第十五讲多维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容 名难随机变量及其分布函数，一维离散利随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，一维 品 随机变量的独立性和不相关性，常见 2.考试要求 (1)理解多维随机变量的概念（数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质. (2)理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，理解（数一） 掌握（数三）二维随机变量的边沿分布和条件分布，会求与二维随机变量相关事件的概率（数 (3)理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机 变量不相关性与独立性的关系（数三）· (4)掌握二维均匀分布，了解（数一）掌握（数三）二维正态分布，理解其中参数的概率 意义 (5)会求两个随机变量简单函数的分布（数一），会根据两个随机变量的联合分布求其函数 的分布（数三），会求多个相互独立随机变量简单函数的分布（数一），会根据多个相互独。 随机变量的联合分布求其函数的分布（数三）· 二.考试内容解析 「离散型分布律 联合分布 连续型分布密度 常见二维分布均匀分布】 正态分布 (X,Y)→ 边缘分布 Z=X+Y 条件分布 函数分布 max,min(X,Xz,…X 独立性 (一)多维随机变量及其分布函数 设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数xy,二元函数 F(x,y)=PX≤x,Y≤y 称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{o-0<X(o)≤x,-0<Y(o)≤y 的概率为函数值的一个实值函数.分布函数F(,y)具有以下的基本性质： (1)0≤Fx,y)≤1 (2)F(x,y)分别对x,y是非减的：
1 第十五讲 多维随机变量及其分布 一.考试内容与要求 1.考试内容 多维随机变量及其分布函数，二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，二维 连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和不相关性，常见二 维随机变量的分布；两个及两个以上随机变量简单函数的分布 2．考试要求 （1）理解多维随机变量的概念（数一），理解多维随机变量的分布的概念和性质. （2）理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，理解（数一） 掌握（数三）二维随机变量的边沿分布和条件分布，会求与二维随机变量相关事件的概率（数 一）. （3）理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机 变量不相关性与独立性的关系（数三）. （4）掌握二维均匀分布，了解（数一）掌握（数三）二维正态分布，理解其中参数的概率 意义. （5）会求两个随机变量简单函数的分布（数一），会根据两个随机变量的联合分布求其函数 的分布（数三），会求多个相互独立随机变量简单函数的分布（数一），会根据多个相互独立 随机变量的联合分布求其函数的分布（数三）. 二.考试内容解析 1 2 ( , ) max,min( , , ) n X Y Z X Y Z X X X → → = + = 离散型分布律 均匀分布 联合分布 常见二维分布 连续型分布密度 正态分布 边缘分布 条件分布 函数分布 独立性 （一） 多维随机变量及其分布函数 设 ( X Y, ) 为二维随机变量，对于任意实数 x y, ,二元函数 F(x, y) = P{X x,Y y} 称为二维随机向量 ( X Y, ) 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数. 分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 { | ( ) , ( ) } − − X x Y y 的概率为函数值的一个实值函数.分布函数 F x y ( , ) 具有以下的基本性质： （1） 0 F(x, y) 1; （2） F x y ( , ) 分别对 x y, 是非减的；
(3)F(x,y)分别对x,y是右连续的，即 F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0 (4)F(-0,-)=F(-0,y)=F(x,-)=0,F(+0,+)=L. (5)对于x1<x2片< F(x2y2)-F(x2:y)-F(x2)+Fx,)20. (二)离散型随机向量的分布 1.联合分布 如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称(X,Y)为 离散型随机变量. 设(X,)的所有可能取值为(x,y,,j=1,2,),且事件(X,Y)=(x,y,)的概率为 P称 P(X,Y)=(x,y,}=P6j=1,2,) 为(X,Y)的联合分布律.联合分布律有时也用下面的概率分布表来表示： P 这里P,具有下面两个性质： (1)Pw20(i,j1,2,…片 (2)∑∑py=1 2.边缘分布 X的边缘分布为 P.=PX=x)=∑p,,=l2: Y的边缘分布为
2 （3） F x y ( , ) 分别对 x y, 是右连续的，即 F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0); （4） F(−,−) = F(−, y) = F(x,−) = 0, F(+,+) =1. （5）对于 x1 x2，y1 y2， F(x2，y2 ) − F(x2，y1 ) − F(x1，y2 ) + F(x1，y1 ) 0. （二） 离散型随机向量的分布 1.联合分布 如果二维随机向量 ( X Y, ) 的所有可能取值为至多可列个有序对 ( x y, ) ，则称 ( X Y, ) 为 离散型随机变量. 设 ( X Y, ) 的所有可能取值为 (x , y )(i, j =1,2, ) i j ，且事件 ( X Y x y , ( , ) ) = i j 的概率为 ij p ,,称 P{(X ,Y) = (x , y )} = p (i, j =1,2, ) i j ij 为 ( X Y, ) 的联合分布律.联合分布律有时也用下面的概率分布表来表示： Y X y1 y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … xi pi1 … ij p … 这里 ij p 具有下面两个性质： （1） 0 ij p （i,j=1,2,…）； （2） =1. ij i j p 2.边缘分布 X 的边缘分布为 ( ) ,( , 1,2, ) i i ij j p P X x p i • = = = = ； Y 的边缘分布为
B,=PY=)=∑P,0=l,2, 3.条件分布 在己知X=式，的条件下，Y取值的条件分布为 P(Y=y,X=x)=Pu . 在已知Y=y,的条件下，X取值的条件分布为 P(X=IY=)=B (三)连续型随机向量的分布 1.联合分布 对于二维随机向量(X,Y),如果存在非负函数f(x,y(-0<x<+0,-0<y<+o),使对 任意一个平面区域D,有 P(X,Y)∈Dy=「fx,y)dkd 则称(X,Y)为连续型随机向量：并称f(x,y)为(X,Y)的联合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面两个性质： (①)f(x,y)20: (2)(x.ydrdy=1. 2.边缘分布 X的边缘分布密度为 fx(x)=[f(x.y)dy; Y的边缘分布密度为 f(y)=[f(x.y)dx 3.条件分布 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 (ly)=I.) 0) 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 f01x)=x) fr(x) 3
3 ( ) ,( 1,2, ) j j ij i p P Y y p j • = = = = 3.条件分布 在已知 X x= i 的条件下， Y 取值的条件分布为 ； • = = = i ij j i p p P(Y y | X x ) 在已知 Y y = j 的条件下， X 取值的条件分布为 ( | ) ij i j j p P X x Y y p• = = = （三） 连续型随机向量的分布 1.联合分布 对于二维随机向量 ( X Y, ) ，如果存在非负函数 f (x, y)(− x +,− y +) ，使对 任意一个平面区域 D ，有 = D P{(X,Y) D} f (x, y)dxdy, 则称 ( X Y, ) 为连续型随机向量；并称 f x y ( , ) 为 ( X Y, ) 的联合分布密度. 分布密度 f x y ( , ) 具有下面两个性质： (1) f x y ( , 0 ) ； （2） + − + − f (x, y)dxdy =1. 2.边缘分布 X 的边缘分布密度为 + − f X (x) = f (x, y)dy； Y 的边缘分布密度为 ( ) ( , ) . + − f y = f x y dx Y 3.条件分布 在已知 Y y= 的条件下， X 的条件分布密度为 ( ) ( , ) ( | ) f y f x y f x y Y = ； 在已知 X x = 的条件下， Y 的条件分布密度为 ( ) ( , ) ( | ) f x f x y f y x X =
(四)随机变量的独立性 1.一般概念 称随机变量X,X2,…X为相互独立的，如果其联合分布函数 F(x,…,x)=F(x)…En(x) 其中F(x),k=1,…,n是X的分布函数。 2.离散型随机变量的独立性 称离散型随机变量X,X2,…X相互独立，如果对于一切可能值x,…,X。,有 P(X=x,…,X。=xn)=P(X=x)…P(Xn=x) 3.连续型随机变量的独立性 称连续型随机变量X,X,…X,相互独立，如果它们的联合密度等于各变量密度之积： f(3,…,x)=f(x)…f,(x) 4.性质 (1)如果X,X2,…X相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个随机变量也相互独立：(2) 如果X,X2,…Xn相互独立，则它们的函数g(X),,g(X)也相互独立：(3)如果两 个随机变量独立，则一个变量关于另一个变量的条件分布就是其无条件分布 (五)常见的二维随机变量 1.二维均匀分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 [1 (x.y)ED f(x,)= 10 其他 其中S。为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布 特别地，若D={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d,则在区域D上的均匀分布密度为 1 (b-a(d-c） (x,y)ED f(x,y)= 其他
4 （四）随机变量的独立性 1.一般概念 称随机变量 1 2 , , X X X n 为相互独立的，如果其联合分布函数 F x x F x F x ( 1 1 1 , , n n n ) = ( ) ( ) 其中 F x k k ( ) ， k n =1, , 是 Xk 的分布函数. 2.离散型随机变量的独立性 称离散型随机变量 1 2 , , X X X n 相互独立，如果对于一切可能值 1 , , n x x ，有 P X x X x P X x P X x ( 1 1 1 1 = = = = = , , n n n n ) ( ) ( ) 3.连续型随机变量的独立性 称连续型随机变量 1 2 , , X X X n 相互独立，如果它们的联合密度等于各变量密度之积： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , n n X X n f x x f x f x = 4.性质 （1）如果 1 2 , , X X X n 相互独立，则其中任意 k k n (2 ) 个随机变量也相互独立；（2） 如果 1 2 , , X X X n 相互独立，则它们的函数 g X g X 1 1 ( ), , n n ( ) 也相互独立；（3）如果两 个随机变量独立，则一个变量关于另一个变量的条件分布就是其无条件分布. （五）常见的二维随机变量 1.二维均匀分布 设随机向量 ( X Y, ) 的分布密度函数为 = 0, 其他 ( , ) 1 ( , ) x y D S f x y D 其中 D S 为区域 D 的面积，则称 ( X Y, ) 服从 D 上的均匀分布. 特别地，若 D x y a x b c y d = ( , , ) ，则在区域 D 上的均匀分布密度为 ( )( ) 1 ( , ) ( , ) 0, x y D b a d c f x y − − = 其他
二维均匀分布的两个边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域D的形状密切相关例 如，D={《x,y)儿x+y≤r2},则区域D上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分 布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布.再如 D={(x,y)a≤x≤b,c≤y≤d},则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间(a,b)和 (c,d)内的均匀分布 2.二维正态分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 2a,4veo川 f(x.y)=- 其中4，：，>00，>0|pK1是5个参数，则称(X,y)服从二维正态分布 记为(X,Y)~N(4,h.G,oi,P) (1)二维正态分布的两个边缘分布均为正态分布，即X~N(4,),Y~N(O) 但是若X~N(4,o),Y~N(4o),(X,Y)未必是二维正态分布. (2)若(X,Y)~N(4,5c,o,P),则对于任给的实数a,b(至少有一个不为0)， ax+by -N(au +bu,a'a+b'a2 ) (3)若(X,Y)服从二维正态分布，则相关系数P=0是X和Y独立的充要条件. (六)多个随机变量函数的分布 1.最值的分布 若X,X2…Xn相互独立，其分布函数分别为F(x,F,(x)…F,(x),则 Z=max(X,,Xn),Z=min(X,…,Xn)的分布函数为： F(x)=F(xFx)…F(x) F(x)=1-[1-F(x小l-F(x小…1-F(x】 特别地，若X,X2,…Xn相互独立，且有相同的分布函数F(x),则 F(x)=[F(x)],Fnn(x)=1-[1-F(x 2.两个连续型随机变量的和的分布 5
5 二维均匀分布的两个边缘分布、条件分布以及数字特征都与区域 D 的形状密切相关.例 如， ( ) 2 2 2 D x y x y r = + , ，则区域 D 上的二维均匀分布的两个边缘分布都不是均匀分 布，而其中一个变量关于另一个变量的条件分布都是均匀分布 . 再 如 D x y a x b c y d = ( , , ) ，则二维均匀分布的两个边缘分布分别为区间 (a b, ) 和 (c d, ) 内的均匀分布. 2.二维正态分布 设随机向量 ( X Y, ) 的分布密度函数为 , 2 1 1 ( , ) 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 ( )( ) 2(1 ) 1 2 − + − − − − − − − = x x y y f x y e 其中 1 , 2, 1 0, 2 0,| |1 是 5 个参数，则称 ( X Y, ) 服从二维正态分布， 记为 ( X Y, ) 2 2 ~ ( , , , ). N 1 2, 1 2 （1）二维正态分布的两个边缘分布均为正态分布，即 2 2 X N Y N ~ ( , ), ~ ( ). 1 1 2, 2 但是若 2 2 X N Y N ~ ( , ), ~ ( ). 1 1 2, 2 ，( X Y, ) 未必是二维正态分布. （2）若 ( X Y, ) 2 2 ~ ( , , , ). N 1 2, 1 2 ，则对于任给的实数 a b, （至少有一个不为 0）， aX bY + 2 2 2 2 ~ ( , ). N a b a b 1 2 1 2 + + （3）若 ( X Y, ) 服从二维正态分布，则相关系数 = 0 是 X 和 Y 独立的充要条件. （六）多个随机变量函数的分布 1.最值的分布 若 X1 X2 Xn , 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 ( ) ( ) ( ) 1 2 F x F x F x n x ， x x ， 则 Z X X = max , , ( 1 n )， Z X X = min , , ( 1 n ) 的分布函数为： max 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n F x F x F x F x = x x x min 1 2 ( ) 1 [1 ( )] [1 ( )] [1 ( )] n F x F x F x F x = − − − − x x x 特别地，若 1 2 , , X X X n 相互独立，且有相同的分布函数 F x( ) ，则 max ( ) ( ) n F x F x = ， min ( ) 1 [1 ( )]n F x F x = − − 2.两个连续型随机变量的和的分布
根据定义计算：F2(e)=P(Z≤)=P(X+Y≤z) 对于连续型，y(e)=∫f(x,-x 两个独立的正态分布的和仍为正态分布N(4+山，σ+o) n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布 μ=∑C,4,o2=∑Co 三例题详解 例1.将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面 的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求(X,Y)的联合分布律。 【提示】本题考查如何求二维离散型随机变量的联合分布列. 解： 例2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f=6 0sxsys1 0 其他 则PX+ys1}= 案日 【提示】本题主要考查二维随机变量由概率密度求概率的基本方法 解 【典型错误】讲答案写成1.估计是这样得米的： P{X+Y≤l}=∬6xdk=∫d6xd=l x+YS 这是概念性的错误.f(x,y)是个分段函数，仅当0≤x≤y≤1时f(x,y)=6x,所以实际 6
6 根据定义计算： F (z) P(Z z) P(X Y z) Z = = + 对于连续型， ( ) ( , ) X Y f z f x z x dx + + − = − 两个独立的正态分布的和仍为正态分布 2 2 1 2 1 2 N( , ) + + . n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布： = i Cii ， = i Ci i 2 2 2 三.例题详解 例 1. 将一枚均匀硬币连掷三次，以 X 表示三次试验中出现正面的次数， Y 表示出现正面 的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求 ( X Y, ) 的联合分布律。 【提示】本题考查如何求二维离散型随机变量的联合分布列. 解： 例 2. 设二维随机变量 ( X Y, ) 的概率密度为 = 0 其他 6 , 0 1 ( , ) x x y f x y 则 P{X + Y 1}= 。 答案： 1 4 . 【提示】本题主要考查二维随机变量由概率密度求概率的基本方法. 解： 【典型错误】讲答案写成 1.估计是这样得来的： 1 1 0 0 1 1 6 6 1 x x y P X Y xdxdy dx xdy − + + = = = 这是概念性的错误. f x y ( , ) 是个分段函数，仅当 0 1 x y 时 f x y x ( , 6 ) = ，所以实际
的积分区应为0≤x≤y≤1与x+y≤1的交，而将所求概率直接写成儿6xd显然是 错误的 例3.二维随机向量(X,Y)共有六个取正概率的点，它们是：(1，-1)，(2，-1)，(2,0)， 2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同，则(X,Y)的联合分布及边缘 分布为 0 0 1 例4.设平面区域D是由y=与直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机向量(X,Y)在D 上服从均匀分布，求(X,Y)关于X的边缘分布密度在x=2处的值. 【提示】本题主要考查二维均匀分布，二重积分及边缘密度.先由均匀分布的定义求出 (X,Y)的联合密度，再求出边缘密度即可。 解： 【典型错误】不知道二维均匀分布的密度函数 例5.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 1 0.4a
7 的积分区域应为 0 1 x y 与 x y + 1 的交，而将所求概率直接写成 1 6 x y xdxdy + 显然是 错误的. 例 3. 二维随机向量 ( X Y, ) 共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0）， 2，2），（3，1），（3，2），并且 ( X Y, ) 取得它们的概率相同，则 ( X Y, ) 的联合分布及边缘 分布为 Y X -1 0 1 2 p1· 1 6 1 0 0 0 6 1 2 6 1 6 1 0 6 1 2 1 3 0 0 6 1 6 1 3 1 p·j 3 1 6 1 6 1 3 1 1 例 4. 设平面区域 D 是由 x y 1 = 与直线 2 y x x e = = = 0, 1, 所围成，二维随机向量 ( X Y, ) 在 D 上服从均匀分布，求 ( X Y, ) 关于 X 的边缘分布密度在 x = 2 处的值. 答案： 1 4 . 【提示】本题主要考查二维均匀分布，二重积分及边缘密度.先由均匀分布的定义求出 ( X Y, ) 的联合密度，再求出边缘密度即可. 解： 【典型错误】不知道二维均匀分布的密度函数. 例 5. 设二维随机变量 ( X Y, ) 的概率分布为 Y X 0 1 0 0.4 a
1 b0.1 己知随机事件{X=0与{X+Y=)互相独立，则() (A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1 (D)a=0.3.b=0.2 (D)a=0.1.b=0.4 答案：B 【提示】本盟主要考查事件的独立性、离散型随机变量的边缘分布与联合分布。 例6.如图3.1，fx,y)=8x,f(x)=4x,f,(y)=4y-4y2,不独立. /D1 01 图3.1 例7.fk=,0≤x520≤y≤1，预立 0,其他 【提示】f(x,)=x(x)(y) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 例8.设随机变量X在区间(0，)内服从均匀分布，在X=x(0}· 【提示】本题主要考查条件分布、联合分布及边缘分布
8 1 b 0.1 已知随机事件 X = 0 与 X Y+ =1 互相独立，则（ ） （A）a=0.2, b=0.3 （B） a=0.4, b=0.1 （D）a=0.3, b=0.2 （D） a=0.1, b=0.4 答案：B 【提示】本题主要考查事件的独立性、离散型随机变量的边缘分布与联合分布. 解： 例 6.如图 3.1，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3 , fY(y)=4y-4y3，不独立. y 1 D1 O 1 x 图 3.1 例 7. ( ) 2 ,0 2,0 1 , 0, Axy x y f x y = 其他 ，独立. 【提示】 f x y f x f y ( , ) = X Y ( ) ( ) 直接判断，充要条件： ①可分离变量 ②正概率密度区间为矩形 例 8. 设随机变量 X 在区间 (0,1) 内服从均匀分布，在 X = x(0 x 1) 的条件下，随机变 量 Y 在区间 (0, x) 上服从均匀分布，求 (Ⅰ) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度；(Ⅱ) Y 的概率密度； (Ⅲ) 概率 P{X + Y 1}． 【提示】本题主要考查条件分布、联合分布及边缘分布. 解：
【典型错误】(1)不能由已知条件求出条件密度(y) (2)不知道关系式f(x,y)=f(x)/(yr) (3)当x≤0或x≥1时，不会求f(xy).其实由(x)=0易得f(x,y)=0 (4)求出(y)=-ny,而不是正确答案中的分段函数. (5)在计算概率PX+Y>1时，误为P(X+y>=dl杰=ln2 例9.设随机变量X,Y都服从正态分布，且它们不相关，则() (A)X与Y一定独立： (B)(X,Y)服从二维正态分布： (C)X与Y未必独立： (D)X+Y服从一维正态分布。 答案：C 【提示】本题主要考查随机变量间的独立性与不相关性，特别是关于正态分布随机变量的独 立性与相关性.对于正态分布，有下列结论：(1)若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独 立的充要条件是它们不相关：(2)若X和Y都服从正态分布，且独立，则(X,Y)服从二维 正态分布，X+Y服从一维正态分布 解： 例10.如下四个二元函数，哪个不能作为(X,Y)的联合分布函数 AFk,=-e-e").0<xy<t∞ 0,其他 c.5,)F0,x+2y<1 1.x+2v21 D.F(x,y)= 1-2-2+2-y,0<x,y<+ 0,其他
9 【典型错误】（1）不能由已知条件求出条件密度 f y x Y X ( ) . （2）不知道关系式 f x y f x f y x ( , ) = X ( ) Y X ( ) . （3）当 x 0 或 x 1 时，不会求 f x y ( , ) .其实由 f x X ( ) = 0 易得 f x y ( , 0 ) = . （4）求出 f y y Y ( ) = −ln ，而不是正确答案中的分段函数. （5）在计算概率 P{X + Y 1} 时，误为 1 1 2 0 1 1 ln 2 y y P X Y dy dx x − + = = . 例 9.设随机变量 X ，Y 都服从正态分布，且它们不相关，则（ ） （A） X 与 Y 一定独立； （B） ( X Y, ) 服从二维正态分布； （C） X 与 Y 未必独立； （D） X Y+ 服从一维正态分布. 答案：C 【提示】本题主要考查随机变量间的独立性与不相关性，特别是关于正态分布随机变量的独 立性与相关性.对于正态分布，有下列结论：（1）若 ( X Y, ) 服从二维正态分布，则 X 与 Y 独 立的充要条件是它们不相关；（2）若 X 和 Y 都服从正态分布，且独立，则 ( X Y, ) 服从二维 正态分布， X Y+ 服从一维正态分布. 解： 例 10.如下四个二元函数，哪个不能作为 ( X Y, ) 的联合分布函数？ A． ( ) ( )( ) 1 1 1 ,0 , , 0, x y e e x y F x y − − − − + = 其他 B． 2 ( ) 2 1 , arctan arctan 2 2 2 3 x y F x y = + + C． 3 ( ) 1, 2 1 , 0, 2 1 x y F x y x y + = + D． 4 ( ) 1 2 2 2 ,0 , , 0, x y x y x y F x y − − − − − − + + = 其他
答案：C 【提示】本腿主要考查联合分布函数的基本性质 例11说明函数了化列-+女广0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工 作，试求电路正常工作的时间T的概率分布。 【提示】本题考查min(X,Xz,X)的分布的求法 解： 例14.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布：P(X=-)=PV=-)=2 P(X=)=P(《=)=则下列各式中成立的是()
10 答案：C 【提示】本题主要考查联合分布函数的基本性质. 解： 例 11. 说明函数 ( ) 2 2 2 2 , 2 , 0, x y x y f x y + + = 其他 不能作为 ( X Y, ) 的密度函数 【提示】本题考查联合密度函数的基本性质. 解： 例 12. 已知 ( ) (6 ,0 2,2 4 ) , 0 k x y x y f x y − − = ， 其它 ， 求 （1）常数 k ,（2） P X Y ( 1, 3) ,（3） P X Y ( + 4) 【提示】本题主要考查连续型随机变量的基本计算. 解： 例 13. 假设一电路装有三个同种元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参 数为 0 的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工 作，试求电路正常工作的时间 T 的概率分布。 【提示】本题考查 min , , ( X X X 1 2 3 ) 的分布的求法. 解： 例 14.设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布： ( ) ( ) 1 1 1 2 P X P Y = − = = − = ， ( ) ( ) 1 1 1 2 P X P Y = = = = ，则下列各式中成立的是（ ）