T ,K 1.\{ α + β = (a1 + b1, a2 + b2, · · · , an + bn) T ; 2.Ͷ kα = (ka1, ka2, · · · , kan) T . ,Ç5|‹ÜÇ5L— 1. ï˛|Ü› eZá”ëÍï˛(½”ëÍ1ï˛)§|§8‹âï˛|(áÍå±Ã Å). òádmánë1()ï˛|§ï˛|§òám × n(n × m)› A, òám × n(n × m)› AU1()©¨§òádmánë1()ï˛|§ï˛|. 2. Ç5|‹ dsán ëï˛α1, α2, · · · , αs9sá~Ík1, k2, · · · , ks§§ï˛k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs°èï˛ |α1, α2, · · · , αsòáÇ5|‹,Ÿ•Ík1, k2, · · · , ks °è|‹XÍ. 3.Ç5L— Xnëï˛β UL´§ï˛α1, α2, · · · , αsÇ5|‹,=k1α1+k2α2+· · ·+ksαs = β,K°βådα1, α2, · · · , αsÇ 5L—,½`β¥α1, α2, · · · , αsÇ5|‹. 1
(1)3可以由向量组a1,a2…,a.线性表出台存在一组数k1,k2,·,k,使得k1a1+202++k,a,=3 片方程x11+202+…+0。=B有解台方程(a1,2,…,a)=有解 (②)可以由向量组1,2，·，,的唯一线性表出（或两种以上线性表出，不能线性表出） 分方程1a1+x2a2+ +工，a.=唯一解（无穷多，无解 ÷r(B)=r(A)=8(或r(B)=r(A)<s,r(A<r(B). 其中A=(1,02,…,a),B=(A,). 4.向量组等价 设4：a1.a2.·,am与B:B1.B.·,B为同维数向量组.若A中每个向量都可由向量组B线性表出.则 称向量组A可由向量组B线性表出，如两向量组可以相互线性表出，则称这两个向量组等价. 0m),B=(，2，…，n)为同维数列向量组则 ()向量组B可以A线性表示 存在矩阵人 使得(3,32，…，n)=(a1,a2,…,an)Kmxn 台方程B=AX有解X=Kmxm 台rA.B)=r(A (②)向量组A与B等价 台存在矩阵Kmxn及Lnxn使得 (,房 ,)=(1,2,0m)Kmxm,(a1,2,…,am)=(,2,…,n)Lnxm ÷r(A,B)=r(A)=(B (3)若AB=C,则下列说法成立 ()C的列向量组可以由A的列向量组线性表示，表示的矩阵为B: ()若B为可逆方阵，则C与A的列向量组等价： ()C的行向量组可以由B的行向量组线性表示，表示的矩阵为A (w)若A为可逆方阵，则C与B的行向量组等价： 三，向量组的线性相关与线性无关 (一)线性相关与线性无关的概念 1线性相关 对于n维向量组a1,a2,…,a ,如存在一组不全为零的数1：k2,…,k.使得k1a+k22+…+k,an 0则称此向量组a1,a2,…,Qn线性相关 2.线性无关 对于n维向量组a1,a2,·,an,如果k11+2a2十…十knan=0必有1=k2=…=k,=0.则称此 向量组4,a2,,a,线性无关或者说，只要，， …,k不全为零，必有k1a1十22+…+k,an=0,则称 此向量组 102 ,n线性无关 (二)线性相关与线性无关的充分必要条件 1.线性相关的充分必要条件 向量组a1,a2,…,a.线性相关台齐次方程组(a1,a2,…,a) =0有零解 台向量组的秩r(1,2, ·,a)<s(向量的个数) 存在某a( 1.2. ,)可由其余s-1个向量 线性表出 特别地， (1)n个n维向量线性相关台a1,a2…,a-0:(②)n+1个n维向量一定线性相关 2
(1) βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5L—⇔ 3ò|Ík1, k2, · · · , ks¶k1α1+k2α2+· · ·+ksαs = β ⇔ êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βk)⇔êß(α1, α2, · · · , αs)x = βk). (2) βå±dï˛|α1, α2, · · · , αsçòÇ5L—(½¸´±˛Ç5L—, ÿUÇ5L—) ⇔êßx1α1 + x2α2 + · · · + xsαs = βkçò)(ðı,Ã)) ⇔ r(B) = r(A) = s(½r(B) = r(A) < s, r(A) < r(B)). Ÿ•A = (α1, α2, · · · , αs), B = (A, β). 4.ï˛| d A:α1, α2, · · · , αmÜB:β1, β2, · · · , βnè”ëÍï˛|,eA •záï˛—ådï˛|B Ç5L—,K °ï˛|Aådï˛|BÇ5L—,X¸ï˛|å±ÉpÇ5L—,K°˘¸áï˛| d. -A = (α1, α2, · · · , αm),B = (β1, β2, · · · , βn)è”ëÍï˛|.K (1) ï˛|B å±A Ç5L´ ⇔ 3› Km×n¶(β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αm)Km×n ⇔êßB = AXk)X = Km×n ⇔r(A, B) = r(A); (2) ï˛|AÜB d ⇔ 3› Km×n9Ln×n¶ (β1, β2, · · · , βn) = (α1, α2, · · · , αm)Km×n,(α1, α2, · · · , αm) = (β1, β2, · · · , βn)Ln×m ⇔r(A, B) = r(A) = r(B). (3) eAB = C,Ke`{§· (i) Cï˛|å±dAï˛|Ç5L´, L´› èB; (ii) eBèå_ê , KCÜAï˛| d; (iii) C1ï˛|å±dB1ï˛|Ç5L´,L´› èA; (iv) eAèå_ê , KCÜB1ï˛| d; n,ï˛|Ç5É'ÜÇ5Ã' (ò) Ç5É'ÜÇ5Ã'Vg 1.Ç5É' Èunëï˛|α1, α2, · · · , αn,X3ò|ÿ è"Ík1, k2, · · · , kn ¶k1α1 + k2α2 + · · · + ksαn = 0K°dï˛|α1, α2, · · · , αn Ç5É'. 2.Ç5Ã' Èunëï˛|α1, α2, · · · , αn,XJk1α1 + k2α2 + · · · + knαn = 0 7kk1 = k2 = · · · = ks = 0,K°d ï˛|α1, α2, · · · , αnÇ5Ã',½ˆ`,êák1, k2, · · · , knÿ è",7kk1α1 + k2α2 + · · · + ksαn = 0,K° dï˛|α1, α2, · · · , αnÇ5Ã'. () Ç5É'ÜÇ5Ã'ø©7á^á 1.Ç5É'ø©7á^á ï˛|α1, α2, · · · , αs Ç5É'⇔‡gêß|(α1, α2, · · · , αs) x1 x2 . . . xs = 0k") ⇔ï˛|ùr(α1, α2, · · · , αs) < s (ï˛áÍ)⇔ 3,αi(i = 1, 2, · · · , s)ådŸ{s−1áï˛ Ç5L—. AO/, (1) nánëï˛Ç5É'⇔ |α1, α2, · · · , αn| = 0; (2) n + 1án ëï˛ò½Ç5É'. 2
2.线性无关的充分必要条件 向量组a1,2,…,a线性无关台齐次方程组(@1,2， 0只有零解 台向量组的秩r(a1,a2,·,a)=s(向量的个数) ÷每一个向量都不能用其余s-1个向量线性表出. 3.几个重要结论 (1)阶梯形向量组一定线性无关 (回若向量组a1,a2,,a,线性无关则它的任一个部分组ae,必线性无关 必线性无关 四，线性相关性与线性表出的关系 1.向量组1,2，…，a,线性相关的充要条件是有a,可用其余8一1个向量线性表出. 2.若向量组a a2,…,a,线性无关，而向量组a1,a2 ·,a线性相关，则3可由a1,a2,…,a,线性 表出，而且表示法唯 3若向最 01,02，·，0a可由间量组31，B2,··,5:线性表出，且8>t,则01,02，· ,0,线性相关 4.若向量组a1,a2,…,a,可由向量组，，…，月线性表出，且a1,2,…,,线性无关，则s≤t 五，向量组的秩与矩阵的秩 (一）向量组的秩与矩阵的秩的概念 极大线性无关组在向量组。 组中 ,02 4,线性无关而再添加进 一向量（如果有的话）向量组 极大线性无关 注(1)只有一个零向量构成的向量组不存在极大线性无关组，规定它的秩为0.一个线性无关向量组的 极大线性无关组就是该向量组自身. (②)一般来说，向量组的极大线性无关组不是唯一的，但这些极大线性无关组是等价的，从而每个极大 线性无关组中所含 向量的个数都是r,即个数r是由原向量组唯 确定的 (3)若矩阵Am×n与B1xn的行向量组等价（即：其次线性方程组A=0与Bz=0为通解方程组），因此A的 列向量组的各向量之间与B的列向量组的各向量之间之间有相同的线性关系若B是A的行最简形，则容易 看出B的列向量组的各向量之间线性关系，从而得到4的列向量组的各向量之间线性关系（一个向量组的 这种线性关系一般很多但只要求出这个向量组的极大线性无关组及不属于极大线性无关组的向量用极 大线性无关组线性表示的表示式)， 2.向量组的秩向量组a1,2,…,a,的极大线性无关组所含向量的个数r称为该向量组的秩，记为r(@1,a2,…,a,) 3矩阵的秩矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作(A). (1)矩阵A的秩r(A)=r÷A中有r阶子式不为0，r+1阶子式（若还有）全为0 2)矩隆A的秩4x台4中省r阶子式不为0 3)矩隆A的秩，(A 台A中r阶子式全为0 (④矩阵A为非号 台A)21 (⑤)若A为m×n型矩阵，则r(A)=1÷A=a,其中a为m维非零列向量，B为n维非零列向量. 3
2.Ç5Ã'ø©7á^á ï˛|α1, α2, · · · , αs Ç5Ã'⇔‡gêß|(α1, α2, · · · , αs) x1 x2 . . . xs = 0êk"). ⇔ï˛|ùr(α1, α2, · · · , αs) = s (ï˛áÍ) ⇔zòáï˛αi—ÿU^Ÿ{s − 1áï˛Ç5L—. 3.Aáá(ÿ (1) F/ï˛|ò½Ç5Ã'. (2) eï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã',Kß?òá‹©|αi1 , αi2 , · · · , αit7Ç5Ã'. (3) eï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã',Kß?òÚ| α1 β1 ! , α2 β2 ! , · · · , αs βs ! 7Ç5Ã'. o,Ç5É'5ÜÇ5L—'X 1. ï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5É'øá^á¥kαiå^Ÿ{s − 1áï˛Ç5L—. 2. eï˛|α1, α2, · · · , αsÇ5Ã', ï˛|α1, α2, · · · , αs, βÇ5É',Kβ ådα1, α2, · · · , αs Ç5 L—, ÖL´{çò. 3. eï˛|α1, α2, · · · , αsådï˛|β1, β2, · · · , βt Ç5L—,Ös > t,Kα1, α2, · · · , αsÇ5É'. 4. eï˛|α1, α2, · · · , αs ådï˛|β1, β2, · · · , βtÇ5L—,Öα1, α2, · · · , αsÇ5Ã',Ks ≤ t ,ï˛|ùÜ› ù (ò) ï˛|ùÜ› ùVg 1.4åÇ5Ã'| 3ï˛|α1, α2, · · · , αs•,X3òá‹©|αi1 , αi2 , · · · , αirÇ5Ã', 2V\? |•?òï˛(XJk{)ï˛|ò½Ç5É',K°ï˛|α1, α2, · · · , αs¥ï˛|òá4åÇ5Ã' | 5 (1)êkòá"ï˛§ï˛|ÿ34åÇ5Ã'|,5½ßùè0.òáÇ5Ã'ï˛| 4åÇ5Ã'|“¥Tï˛|g . (2) òÑ5`,ï˛|4åÇ5Ã'|ÿ¥çò,˘ 4åÇ5Ã'|¥ d,l zá4å Ç5Ã'|•§¹ï˛áÍ—¥r,=áÍr¥dï˛|çò(½. (3) e› Am×nÜBl×n1ï˛| d(=:ŸgÇ5êß|Ax = 0ÜBx = 0èœ)êß|),œdA ï˛|àï˛ÉmÜBï˛|àï˛ÉmÉmkÉ”Ç5'X.eB¥A1Å{/,KN¥ w—Bï˛|àï˛ÉmÇ5'X,l Aï˛|àï˛ÉmÇ5'X(òáï˛| ˘´Ç5'XòÑÈı,êᶗ˘áï˛|4åÇ5Ã'|9ÿ·u4åÇ5Ã'|ï˛^4 åÇ5Ã'|Ç5L´L´™). 2.ï˛|ù ï˛|α1, α2, · · · , αs4åÇ5Ã'|§¹ï˛áÍr°èTï˛|ù,Pèr(α1, α2, · · · , αs) = r. 3.› ù › A•ö"f™Åp Í°è› Aù,Pär(A). (1) › Aùr(A) = r ⇔ A•kr f™ÿè0, r + 1 f™(eÑk) è0. (2) › Aùr(A) ≥ r ⇔ A•kr f™ÿè0. (3) › Aùr(A) < r ⇔ A•r f™ è0. (4) › Aèö"› ⇔ r(A) ≥ 1. (5) eAèm × n.› , Kr(A) = 1 ⇔ A = αβ0 , Ÿ•αèmëö"ï˛, βènëö"ï˛. 3
例4.1若a,aa…,a4,与ah,a…,a都是a1,2,…,a,的极大线性无关组，则r=t (二)向量组的秩与矩阵的秩的关系 ()r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩） ②)经初等变换矩阵向量组的秩均不变 (3)若向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)<r(B)特别地，等价的向量组具有相同的秩。 注(1)等价向量组具有传递性，对称性及反身性.但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样 (②)任一向量组和它的极大无关组等价. (③)向量组的任意两个极大无关组等价. (④)两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。 (5)等价的向量组具有相同的秩.但秩相同的向量组不一定等价.例如向量组。，三1.0)T.2=(2.0)T与 ”.(6)如果向量组(A)可由向量组(B)线性表出且r(A)=r(B),则(A)与(B)等 (T)认真体会矩阵，向量和线性方程组之间的联系 例3.5 己知向量组a1=(1,2,-1,1)T,a2=(2,0,a,0,03=(0,-4,5,1-a)T的秩为2，则a=() 六，矩阵的秩的重要公式 1.r(A)=r(A): 2.r(4+B)≤r(4)+r(B: 3.r(A)=r(A).k≠0： 4.r(AB)<min(r(A),r(B)): 5.如A可逆，则r(AB)=r(B):如B可逆，则r(AB)=r(A:6.A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，如AB=0 则r(A)+r(B)≤ 例4.2设A,B都是m×n矩阵，则r(4+B)≤r(A)+r(B). 例4.3 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，如AB=0,则r(A)+r(B)≤n 注关于AB=0要有两种构思：一是B的列向量是齐次方程组A=0的解，一是秩r(A)+r(B)≤n 七，线性方程组的解的结构 (一)基础解系的概念 齐次方程组4红=0恒有解（必有零解）.当有非零解时根据齐次方程组解的性质.解向量的任意线性组 合仍是该齐次方程组的解 4
~4.1 eαi1 , αi2 , · · · , αirÜαj1 , αj2 , · · · , αjt —¥α1, α2, · · · , αs 4åÇ5Ã'|,Kr = t () ï˛|ùÜ› ù'X (1) r(A) = A1ù(› A1ï˛|ù)= A ù(› A ï˛|ù). (2) ²– CÜ› ,ï˛|ù˛ÿC. (3) eï˛|Aådï˛|BÇ5L—,Kr(A) ≤ r(B) AO/, dï˛|‰kÉ”ù. 5 (1) dï˛|‰kD45,È°59á 5.ï˛áÍå±ÿò,Ç5É'5èå±ÿò. (2) ?òï˛|⁄ß4åÃ'| d. (3) ï˛|?ø¸á4åÃ'| d. (4) ¸á dÇ5Ã'ï˛|§¹ï˛áÍÉ”. (5) dï˛|‰kÉ”ù,ùÉ”ï˛|ÿò½ d, ~Xï˛|α1 = (1, 0)T , α2 = (2, 0)TÜ ï˛|β1 = (0, 1)T , β2 = (0, 2)T . . (6) XJï˛|(A)ådï˛|(B)Ç5L—Ör(A) = r(B),K(A)Ü(B) d. (7) @˝N¨› ,ï˛⁄Ç5êß|ÉmÈX. ~3.5 Æï˛|α1 = (1, 2, −1, 1)T , α2 = (2, 0, a, 0)T , α3 = (0, −4, 5, 1−a) Tùè2,Ka = ( ) 8,› ùá˙™ 1. r(A) = r(AT ); 2. r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 3. r(kA) = r(A), k 6= 0; 4. r(AB) ≤ min(r(A), r(B)); 5. XAå_,Kr(AB) = r(B);XBå_,Kr(AB) = r(A); 6. A ¥m×n› ,B¥n×p› ,XAB = 0 ,Kr(A) + r(B) ≤ n. ~4.2 A, B—¥m × n› ,K r(A + B) ≤ r(A) + r(B). ~4.3 A¥m × n› , B¥n × p › ,XAB = 0 ,Kr(A) + r(B) ≤ n 5 'uAB = 0 ák¸´g:ò¥Bï˛¥‡gêß|Ax = 0),ò¥ùr(A) + r(B) ≤ n. ‘,Ç5êß|)( (ò) ƒ:)XVg ‡gêß|Ax = 0ðk)(7k")).kö")û.䂇gêß|)5ü. )ï˛?øÇ5| ‹E¥T‡gêß|). 4
称h1,h,…,h是：=0的基础解系若 ()m,2,…,是A=0的解 (②）1,2 线性无老 (仔)A江r=0的任一解都可由n,2…,线性表出. 所谓基础解系.其实就是Ax=0的解向量组的一个极大无关组. (1)若1,2，· ,:是A江=0的基础解系，则k11+22+…+m是A红=0的通解（或全部解）其 中k1,2,·,k,是任意常数. (②)基础解系中解向量的个数=n-r(4)=自由变量的个数 (二)基础解系的求法 求基础解系时.可对A作初等行变换化为阶梯形矩阵通常称为每个非零行中第一个非0系数所代表的 未知数是主元（共有(4）个主元).那么剩余的其他未知数就是自由变量（共有且n 当然也可在力 减消元有找出秩为(4)的行列式。那么其他各列的未知数就是自由变量对自由变量按阶梯形赋值后.再 代入求解就可得到基础解系. 三、线性方程组的解的结构 1.如果1，是A=b的两个解则5-2是A=0的解 2.如果功，2是Ax=0的两个解.则其线性组合n+k2仍是Ax=0的解： 3.如果是Ar=b的解，是Az=0的解，则+刀仍是Az=b的解： 4.如果，2，·，5n是Ax=b的n个解，则+++仍是Ax=b的解 若元线性方程组Ar=b有解设m,m,…,是其导出组A=0的基础解系.o是A=b的一个 特解则 (1)km+22+…+k是其导出组A-0的通解（或全部解）其中，…，为任意常数 (②)kh+22+…+十0是A红=b的通解（或全部解）其中1,2，…，k为任意常数. 常考题型及解题方法与技巧 题型一，线性组合，线性相关的判别 例4.4（四若a1=(1,05,27,a=(6,-2,3,-47,a=(-1,1,3)7线性相关则t=( (四若a=(1,-1,2,4到7,2=(0,31,2)，a=(3,0,7,a)7,a=(1,-2,2,07线性无关则a的取值袍 围为() 例4.5（①下列向量组1,02，…，a,中，线性无关的是 (A)(1,2,3,4),(4,3,2,1),(0,0,0,0h:(B)(a,b,c,(6,cd0,(cd,e),(d,c,f): (C(a.1.b.0.0).(c,0.d.2.3).e.4.f.5.6:D)(a.1.2.3.b.1.2.3).(c,4.2.3)(d0.0.0). (仙)已知向量组a1,a2,a,a4线性无关，则命题正确的是 (A)a1+a2,02+0g,0g+a4,a4+01线性无关：(B)01-a2,02-04,03-04,1-1线性无关 (C1+a2,a2+3,3-4,a4-线性无关：(D)a+a2,2-a3,a3-a4,a4-a线性无关 (设a1,a2,…,a,是n维向量，则下列命题中正确的是 (A)如a。不能用a1,2,·,a-1线性表出，则a1,a2,…,,线性无关； 6
°η1, η2, · · · , ηt¥Ax = 0 ƒ:)X.e (1) η1, η2, · · · , ηt ¥Ax = 0); (2) η1, η2, · · · , ηtÇ5Ã'; (3) Ax = 0?ò)—ådη1, η2, · · · , ηtÇ5L—. §¢ƒ:)X. Ÿ¢“¥Ax = 0 )ï˛|òá4åÃ'|. (1) eη1, η2, · · · , ηt¥Ax = 0 ƒ:)X, Kk1η1 + k2η2 + · · · + ktηt¥Ax = 0œ)(½ ‹)).Ÿ •k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í. (2) ƒ:)X•)ï˛áÍ= n − r(A) =gdC˛áÍ. () ƒ:)X¶{ ¶ƒ:)Xû.åÈA ä– 1CÜzè F/› .œ~°èzáö"1•1òáö0XͧìL ôÍ¥Ã(kr(A)áÃ). @oê{Ÿ¶ôÍ“¥gdC˛(kÖn − r(A)á).,èå3\ ~ûkÈ—ùèr(A)1™. @oŸ¶àôÍ“¥gdC˛.ÈgdC˛U F/Dä.2 ì\¶)“åƒ:)X. n!Ç5êß|)( 1. XJξ1, ξ2 ¥Ax = b ¸á).Kξ1 − ξ2¥Ax = 0); 2. XJη1, η2¥Ax = 0¸á).KŸÇ5|‹k1η1 + k2η2 E¥Ax = 0 ); 3. XJξ ¥Ax = b ), η¥Ax = 0),Kξ + η E¥Ax = b ); 4. XJξ1, ξ2, · · · , ξn ¥Ax = b ná), Kξ1+ξ2+···+ξn n E¥Ax = b ); 5. enÇ5êß|Ax = bk).η1, η2, · · · , ηt ¥Ÿ—|Ax = 0ƒ:)X. ξ0¥Ax = bòá A).K (1) k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt¥Ÿ—|Ax = 0 œ)(½ ‹))Ÿ•k1, k2, · · · , ktè?ø~Í; (2) k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt + ξ0¥Ax = b œ)(½ ‹))Ÿ•k1, k2, · · · , ktè?ø~Í. ~K.9)Kê{ÜE| K.ò,Ç5|‹,Ç5É'O ~4.4 (I)eα1 = (1, 0, 5, 2)T , α2 = (3, −2, 3, −4)T , α3 = (−1, 1, t, 3)TÇ5É',Kt = ( ) (II)eα1 = (1, −1, 2, 4)T , α2 = (0, 3, 1, 2)T , α3 = (3, 0, 7, a) T , α3 = (1, −2, 2, 0)TÇ5Ã',Kaäâ åè( ) ~4.5 (I)eï˛|α1, α2, · · · , αs•,Ç5Ã'¥ (A) (1, 2, 3, 4),(4, 3, 2, 1),(0, 0, 0, 0); (B) (a, b, c),(b, c, d),(c, d, e),(d, e, f); (C) (a, 1, b, 0, 0),(c, 0, d, 2, 3),(e, 4, f, 5, 6); (D) (a, 1, 2, 3),(b, 1, 2, 3),(c, 4, 2, 3),(d, 0, 0, 0). (II)Æï˛|α1, α2, α3, α4Ç5Ã',K·K(¥ (A) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1Ç5Ã'; (B) α1 − α2, α2 − α3, α3 − α4, α4 − α1Ç5Ã'; (C) α1 + α2, α2 + α3, α3 − α4, α4 − α1Ç5Ã'; (D) α1 + α2, α2 − α3, α3 − α4, α4 − α1Ç5Ã'. (III)α1, α2, · · · , αs¥nëï˛,Ke·K•(¥ (A) Xαs ÿU^α1, α2, · · · , αs−1Ç5L—,Kα1, α2, · · · , αs Ç5Ã'; 5
(B)如a1,a2,…,a,线性相关，a不能由a1,02,·,a。-1线性表出，则a1,a2,·,-1线性相关 (C)如a,a2,…,0:中，任意s-1个向量都线性无关，则am,02·,0,线性无关： (D)零向量0不能用a1,2,…,a,线性表出 (V设向量组(a1,a2,…,,可由向量组（四,2,…,B,线性表出，则下列命题正确的是 (A)若向量组()线性无关，则≤s(B)若向量组()线性相关，则>8 (C)若向量组（四）线性无关，则r≤(D)若向量组()线性相关，则r>8. 例4.6判断a1=(1,0,2,3)T,a2=(1,1,3,5)T,g=(1,-1,a+2,1)T,a4=(1,2,4,a+9)T的线性相 关性. 评注线性相关或无关问题本质上是齐次方程组有无非零解的问题.要求考生对诸如：一个部分组线性 关，则整个向量组必线性相关：阶梯形向量必线性无关，其延伸组必线性无关…等充分条件应会灵活 运用 例4.7 ()若B=(1,2,)T可由a=(21,1)T,a2=(-1,2,7),=(1，-1，-4)线性表出，则t= ( ()设a1=(1,2,1),2=(2,3,a),3=(1,a+2,-2)T,若=(1,3,4)T可由a1,2,a3线性表 出，32=(0,1,2)T不能由a1,a2,a3线性表出，则a=() 例4.8已知a1=(1,-1,1)7,2=(1,k,-1)T,ag=(亿，1,2)T,8=(4,2,-4)T,若9可以由a1,a2,as 线性表出且表示法不唯一，求t即3的表达式 例4.9已知3可用a1,a2,,0nm线性表出，但不能用a1,02,,0m-1表出，试判断 (am能否用a1,a2,…,am-1线性表示 (四am能否用a1,a2,·,am-1,B线性表示，并说明理由。 6
(B) Xα1, α2, · · · , αsÇ5É',αsÿUdα1, α2, · · · , αs−1Ç5L—,Kα1, α2, · · · , αs−1 Ç5É'; (C) Xα1, α2, · · · , αs •,?øs − 1áï˛—Ç5Ã',Kα1, α2, · · · , αsÇ5Ã'; (D) "ï˛0 ÿU^α1, α2, · · · , αsÇ5L—; (IV)ï˛|(I) α1, α2, · · · , αrådï˛|(II)β1, β2, · · · , βsÇ5L—,Ke·K(¥ (A) eï˛|(I)Ç5Ã',Kr ≤ s; (B) eï˛|(I)Ç5É',Kr > s (C) eï˛|(II)Ç5Ã',Kr ≤ s; (D) eï˛|(II)Ç5É',Kr > s. ~4.6 ‰α1 = (1, 0, 2, 3)T , α2 = (1, 1, 3, 5)T , α3 = (1, −1, a + 2, 1)T , α4 = (1, 2, 4, a + 9)TÇ5É '5. µ5 Ç5É'½Ã'ØK ü˛¥‡gêß|kÃö")ØK.á¶)ÈÃX:òá‹©|Ç5 É',Káï˛|7Ç5É'; F/ï˛7Ç5Ã',ŸÚ|7Ç5Ã';· · · · · · ø©^áA¨(¹ $^. ~4.7 (I)eβ = (1, 2, t) Tådα1 = (2, 1, 1)T , α2 = (−1, 2, 7)T , α3 = (1, −1, −4)TÇ5L—,Kt = ( ). (II) α1 = (1, 2, 1)T , α2 = (2, 3, a) T , α3 = (1, a + 2, −2)T ,eβ1 = (1, 3, 4)Tådα1, α2, α3 Ç5L —,β2 = (0, 1, 2)TÿUdα1, α2, α3Ç5L—,Ka = ( ). ~4.8 Æα1 = (1, −1, 1)T , α2 = (1, t, −1)T , α3 = (t, 1, 2)T , β = (4, t2 , −4)T ,eβ å±dα1, α2, α3 Ç5L—ÖL´{ÿçò,¶t =β Là™. ~4.9 Æβå^α1, α2, · · · , αmÇ5L—,ÿU^α1, α2, · · · , αm−1L—,£‰: (I) αmUƒ^α1, α2, · · · , αm−1 Ç5L´; (II) αm Uƒ^α1, α2, · · · , αm−1, β Ç5L´,ø`²nd. 6
例4.10若向量组a1,a2,ag线性相关，向量组a2,ag,a4线性无关，试问a4能否由a1,a2,ag线性表 出？并说明理由 题型二，线性相关与线性无关的证明 解题思路证明线性无关通常思路是：用定义法（同乘或拆项重组），用秩（等于向量个数），齐次方程组只 有零解或反证法。 例4.11已知a1,2,ag线性无关，证明2a1+3a2,a2-g,1+a2+ag线性无关 例4.12设A是n阶矩阵，若存在正整数k,使线性方程组Az=0有解向量a,且Ak-1a≠0.证明：向量 组a,Aa,…,A-la是线性无关的 例4.14设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m,若AB=E,证明B的列向量线性无关 例4.15设A是n阶矩阵， a,a2,a是n维列向量，且a1≠0Aa1=ka,Aa=a+ka2,Ang=1a2+ kag,1≠0，证明a1,a2,ag线性无关 例4.16已知向量3可以由a1,a2,…,a,线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是a1,2,…,a,线 性无 7
~4.10 eï˛|α1, α2, α3Ç5É',ï˛|α2, α3, α4Ç5Ã',£Øα4 Uƒdα1, α2, α3 Ç5L —?ø`²nd K.,Ç5É'ÜÇ5Ã'y² )Kg¥ y²Ç5Ã'œ~g¥¥:^½¬{(”¶½ ë|),^ù( uï˛áÍ),‡gêß|ê k")½áy{. ~4.11 Æα1, α2, α3Ç5Ã',y²2α1 + 3α2, α2 − α3, α1 + α2 + α3Ç5Ã' ~4.12 A¥n › ,e3Ík,¶Ç5êß|Akx = 0 k)ï˛α,ÖAk−1α 6= 0.y²:ï˛ |α, Aα, · · · , Ak−1α ¥Ç5Ã'. ~4.14 A¥n × m› ,B¥m × n › ,Ÿ•n < m,eAB = E ,y²Bï˛Ç5Ã'. ~4.15 A¥n › , α1, α2, α3¥nëï˛,Öα1 6= 0, Aα1 = kα1, Aα2 = lα1 + kα2, Aα3 = lα2 + kα3, l 6= 0 ,y²α1, α2, α3 Ç5Ã'. ~4.16Æï˛βå±dα1, α2, · · · , αsÇ5L—,y²:L´{çòø©7á^á¥α1, α2, · · · , αsÇ 5Ã'. 7
题型三，求秩与极大线性无关组 例4.17)已知a1=(2,3,4,5)7,a2=(3,4,5,6)7,ag=(4,5,6,7)T,4=(5,6,7,8)7,则r(@1,a2g a4)=(). /123…n 010..0 (四)已知己知n阶矩阵A 001… 0 ,则秩r(42-A)=() 000.1 /132a 例4.18四已知4 27a3 如果秩r(4)=2,则a必为 0a5-5 (A)多 (B)5 (C)-1 (D)1 1 aa...a a1a…a (Ⅱ)设(n>3阶矩阵A= aaa…a ,如伴随矩阵A°的秩r(A)=1,则a为 aaa (A)1 B)己 (C) D) 例4.19求向量组am (1,1,4,2),2=(1,-1,-2,4,3 =(-3,2,3,-11),04=(1,3,10,0)的一个极 大线性无关组，并将不属于极大线性无关组的向量用极大线性无关组线性表示。 例420设4维向量组a1=(1+a,1,1,1)T,2=(2,2+a,2,2)T,a3=(8,3,3+a,3),a4=(4,4,44+ a)T,问a为何值时，a1,a2,a3,a4线性相关？当a1,a2,ag,4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余 向量用极大线性无关组线性表出. 8
K.n,¶ùÜ4åÇ5Ã'| ~4.17 (I)Æα1 = (2, 3, 4, 5)T , α2 = (3, 4, 5, 6)T , α3 = (4, 5, 6, 7)T , α4 = (5, 6, 7, 8)T ,Kr(α1, α2, α3, α4) = ( ). (II)ÆÆn › A = 1 2 3 · · · n 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 ,Kùr(A2 − A) = ( ). ~4.18 (I)ÆA = 1 3 2 a 2 7 a 3 0 a 5 −5 ,XJùr(A) = 2 ,Ka7è (A) 5 2 (B) 5 (C) −1 (D) 1 (II) n(n ≥ 3) › A = 1 a a · · · a a 1 a · · · a a a a · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · 1 ,Xäë› A∗ ùr(A∗ ) = 1 ,Ka è (A) 1 (B) 1 1−n (C) −1 (D) 1 n−1 ~4.19 ¶ï˛|α1 = (1, 1, 4, 2), α2 = (1, −1, −2, 4), α3 = (−3, 2, 3, −11), α4 = (1, 3, 10, 0) òá4 åÇ5Ã'|,øÚÿ·u4åÇ5Ã'|ï˛^4åÇ5Ã'|Ç5L´. ~4.20 4ëï˛|α1 = (1 + a, 1, 1, 1)T , α2 = (2, 2 + a, 2, 2)T , α3 = (3, 3, 3 + a, 3)T , α4 = (4, 4, 4, 4 + a) T ,Øa è¤äû,α1, α2, α3, α4 Ç5É'?α1, α2, α3, α4Ç5É'û,¶Ÿòá4åÇ5Ã'|,øÚŸ{ ï˛^4åÇ5Ã'|Ç5L—. 8
例4.21已知向量组（四a1,a2,ag(四a1,a2,ag,a4:四a,a2,ag,a,如果它们的秩分别为r四=r四= 3,r(m=4,求r(a1,2,3,4+as 题型四，有关秩的证明 例4.22设A是n阶矩阵，证明 (n,r(A)=n r(A)=1,r(A=n-1 0,r(A)≤n-2 例4.23设A是m×n矩阵，B时n×s矩阵，证明r(4B)≤r(B) 例4.24设a,3为3维列向量，矩阵A=aaT+38,其中aT,8T分别是a,B的转置，证明 ()秩r(A)≤2 (四)若a,B线性相关，则秩r(A)<2 题型五，关于AB=0 21-2 别4.25设A=520 B是3阶非0矩阵，且AB-0,则a=() 34
~4.21 Æï˛|(I)α1, α2, α3; (II)α1, α2, α3, α4;(III)α1, α2, α3, α5,XJßÇù©Oèr(I) = r(II) = 3,r(III) = 4,¶r(α1, α2, α3, α4 + α5). K.o,k'ùy² ~4.22 A¥n › ,y² r(A ∗ ) = n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) ≤ n − 2 ~4.23 A¥m × n› , Bûn × s› ,y²r(AB) ≤ r(B). ~4.24 α, β è3 ëï˛,› A = ααT + ββT ,Ÿ•α T , βT©O¥α, β =ò,y²: (I)ùr(A) ≤ 2 (II)eα, β Ç5É',Kùr(A) < 2 K. ,'uAB = 0 ~4.25 A = 2 1 −2 5 2 0 3 a 4 , B¥3 ö0› ,ÖAB = 0,Ka = ( ) 9
111 例4.26设A ,A:是A的件随矩阵，则A红=0的通解是() 123Y 例4.27①己知Q 24t P是3阶非零矩阵，且PQ=0,则 369 (At=6时r(P)= (B)t=6时，(P)=2 (C)t≠6时，r(P)=1 (D)t≠6时r(P)=2 (Ⅱ)设A,B为两足AB=0的任意两个非餐矩阵，则必有 (A)A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 (D)A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关 例4.28设A时n阶矩阵，A2=E,证明：r(A+E)+r(A-E)=n 题型六，关于A=0的证明 例4.29A是m×n矩阵，B是n×p矩库，r(B)=n,AB=0,证明A=0. 例4.30设A是n×m,44T=0,证明A=0.特别的，若A是n阶是对称矩阵，且42=0，则4=0. 练习题 一洗择题 1.设向量组a,，线性无关，aB,线性相关则 (A)a必可由3，Y,线性表示 (B)B必不可由a,,线性表示 (C)必可由a,3,线性表示 D)6必不可由a.B.线性表示 10
~4.26 A = 1 1 1 2 0 1 −1 1 0 , A∗ ¥A äë› ,KA∗x = 0 œ)¥( ) ~4.27 (I)ÆQ = 1 2 3 2 4 t 3 6 9 , P¥3 ö"› ,ÖP Q = 0 ,K (A) t = 6û,r(P) = 1 .(B) t = 6û,r(P) = 2 . (C) t 6= 6û,r(P) = 1 .(D) t 6= 6û,r(P) = 2 . (II)A, B è˜vAB = 0 ?ø¸áö"› ,K7k (A) Aï˛|Ç5É',B1ï˛|Ç5É' (B) Aï˛|Ç5É',Bï˛|Ç5É' (C) A1ï˛|Ç5É',B1ï˛|Ç5É' (D) A1ï˛|Ç5É',Bï˛|Ç5É' ~4.28 Aûn › ,A2 = E,y²: r(A + E) + r(A − E) = n. K.8,'uA = 0y² ~4.29 A¥m × n› , B¥n × p› ,r(B) = n, AB = 0,y²A = 0. ~4.30 A¥n × m,AAT = 0,y²A = 0. AO, eA¥n ¥È°› ,ÖA2 = 0,KA = 0. ˆSK ò.¿JK 1.ï˛|α, β, γ Ç5Ã',α, β, δÇ5É',K (A) α7ådβ, γ, δÇ5L´ (B) β7ÿådα, γ, δÇ5L´ (C) δ7ådα, β, γÇ5L´ (D) δ7ÿådα, β, γÇ5L´. 10