第十六讲随机变量的数字特征 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量的期望（均值），方差，标准差及其性质，随机变量函数的期望，矩、协方差、相 关系数及其性质，Chebyshev不等式 2.考试要求： ①理解随机变量数字特征（期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数）的概念， 会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征 ②会求随机变量函数的数学期望。 ③了解Chebyshev不等式. 二.考试内容解析 期望 期望 方差 “维随机变量→ 方差 二维随机变量→ 矩 协方差 相关系数 切比雪夫不等式 协方差矩阵 (一)随机变量的数学期望 1.定义 (1)离散型：设X是离散型随机变量，其分布律为P(X=x)=P,k=12,… E(X)=∑xP,(要求绝对收敛) (2)连续型：设X是连续型随机变量，其概率密度为∫(x) E(X)=「xx),(要求绝对收敛) 2.性质 (1)Ec=C,c为任意常数 (2)E(cX)=cEX (3)E(X+Y)-EX+EY.E(CX)-CE(X (4)E(XY)=EX·EY,充分条件：X和Y独立：
1 第十六讲 随机变量的数字特征 一.考试内容与要求 1.考试内容： 随机变量的期望（均值），方差，标准差及其性质，随机变量函数的期望，矩、协方差、相 关系数及其性质， Chebyshev 不等式 2.考试要求： ① 理解随机变量数字特征（期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数）的概念， 会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征. ② 会求随机变量函数的数学期望. ③ 了解 Chebyshev 不等式. 二.考试内容解析 → 切比雪夫不等式 矩 方差 期望 一维随机变量 ， → 协方差矩阵 相关系数 协方差 方差 期望 二维随机变量 （一） 随机变量的数学期望 1.定义 （1）离散型：设 X 是离散型随机变量，其分布律为 ( ) , 1,2, P X x p k = = = k k 1 ( ) k k k E X x p = = ，（要求绝对收敛） （2）连续型：设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f x( ) ， + − E(X ) = xf (x)dx ，（要求绝对收敛） 2.性质 （1） Ec c c = , 为任意常数. （2） E cX cEX ( ) = （3） E X Y EX EY ( + = + ) ， = = = n i n i E Ci Xi CiE Xi 1 1 ( ) ( ) （4） E XY EX EY ( ) = ，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件：X和Y不相关。 3.随机变量函数的期望 4D离散型：Y=g(X).则E0)=∑8：p: (2)连续型：Y=g(X),则EW)=∫g(x)fx) 对于二元函数Z=g(X,Y),仍有类似公式： (1)离敢型：g(X,Y刀=∑∑g(x,y,)P ()②连续：A耳gx,刃=了了sx.y/(x.ydd (二)随机变量的方差和标准差 1.定义 方差DX=E(X-EX) 标准差G(X)=√DX灯， 常用计算公式：DX=EX2-(EX)月 2.方差的性质及与期望相应公式的比较 (1)Dc=0:Ec=c (2)D(ax)=a'DX:E(ex)=cEX (3)D(ax+b)=aDX:E(ax+b)=aEX+b (4)D(X+Y)=DX+DY,充分条件：X和Y独立 充要条件：X和Y不相关 D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y),无条件成立 而E(X+Y)=EX+EY,无条件成立 (5)DX=0当且仅当X以概举1取常数，即P(X=c)=1,其中c=EX. (三)常用随机变量的数学期望与方差 常见 期望 方差 分布 的期 0-1分布B(1,p) p1-p)
2 充要条件： X 和 Y 不相关. 3.随机变量函数的期望 （1）离散型： Y g X = ( ) ，则 = = n k k pk E Y g x 1 ( ) ( ) （2）连续型： Y g X = ( ) ，则 + − E(Y) = g(x) f (x)dx 对于二元函数 Z g X Y = ( , ) ，仍有类似公式： （1）离散型： E g X Y [ ( , )]＝ ( , ) i j ij i j g x y p （2）连续型： E g X Y [ ( , )]＝ g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + － － （二）随机变量的方差和标准差 1.定义 方差 ( ) 2 DX E X EX = − 标准差 (X) = D(X) ， 常用计算公式： ( ) 2 2 DX EX EX = − 2.方差的性质及与期望相应公式的比较 （1） Dc = 0 ； Ec c = （2） ( ) 2 D aX a DX = ； E cX cEX ( ) = （3） ( ) 2 D aX b a DX + = ； E aX b aEX b ( + = + ) （4） D X Y DX DY ( + = + ) ，充分条件： X 和 Y 独立； 充要条件： X 和 Y 不相关. D X Y DX DY Cov X Y ( = + ) 2 , ( ) ，无条件成立. 而 E X Y EX EY ( + = + ) ，无条件成立. （5） DX = 0 当且仅当 X 以概率 1 取常数，即 P X c ( = =) 1 ，其中 c EX = . （三）常用随机变量的数学期望与方差 常 见 分 布 的 期 期望 方差 0-1 分布 B(1, p) p p(1− p)
望和 方差 二项分布B(nP) np(1-p) 泊松分布P(2) 几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N nM N -0=别) 均匀分布U(a,b) atb 60 指数分布e() 正态分布N(4,o2) x2分布 0 2n t分布 0 2网 (四)协方差与相关系数 1.定义 (1)协方差：Cor(X,Y)=E[(X-EX)Y-EY)] 常用计算公式：COr(X,Y)）=E(Y)-EX·EY (2)相关系数：Pp= Cov(X,Y) √Dr√Dy 2协方差的性质： (i)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (ii)Cov(ax,by)=abCov(X,Y) (iii)Cov(X+X:.Y)=Cov(X.Y)+Cov(X.Y) 3相关系数的性质： Ip|≤1，当|p=l时，称X与Y完全相关：P(X=aY+b)=1 ,正相关，当p=1时(a>0), 完全相关负相关，当p=-时a<0, 3
3 望 和 方差 二项分布 B(n, p) np np(1− p) 泊松分布 P() 几何分布 G( p) p 1 2 1 p − p 超几何分布 H(n, M , N) N nM − − − 1 1 N N n N M N nM 均匀分布 U (a,b) 2 a + b 12 ( ) 2 b − a 指数分布 e() 1 2 1 正态分布 ( , ) 2 N 2 2分布 n 2n t 分布 0 n − 2 n (n>2) （四）协方差与相关系数 1.定义 （1）协方差： Cov X Y E X EX Y EY ( , ) = − − ( )( ) 常用计算公式： Cov X Y E XY EX EY ( , ) = − ( ) （2）相关系数： Cov X Y ( , ) DX DY = 2.协方差的性质： (i) Cov X Y Cov Y X ( , , ) = ( ) (ii) Cov aX bY abCov X Y ( , , ) = ( ) (iii) Cov X X Y Cov X Y Cov X Y ( 1 2 1 2 + = + , , , ) ( ) ( ) 3.相关系数的性质： | |≤1，当 =1 时，称 X 与 Y 完全相关： P(X = aY + b) =1 完全相关 = − = 负相关，当 时 ， 正相关，当 时 ， 1 ( 0) 1 ( 0) a a
而当P=0时，称X与Y不相关 以下五个命题是等价的： ①Pn=0: ②Com(X,Y)=0 ③E(XY)=EX·EY ④D(X+Y)=DX+DY ⑤D(X-Y)=DX+DY (五)矩 对于随机变量X,若EX,k=12,…存在，则称之为X的k阶原点矩。 如果E(X-EX),k=1,2,…存在，则称之为X的k阶中心矩 (六)切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望EX和方差DX,则对于任意正数E,有下列切比雪夫不等式 PK-EX≥E)sD s2 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P叫X-EX≥)的一种估计， 它在理论上有重要意义， (七)独立和不相关 (1)若随机变量X与Y相互独立，则Pg=0:反之不真. (2)若(X,Y)~N(4,凸，G,o,P),则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关. 三.例题详解 例1.设随机变量X服从参数为入的指数分布，则P(X>√DX)=一 答案：1 【提示】本题考查常见随机变量的概率分布和数字特征 解： 例2.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为 答案：0.9
4 而当 = 0 时，称 X 与 Y 不相关. 以下五个命题是等价的： ① XY = 0 ； ② Cov X Y ( , 0 ) = ③ E XY EX EY ( ) = ④ D X Y DX DY ( + = + ) ⑤ D X Y DX DY ( − = + ) （五）矩 对于随机变量 X ，若 , 1,2, k EX k = 存在，则称之为 X 的 k 阶原点矩. 如果 ( ) , 1,2, k E X EX k − = 存在，则称之为 X 的 k 阶中心矩. （六）切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 EX 和方差 DX ，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式 2 ( ) DX P X EX − 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率 P X EX ( ) − 的一种估计， 它在理论上有重要意义. （七）独立和不相关 （1）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 XY = 0 ；反之不真. （2）若 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 X Y N , ~ , , , , ，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关. 三.例题详解 例 1.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 P X DX ( =) ________. 答案： 1 e 【提示】本题考查常见随机变量的概率分布和数字特征. 解： 例 2.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z X = −0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为 ______. 答案：0.9
【提示】本题主要考查两个随机变量间相关系数的概念及运算.如果对相关系数的概念比较 楚，此题不用计算即可知道仍为0.9. 解 例3.设随机变量X,心，广=1,2，…m,n之2)为独立同分布，E(X,)=2,则行列式 XtX2…Xn …… XiXa…X 的数学期望EY=(） 答案：0 【提示】本题主要考查行列式的计算、随机变量的独立性及期望， 解 例4.己知X~P(),且E(X-1(X-2)=1,则1= 答案：1 【提示】本题考查泊松分布及其数字特征 1,X>0 例5.设XU(-1,2),Y=0,X=0,则Dy= -1X<0 8 答案： 【提示】本题主要考查均匀分布、随机变量的期望与方差
5 【提示】本题主要考查两个随机变量间相关系数的概念及运算.如果对相关系数的概念比较 清楚，此题不用计算即可知道仍为 0.9. 解： 例 3.设随机变量 ( , 1,2, X i j ij = … n n, 2) 为独立同分布, ( ) 2, E Xij = 则行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn X X X X X X Y X X X = 的数学期望 EY = ( ) 答案：0 【提示】本题主要考查行列式的计算、随机变量的独立性及期望. 解： 例 4. 已知 X ～ P( ) ，且 E X X ( 1)( 2) 1 − − = ，则 = ____ 答案：1 【提示】本题考查泊松分布及其数字特征. 解： 例 5.设 X U~ ( 1,2) − ， 1, 0 0, 0 1, 0 X Y X X = = − ，则 DY = ____ . 答案： 8 9 【提示】本题主要考查均匀分布、随机变量的期望与方差. 解：
例6.设Pg=0.5,EX=EY=0,EX2=EY2=2,则E(X+Y)2= 答案：6 【提示】本考查随机变量数字特征（期望、方差、协方差和相关系数）的基本性质 例7.将一枚硬币重复抛次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的 相关系数等于 答案：-1 【提示】本思主要考查相关系数的概念或者是计算 例8.设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差 答案：44 【提示】本恶考查随机变量的函数的数字特征。 例9.设X是一随机变量，EX=4,DX=o2,则对任意常数C,必有() (A)E(X-c)=EX2-c (B)E(X-c)=E(X-M) (C)E(X-c)<E(X-)(D)E(X-c)2E(X-u) 答案：D 【提示】本题考查随机变量方差的性质 6
6 例 6. 设 0.5 XY = ， EX EY = = 0 ， 2 2 EX EY = = 2 ，则 2 E X Y ( ) + = 答案；6 【提示】本题考查随机变量数字特征（期望、方差、协方差和相关系数）的基本性质. 解： 例 7.将一枚硬币重复抛 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的 相关系数等于_______. 答案： −1 【提示】本题主要考查相关系数的概念或者是计算. 解： 例 8.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3 2 X Y − 的方差 是________. 答案：44 【提示】本题考查随机变量的函数的数字特征. 解： 例 9.设 X 是一随机变量， EX = ， 2 DX = ，则对任意常数 c ，必有（ ） （A） ( ) 2 2 2 E X c EX c − = − （B） ( ) ( ) 2 2 E X c E X − = − （C） ( ) ( ) 2 2 E X c E X − − （D） ( ) ( ) 2 2 E X c E X − − 答案：D 【提示】本题考查随机变量方差的性质. 解：
例10.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和y (A)不相关的充分条件，但不是必要条件： (B)独立的充分条件，但不是必要条件： (C)不相关的充分必要条件： (D)独立的充分必要条件. 【提示】本题考查随机变量的数字特征、不相关与独立的概念及关系 解： 【典型错误】混淆独立与不相关这两个概念 例11.设(X,Y)服从二维正态分布，则5=X+Y与X-Y不相关的充要条件为(B) A)EX=EY B)EX2-(EX)=EY2-(EY) C)EX2=EY D)Ex2+(EX)=EY+(EY) 答案：B 【提示】本题考查随机变量的函数、随机变量相关与不相关的性质. 解： 【典型错误】从(X,Y)服从二维正态分布出发研究5与刀的相关性.实际上，本题所给的 维正态分布这一条件是多余的 例12设AB是两个随机事件，且P(A)=子P(AA)=写，P(A)=弓，令 化年化 求：(1)(X,Y)的概率分布：(2)X与Y的相关系数： (3)Z=X2+Y2的概率分布. 【提示】本题主要考查概率的运算公式、二维离散型随机变量的概率分布及其相关系数的求 解、二维离散型随机变量简单函数的概率分布的求解 解：
7 例 10.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D X Y DX DY ( + = + ) 是 X 和 Y （ ） （A）不相关的充分条件，但不是必要条件； （B）独立的充分条件，但不是必要条件； （C）不相关的充分必要条件； （D）独立的充分必要条件. 答案：C 【提示】本题考查随机变量的数字特征、不相关与独立的概念及关系. 解： 【典型错误】混淆独立与不相关这两个概念. 例 11. 设 ( X Y, ) 服从二维正态分布，则 = + X Y 与 =X −Y 不相关的充要条件为（ B ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) ) ) A EX EY B EX EX EY EY C EX EY D EX EX EY EY = − = − = + = + 答案：B 【提示】本题考查随机变量的函数、随机变量相关与不相关的性质. 解： 【典型错误】从 ( X Y, ) 服从二维正态分布出发研究 与 的相关性.实际上，本题所给的二 维正态分布这一条件是多余的. 例 12.设 A B, 是两个随机事件，且 ( ) 1 4 P A = ， ( ) 1 3 P B A = ， ( ) 1 2 P A B = ，令 1, 0 A X A = 发生 ， 不发生 ， 1, 0 B Y = 发生 ，B不发生 求：（1） ( X Y, ) 的概率分布；（2） X 与 Y 的相关系数； （3） 2 2 Z X Y = + 的概率分布. 【提示】本题主要考查概率的运算公式、二维离散型随机变量的概率分布及其相关系数的求 解、二维离散型随机变量简单函数的概率分布的求解. 解：
【典型错误】(1)不会把求(X,Y)的分布转化成计算随机事件的概率。 (2)对计算二维离散型随机变量的相关系数不熟练 (3)由于运算量较大，出现不应有的计算错误 (4)未能把Z正确理解为一维离散型随机变量，因为常见的题型多是求Z的概率密度， 例13.设随机变量X的概率密度为 f)=os克0srsn 0,其他 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于二的次数，求Y的数学期望 【提示】本题考查连续型随机变量的分布函数、独立重复试验的数学期望和方差。 解： 例14.假设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量 X=以若U≤-1 y=L若Us1 1,若U>-1 11,若U>1 试求：(1)X和Y的联合概率分布：(2)D(X+Y): 【提示】本题主要考查随机变量的联合分布、随机变量函数的数字特征
8 【典型错误】（1）不会把求 ( X Y, ) 的分布转化成计算随机事件的概率. （2）对计算二维离散型随机变量的相关系数不熟练. （3）由于运算量较大，出现不应有的计算错误. （4）未能把 Z 正确理解为一维离散型随机变量，因为常见的题型多是求 Z 的概率密度. 例 13.设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 1 cos , 0 2 2 0, x x f x = 其他 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 3 的次数，求 2 Y 的数学期望. 【提示】本题考查连续型随机变量的分布函数、独立重复试验的数学期望和方差. 解： 例 14. 假设随机变量 U 在区间 −2,2 上服从均匀分布，随机变量 1, 1 1, 1 U X U − − = − 若 若 1, 1 1, 1 U Y U − = 若 若 试求：（1） X 和 Y 的联合概率分布；（2） D X Y ( + ) . 【提示】本题主要考查随机变量的联合分布、随机变量函数的数字特征
晚 例15.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中 仅有3件合格品，从甲箱中任取3件放入乙箱中，求： (1)乙箱中次品件数X的期望： (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率 【提示】本题主要考查古典概率的计算、离散型随机变量的数学期望、全概率公式 例16.从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相 互独立的，并且概率都是设X为途中遇到红灯的次数求随机变量X的分布列、分布函 数和数学期望 【提示】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布函数及数学期望，是二项分布在实际中 应用的简单实例。 解： 例17.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，首先开动 其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的密度函数f()、期望和方差 【提示】本题考查指数分布、两独立随机变量和的分布、卷积公式、独立随机变量和的期望 与方差
9 解： 例 15. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中 仅有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件放入乙箱中，求： （1） 乙箱中次品件数 X 的期望； （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【提示】本题主要考查古典概率的计算、离散型随机变量的数学期望、全概率公式. 解： 例 16.从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相 互独立的，并且概率都是 2 5 .设 X 为途中遇到红灯的次数.求随机变量 X 的分布列、分布函 数和数学期望. 【提示】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布函数及数学期望，是二项分布在实际中 应用的简单实例. 解： 例 17. 两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布.首先开动 其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的密度函数 f t( ) 、期望和方差. 【提示】本题考查指数分布、两独立随机变量和的分布、卷积公式、独立随机变量和的期望 与方差
例18.假设随机变量Y服从参数为入=1的指数分布，随机变量 1若Y>k (1)求X和X,的联合概率分布：(2)求E(X,+X) 【提示】本题考查(0-1)分布、指数分布、离散型随机变量和的分布和数学期望 例19.设两个随机变量X,Y相互独立，且都服从均值为0、方差为。的正态分布，求随 机变量X-的方差 【提示】本题主要考查正态分布、两个独立的随机变量函数的数字特征 解： 例20.某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80、10、10件，现在从中随机抽 取一件，记 x-个若抽6=12)
10 解： 例 18.假设随机变量 Y 服从参数为 =1 的指数分布，随机变量 0, 1, k Y k X Y k = 若 若 (k=1，2) （1）求 X1 和 X2 的联合概率分布；（2）求 E X X ( 1 2 + ) 【提示】本题考查（0-1）分布、指数分布、离散型随机变量和的分布和数学期望. 解： 例 19.设两个随机变量 X ，Y 相互独立，且都服从均值为 0、方差为 1 2 的正态分布，求随 机变量 X Y− 的方差. 【提示】本题主要考查正态分布、两个独立的随机变量函数的数字特征. 解： 例 20.某箱装有 100 件产品，其中一、二、三等品分别为 80、10、10 件，现在从中随机抽 取一件，记 1, 0, i i X = 若抽到 等品 其他 (i =1,2,3)