矩阵的秩 定义设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则称D为 矩阵A的最高阶非零子式，r称为A的秩.记作7(A).规定零矩阵的秩为0. 2.T(4)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）. 基本结论 (1)A的秩r(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数： (②)矩阵A中有一个不等于0的s阶子式=r(4)≥s (3)若矩阵A中所有t阶子式全为零=r(A)≥g ()若A为m×n矩阵，则r(A)≤mm{m,n: (⑤)r(4)=r(AT): (6)A为非零矩阵=r(4)≥1： ()阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数： (⑧)若A~B,则(A)=r(B),即初等变换不改变矩阵的秩： (O)若PQ可逆，r(PAQ)=RA: (10)mar{r(A,r(B}≤r(A,B剧≤r(A)+r(B),特别地，当B=B为列向量时有，r(A)≤r(A,3)≤ r(4)+1 (11)r(A+B)≤r(A)+r(B): (12)r(AB)<min(r(A).r(B)) (13)若Amxn Bnxl=0,则r(A)+r(B)≤ (14)r(4TA)=r(4) (15)设分块矩阵D= （0B人则D)≥ra)+rB: AC） n=r(4)=n (16)若n阶方阵A的伴随矩阵为A”,则r(4)= 1=r(A)=n-1 0=rA)<n-1 (17)若向量组A可由向量组B线性表出，则r(A)≤r(B).特别地，等价的向量组具有相同的秩 重要定理 例1r(AB)≤min{r(4,r(B)} 例2证明：r(A+B)≤r(A)+r(B). 证令设a,…an为A的列向量组，房，…，为B的列向量组，则1十，…，0a+的列向量组 设(=s,r(B)=七，不妨设1，…，a,为A的列向量组的极大线性无关组，，…，品，为B的列向量组的极 大线性无关组.对任意a:+品，因为a可以由a1,…,a,线性表示，3可以由品1，·，线性表示，所以a+员 第1页
› ù ½¬ 3› A•kòáÿ u0r f™D,Ö§kr + 1 f™(XJ3{) u0, K°Dè › AÅp ö"f™, r°èAù.Pär(A). 5½"› ùè0. 2. r(A) = A 1ù(› A1ï˛|ù)= A ù(› Aï˛|ù). ƒ (ÿ (1) Aùr(A)“¥A•ÿ u0f™Åp Í; (2) › A•kòáÿ u0s f™ r(A) ≥ s; (3) e› A•§kt f™ è" r(A) ≥ s; (4) eAèm × n › , Kr(A) ≤ min{m, n}; (5) r(A) = r(AT ); (6) Aèö"› r(A) ≥ 1; (7) F/› ù uŸö"1áÍ; (8) eA ∼ B, Kr(A) = r(B), =– CÜÿUC› ù; (9) eP, Qå_, r(P AQ) = R(A); (10) max{r(A), r(B)} ≤ r(A, B) ≤ r(A) + r(B), AO/, B = βèï˛ûk, r(A) ≤ r(A, β) ≤ r(A) + 1; (11) r(A + B) ≤ r(A) + r(B); (12) r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}; (13) eAm×nBn×l = 0, Kr(A) + r(B) ≤ n; (14) r(AT A) = r(A); (15) ©¨› D = A C 0 B ! , Kr(D) ≥ r(A) + r(B); (16) en ê Aäë› èA∗ , Kr(A∗ ) = n r(A) = n 1 r(A) = n − 1 0 r(A) < n − 1 (17) eï˛|Aådï˛|BÇ5L—, Kr(A) ≤ r(B). AO/, dï˛|‰kÉ”ù. á½n ~1 r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}. ~2 y²: r(A + B) ≤ r(A) + r(B). y -α1, · · · , αnèAï˛|, β1, · · · , βnèBï˛|, Kα1 + β1, · · · , αn + βn ï˛|. r(A) = s, r(B) = t, ÿîα1, · · · , αsèAï˛|4åÇ5Ã'|, β1, · · · , βtèBï˛|4 åÇ5Ã'|. È?øαi+βi , œèαiå±dα1, · · · , αsÇ5L´, βiå±dβ1, · · · , βtÇ5L´, §±αi+βi 1 1 ê
可以由a1,…,a,月1，…，月线性表示，因此a1+月，…，an+月n可以由a1,…,,月1，…，月线性表示.因 此r(A+B)≤R(A+R(B). 例3设分块矩阵D= (AC）,则rD≥(A+rB 0 B 例4设A为m×n矩阵，B为n×矩阵.证明：如果AB=O,那么r(A)+r(B)≤n. 证明：设B的列向量组为a1,a2,…,an,则AB=A(a1,2,…,an)=(4a,Aa2,…,Aan)=0,因 此4a1=Aa2==Aan=0,即a1.a …,n为线性方程组=0的解若=则,2，，n可 以由n-r个解向量线性表示，因此R(B)≤n-r于是R(A)+R(B)≤n. n r(A)=n 例5证明：如果A是n×n矩阵(n≥2)，那么r(4') (A)=n- 0,r(A)<n-1 证1)当r(A)=n时，A°=14A-1,可逆，故r(A)=n 2当r(4)=n-1时，A4"=4E=0.因为r(4)+r(4)≤n,即r(4)≤n-r(4=1.若r(4")= 0,则A°=(A)=O,于是A=0,即A的所有n-1阶子式均为零，与r(A)=n-1矛盾，故r(A)=1. 3)当r(4)<n-1时，A的所有n-1阶子式均为零，由伴随矩阵(4)=(4)的定义知A°=0，即r(A)= 例61)设A为m×n矩阵.且42=A.证明：4}+r(A-E)=n: (②设A为阶方阵满足AP=E,E为3阶单位矩阵、证明： (③)设A,B为n×n矩阵，A -)+r+A=m A,B 二B且E-A+)可逆，证明：=(B时 (④)设A为n×n矩阵，证明：A2=E当且仅当r(A+E)+r(A-E)=四 证(1) (2)由A3=E得A可逆且(A+2E)[(42-2A+4E)=E.于是A+2E可逆.由A3=E得A3-E=0, 因此(A-E)(42+A+E)=0.于是r(4-E)+r(A2+A+E)≤n.又因为r(A-E)+r(A2+A+E)≥ =r(A2+2A=r(A(A+2E.因为A,A+2E可逆，所以A(A+2E)可逆，因 -trA2m袋a-+ag (3) 第2页
å±dα1, · · · , αs, β1, · · · , βtÇ5L´, œdα1 +β1, · · · , αn +βn å±dα1, · · · , αs, β1, · · · , βtÇ5L´. œ dr(A + B) ≤ R(A) + R(B). ~3 ©¨› D = A C 0 B ! , Kr(D) ≥ r(A) + r(B); ~4 Aèm × n› , Bèn × t› . y²: XJAB = O, @or(A) + r(B) ≤ n. y²: Bï˛|èα1, α2, · · · , αn, KAB = A(α1, α2, · · · , αn) = (Aα1, Aα2, · · · , Aαn) = 0, œ dAα1 = Aα2 = · · · = Aαn = 0, =α1, α2, · · · , αnèÇ5êß|Ax = 0).eR(A) = r, Kα1, α2, · · · , αnå ±dn − rá)ï˛Ç5L´, œdR(B) ≤ n − r.u¥R(A) + R(B) ≤ n. ~5 y²: XJA¥n × n› (n ≥ 2),@or(A∗ ) n, r(A) = n 1, r(A) = n − 1 0, r(A) < n − 1 y 1)r(A) = nû,A∗ = |A|A−1 ,å_,r(A∗ ) = n 2)r(A) = n − 1û,AA∗ = |A|E = O.œèr(A) + r(A∗ ) ≤ n, =r(A∗ ) ≤ n − r(A) = 1. er(A∗ ) = 0,KA∗ = (Aji) = O,u¥Aij = 0,=A§kn − 1 f™˛è",Ür(A) = n − 1 gÒ,r(A∗ ) = 1. 3)r(A) < n−1û,A§kn−1 f™˛è", däë› (A∗ ) = (Aij )½¬A∗ = O,=r(A∗ ) = 0. ~6 (1) Aèn × n› , ÖA2 = A. y²: r(A) + r(A − E) = n; (2) Aèn ê ˜vA3 = E, Eè3 ¸†› . y²: r(A − E) + r(A2 + A + E) = n; (3) A, Bèn × n› , A2 = A, B2 = B ÖE − (A + B)å_, y²: r(A) = r(B); (4) Aèn × n› ,y²: A2 = E Ö=r(A + E) + r(A − E) = n; y (1) (2) dA3 = EAå_Ö(A + 2E)[ 1 9 (A2 − 2A + 4E)] = E. u¥A + 2Eå_.dA3 = EA3 − E = 0, œd(A − E)(A2 + A + E) = 0. u¥r(A − E) + r(A2 + A + E) ≤ n. qœèr(A − E) + r(A2 + A + E) ≥ r(A − E + A2 + A + E) = r(A2 + 2A) = r(A(A + 2E)). œèA, A + 2Eå_, §±A(A + 2E)å_, œ dr(A(A + 2E)) = n, =r(A − E) + r(A2 + A + E) ≥ n. n˛r(A − E) + r(A2 + A + E) = n. (3) 1 2 ê
0 02E 即令B= (）a-(日-"）-(6)o-(--） /E O /E0】 0 则BBE-A0 必要性 0E+A -e+利(45)-*-对( 02E --20 所以E-A2=0即A2=E. 例7证明：A1=4-1,其中A是n×n矩阵(n≥2). 证由AA”=4E得AA|=AA|=IAE=4P·E=Am (1)当14≠0时.41==14-1： ②)当1A=0时，)A=O时，A=0,于是A1=1An-1:)r(A)>0时，AA°=1AE=0.因r(A)+ r(A)≤n,故r(4)<n,即A1=0,也有A1=4n- 例8设A=(a)s×n,B=()nxm,证明；r(AB)2r(A)+r(B)-n 运明法-设r利=n=a4国=r存在可证矩珠PQ度PAQ-(8）令gB- Bm,因为PQ可逆，所以 B(m-n)xm r=rAB=rP4QQB.而P4AQQB=（E0）(Bx）=（Bxm） 00 B 0 于是r(Bxm）=n但rQB=,这说明Bm-xm中线性无关的行数为2-n,而总行数为n-n, 故r2-r≤n-n,即r之n+2-n ((：)-(8） c-(5品）则g≥r+,又@=n+ra.所+ra2+@ 例9设A是一个n阶矩阵且秩r(A)=1. ()证明：A=aB,其中a,B为n维行向量，且当8a≠0时，A相似于对角阵， (②)若A的第一行和第一列的元素全为1，求A及A10, 证明()令A B2 ,其中，…，品为A的行向量组.因为r(A)=1,所以存在每个，不妨 1 设B=≠0，且对任意月，存在数a使得3=a8,2≤j≤n.于是A 令a=(1,a2,…,n 第3页
(4) ø©5 E − A 0 0 E + A ! −−−−→ c2 + c1 E − A E − A 0 E + A ! −−−−→ r2 + r1 E − A E − A E − A 2E ! −−−−−−−−−−−−−−→ r1 − 1 2 (E − A) × r2 0 0 E − A 2E ! −−−−−−−−−−−−−−→ c1 − c2 × 1 2 (E − A) 0 0 0 2E ! =-P1 = E 0 E E ! , P2 = E − 1 2 (E − A) 0 E ! , Q1 = E E 0 E ! , Q2 = E 0 − 1 2 (E − A) E ! . KP2P1 E − A 0 0 E + A ! Q1Q2 = 0 0 0 2E ! , §±r(A + E) + r(A − E) = n. 7 á5 E − A 0 0 E + A ! −−−−→ r1 + r2 E − A E + A 0 E + A ! −−−−→ c2 + c1 E − A 2E 0 E + A ! −−−−−−−−−−−−−−→ r2 − 1 2 (E + A) × r1 E − A 2E − E−A 2 2 − A 0 ! −−−−−−−−−−−−−−→ c1 − c2 × 1 2 (E − A) 0 2E − E−A 2 2 0 ! . §±E − A2 = 0, =A2 = E. ~7 y²: |A∗ | = |A| n−1 , Ÿ•A¥n × n› (n ≥ 2). y dAA∗ = |A|E|A||A∗ | = |AA∗ | = ||A|E| = |A| n · |E| = |A| n. (1)|A| 6= 0û,|A∗ | = |A| n |A| = |A| n−1 ; (2)|A| = 0û, (i)A = Oû,A∗ = O, u¥|A∗ | = |A| n−1 ;(ii)r(A) > 0û,AA∗ = |A|E = O.œr(A) + r(A∗ ) ≤ n,r(A∗ ) < n,=|A∗ | = 0,èk|A∗ | = |A| n−1 ~8 A = (aij )s × n, B = (bij )n×m, y²; r(AB) ≥ r(A) + r(B) − n. y² {ò r(A) = r1, r(B) = r2, r(AB) = r,3å_› P, Q¶P AQ = Er1 0 0 0 ! , -Q−1B = Br1×m B(n−r1)×m ! , œèP, Qå_, §± r = r(AB) = r(P AQQ−1B), P AQQ−1B = Er1 0 0 0 ! Br1×m B(n−r1)×m ! = Br1×m 0 ! , u¥r(Br1×m) = r, r(Q−1B = r2, ˘`²B(n−r1)×m•Ç5Ã'1Íèr2 − r, o1Íèn − r1, r2 − r ≤ n − r1, =r ≥ r1 + r2 − n. { E 0 0 AB ! −−−−−−−−→ r2 + r1 × A E 0 A AB ! −−−−−−−−→ c2 − c1 × B E B A 0 ! . -C = E 0 0 AB ! . Kr(C) ≥ r(A) + r(B), qr(C) = n + r(AB), §±n + r(AB) ≥ r(A) + r(B). ~9 A¥òán › Öùr(A) = 1. (1) y²: A = α 0β,Ÿ•α, βènë1ï˛, Öβα0 6= 0û, AÉquÈ ; (2) eA1ò1⁄1òÉ è1, ¶A9A100 . y² (1) -A = β1 β2 . . . βn , Ÿ•β1, · · · , βnèA1ï˛|. œèr(A) = 1, §±3záβi , ÿî β = β1 6= 0, ÖÈ?øβj , 3Íaj¶βj = ajβ, 2 ≤ j ≤ n. u¥A = 1 a2 . . . an β, -α = (1, a2, · · · , an), 1 3 ê
则A=aTB. 令k=BT,则AE-A=n-kn-1,得4的特征值为k(≠0)（单根），0，(n-1)重根.当入=k时，对应 的线性方程组(kE一A)x=0只有1个线性无关的解向量：当入=0时，因为rOE一A)=1,所以对应的线性 方程组(OE-A)z =0只有n-1个线性无关的解向量又不同特征值的特征向量线性无关，因此A有n个线 性无关的解向量，故A相似于对角阵 (2)此时a=B=(1,1,…,1),A=(a),4=1,1≤i,j≤n,k=n,A100=nmA. 例10设A为n×n矩阵且r(A)=r.证明：存在可逆矩阵P使得PAP-1的后n-r行全为0， 证明存在时E知阵Q度得PAQ-(台8）于是PA-(台8）Qpm,Qp- (8B)PaP-(8)(8B)-(88） 例11矩阵的列（行）向量组如果是线性无关的，则称该矩阵为列（行）满秩的。 设4mX电阵则0A提列满货=存在价可述矩跨P碳得A=P(名)） 回A是行满秩一存在r阶可逆矩阵Q使得4=(Em,0)Q: 证明句充分性设A=P 其中P可逆，则（因=(E》=5故A是列满肤 必要性设A列满秩，则A中有r阶子式D,≠0.不妨设A的前r行构成的子式 D=: a则何经过行物等变换化为（后）即形在可定矩陈A,R使 A-(6)p-则pA-(6)A-P(5 例12设A为mxn矩阵且r(A)=.则存在m×r的列满秩矩阵P和r×n的行满秩矩阵Q使得A=PQ 证明因为r(A)=r,存在可m阶逆矩阵M及n阶可逆矩阵N使得MAN= 08）于是A -(台8）令=eN-(只）其申防ax施库，房nx-库r× 满秩矩阵，Q为r×n的行满秩矩阵。 求一个列满秩矩阵P和行满秩矩阵Q使得A=PQ, 第4页
KA = α T β. -k = βαT , K|λE − A| = λ n − kλn−1 , AAäèk(6= 0)(¸ä), 0,(n − 1)ä. λ = kû, ÈA Ç5êß|(kE − A)x = 0êk1áÇ5Ã')ï˛; λ = 0û, œèr(0E − A) = 1, §±ÈAÇ5 êß|(0E − A)x = 0êkn − 1áÇ5Ã')ï˛.qÿ”AäAï˛Ç5Ã', œdAknáÇ 5Ã')ï˛, AÉquÈ . (2) dûα = β = (1, 1, · · · , 1), A = (aij ), aij = 1, 1 ≤ i, j ≤ n, k = n, A100 = n 99A. ~10 Aèn × n › Ör(A) = r. y²: 3å_› P¶P AP −1n − r1 è0. y² 3å_› P, Q¶P AQ = Er 0 0 0 ! , u¥P AP −1 = Er 0 0 0 ! Q−1P −1 , -Q−1P −1 = G B C D ! , KP AP −1 = Er 0 0 0 ! G B C D ! = G B 0 0 ! . ~11 › (1)ï˛|XJ¥Ç5Ã', K°T› è(1)˜ù. A¥m × r› , K(i) A¥˜ù 3m å_› P¶A = P Er 0 ! ; (ii) A¥1˜ù 3r å_› Q¶A = (Em, 0)Q; y² (i) ø©5 A = P Er 0 ! , Ÿ•På_, Kr(A) = r( Er 0 ! ) = r, A¥˜ù. 7á5 A˜ù, KA•kr f™Dr 6= 0.ÿîAcr1§f™ Dr = a11 · · · a1r . . . . . . ar1 · · · arr 6= 0. KAå²L1– CÜzè Er 0 ! , =3å_› P1, · · · , Ps¶ Ps · · · P1A = Er 0 ! , -P −1 = Ps · · · P1, KP −1A = Er 0 ! .=A = P Er 0 ! . ~12 Aèm×n › Ör(A) = r. K3m×r˜ù› P⁄r×n1˜ù› Q¶A = P Q. y² œèr(A) = r, 3åm _› M9n å_› N¶MAN = Er 0 0 0 ! , u¥A = M−1 Er 0 0 0 ! N −1 , -M−1 = (P, L), N −1 = Q R ! , Ÿ•Pèm × r› , Lèm × (n − r)› ; Qèr × n› , Rè(n − r) × n)› . KA = (P, L) Er 0 0 0 ! Q R ! = P Q. œèM, Nå_, §±Pèm × r ˜ù› , Qèr × n1˜ù› . ~13 A = 3 1 0 2 1 −1 2 −1 1 3 −4 4 , ¶òá˜ù› P⁄1˜ù› Q¶A = P Q. 1 4 ê
例14若A为n阶实方阵，则A4'和4有相同的秩. 证明注意到4AX=0的充要条件是AX=0(X是维列向量).事实上，充分性是显然的.现证必要性： AAX=0,两端左乘X',得X'AAX=0,即(AXYAX=0,从而AX=0.由此知，方程组AAX=0与方程 组AX =0通解，所以秩AA=秩A.用A替换A,并注意到秩A=秩A,即可得秩AA=秩A=秩A 例15设A,B,C分别为m×m,n×5,s×矩阵求证：秩(ABC)≥秩(AB)+秩(BC)-秩B. 阵.令P=(M,S),Q= （）其中wxN为r×矩库于是B=似S(后8）(）=x 00 T 因此秩(ABC)=秩(AM)NCI≥秩(AM)+秩(NC)-r.又秩(AM≥秩(AMN),秩(NC)≥秩(MNC, 故秩(ABC)≥秩(AMN)+秩(MNC)-T=秩(AB)+秩(BC)-秩B. 例16复数域上的阶方阵A相似于对角阵的充要条件是对于特征根入，A一AE与(A-AE)等秩这 里E为阶单位方阵 证明A相似于对角阵一A柜-A的初等因子全都为一次式←一A的最小多项式m()无重根 必要性：若A相似于对角阵则A的任 -特征根o均为m(A)的单根，即(a-om().但是m(A)与a o)2的最高公因式为A-A0,因而有多项式()与q(A),使入-0=pA)m(A)+g(A)(A-0)2,用入-A代 入，由于(m(4)=0,即得A-AoE=q(A)·(4-AgE)2.从而秩(A-E)≤秩(A-E)2,但总有 秩(4-XoE)≥秩(A-AoE)2,故秩(A-A0E)=秩(4-XoE)2. 充分性：若m(A)有重根o,则(A-Ao)2m(),即m()=(A-o)Pg(A).因为(A-0)g(A)的次数小于m(A)的 次数，所以4 ≠0因此必有非零列向量使A-AE)g4≠0但是( XoE)2q(A) m4C=0,即方程A-AEPX=0至少有一个非零解A不是(A-A0E)X=0的解但后者的解必是 前者的解，从而有秩(A-0E)>秩(A-AoE)2,此与题设矛盾，因此m(A)无重根，故A相似于对角阵. 1 例17若n阶方阵A满足A?=E(E为n阶单位阵).证明：A必相似于形如 的 方阵，并分别指出1与-1的个数 证明设A是A的特征值，X是A的属于特征值A的特征向量，于是有AX=AX,从而X=EX=A2X 2X,所以2=1，入=士1.又因A的化零多项式无重根故A相似于diag(1,…,1,-1,…,-1).令M,V1分 别表示A的属于特征值1和-1的特征子空间.因维=n-秩(E-A,维V1=n-秩(-E-A),维m1+维V1= 2n-(秩(E-A)+秩(-E-A),又因秩(E-A)+秩(-E-A)≥秩[(E-A)+(-E-A)川=秩(-2A)=n,而(E- 4)= -E+A2 所以(E +秩(-E-A=n 仁之T个A的展于特征的我性无关的转证高于是秋E一超级 有r个A的属于特征值-1的线性无关的特征向量，故A相似于 1 其中1的个数 -1 -1 为n-r,-1的个数为r 第5页
~14 eAèn ¢ê ,KAA0⁄AkÉ”ù. y² 5øA0AX = 0øá^á¥AX = 0(X¥nëï˛). Ø¢˛,ø©5¥w,.yy7á5: A0AX = 0,¸‡Ü¶X0 ,X0A0AX = 0, =(AX) 0AX = 0,l AX = 0. dd,êß|A0AX = 0Üêß |AX = 0œ),§±ùA0A =ùA.^A0OÜA,ø5øùA0 =ùA, =åùAA0 =ùA0 =ùA. ~15 A, B, C©Oèm × n, n × s, s × t› .¶y:ù(ABC) ≥ù(AB)+ù(BC)−ùB. y² ùB = r,K3n å_› PÜs å_› Q,¶B = P Er 0 0 0 ! Q,Erèr ¸†› .-P = (M, S), Q = N T ! ,Ÿ•Mèn × r, Nèr × s› ,u¥B = (M, S) Er 0 0 0 ! N T ! = MN, œdù(ABC) =ù[(AM)(NC)] ≥ù(AM)+ù(NC)−r.qù(AM) ≥ù(AMN),ù(NC) ≥ù(MNC), ù(ABC) ≥ù(AMN)+ù(MNC) − r =ù(AB)+ù(BC)−ùB. ~16 EÍç˛n ê AÉquÈ øá^á¥ÈuAäλ,A − λEÜ(A − λE) 2 ù,˘ pEèn ¸†ê . y² AÉquÈ ⇐⇒ λE − A– œf —èòg™⇐⇒ AÅıë™m(λ)Ãä. 7á5: eAÉquÈ ,KA?òAäλ0˛èm(λ)¸ä,=(λ − λ0)|m(λ).¥m(λ)Ü(λ − λ0) 2Åp˙œ™è(λ − λ0), œ kıë™p(λ) Üq(λ), ¶λ − λ0 = p(λ)m(λ) + q(λ)(λ − λ0) 2 , ^λ = Aì \,du(m(A)) = 0,=A − λ0E = q(A) · (A − λ0E) 2 . l ù(A − λ0E) ≤ù(A − λ0E) 2 . ok ù(A − λ0E) ≥ù(A − λ0E) 2 ,ù(A − λ0E) =ù(A − λ0E) 2 . ø©5: em(λ)käλ0,K(λ−λ0) 2 |m(λ), =m(λ) = (λ−λ0) 2 q(λ).œè(λ−λ0)q(λ)gÍum(λ) gÍ,§±(A − λ0E)q(A) 6= 0, œd7kö"ï˛ξ, ¶(A − λ0E)q(A)ξ 6= 0,¥(A − λ0E) 2 q(A)ξ = m(A)ξ = 0, =êß(A − λ0E) 2X = 0ñkòáö")q(A)ξÿ¥(A − λ0E)X = 0). ˆ)7¥ cˆ), l kù(A − λ0E) >ù(A − λ0E) 2 , dÜKgÒ, œdm(λ)Ãä,AÉquÈ . ~17 en ê A˜vA2 = E(Eèn ¸† ). y²: A 7Équ/X 1 . . . 1 −1 . . . −1 ê ,ø©Oç—1Ü−1áÍ. y² λ¥AAä,X¥A·uAäλAï˛,u¥kAX = λX,l X = EX = A2X = λ 2X, §±λ 2 = 1, λ = ±1.qœAz"ıë™Ãä,AÉqudiag(1, · · · , 1, −1, · · · , −1). -V1, V−1© OL´A·uAä1⁄−1Afòm.œëV1 = n−ù(E−A),ëV−1 = n−ù(−E−A),ëv1+ëV−1 = 2n−(ù(E −A)+ù(−E −A)).qœù(E −A)+ù(−E −A) ≥ù[(E −A)+ (−E −A)] =ù(−2A) = n, (E − A)(−E − A) = −E + A2 = 0, ù(E − A)+ù(−E − A) ≤ n, §±(E − A)+ù(−E − A) = n. ù(E − A) = r,“kn − ráA·uAä1Ç5Ã'Aï˛,u¥ù(−E − A) = n − r,˘“ kráA·uAä−1Ç5Ã'Aï˛,AÉqu 1 . . . 1 −1 . . . −1 , Ÿ•1áÍ èn − r, −1áÍèr. 1 5 ê
例18，设A,B都是n阶矩阵.试证：AB的秩=B的秩之充要条件是方程组ABX=0的解必为方程组BX= 0的解，但X 证明必要性：显然ABX=0的解空间VAB含有BX=0的解空间Ve.设AB与B的秩分别为rAB与rB则 有dim Ve=n-rB,dim VAn=n-rAB,但是rAB=rg,所以dim Va=dim VAB,于是Vg=VAB,故ABX= 的解必为BX=0的解 充分性：设ABX O的解必为BX=O的解.显然，BX=0的解也是ABX=0的解.因此，ABX 0与BX=0有相同的解集合，从而有相同的基础解系设基础解系含有r个解向量，则有AB的秩=n-，B的 秩=n-r,故AB的秩=B的秩 例19()设A是m×矩阵，B是m×矩阵，C=(A,B).证明：r(C)≤r(A)+r(B) (2)设A,B是m×n矩阵.证明：lr(A-r(B引≤r(A+B). 证明(1)因为C=(A,B)=(A,0)+(0B),所以(C)=r(4,B)=r(A,O)+(O,B)≤r(A,O)+ r(O,B)=r(4A)+r(B). (2)由于A=(A+B)+(-B),因此r(A)=r(A+B)+(-B】≤r(A+B)+r(-B)=r(A+B)+r(B 由此可得r(4-r(B)≤r(A+B) 同理可证，(B)-r(A)≤r(A+B),故r(A)-r(B≤r(A+B 例20若BkxnAnxk=4k阶单位方阵)，k<n,称矩阵B是A的左逆.证明： ()A的列向量线性无关的充要条件是A的左逆存在：（②）A的行向量线性无关的充要条件是A的左 逆唯 证明(1)必要性：设A的列向量线性无关，则4的行向量组线性无关，这时有(4=r(，C),因此对 方程组AX=C来说，不论C为任何k×1矩阵，此方程一定有解.特别地，取k×1矩阵为1阳 1,2…,k 并任取方程组AX=I)的 2 个解B =1,2,·,k,作为矩阵Bxk=(B1,B1,·,B) 就有A'B=A(B1,B1, Bk)=(A'B,ABL,. ABk)=Ik,即BA=(A'By=k,故E 为A的 左 充分性：设A的左逆B存在，即BA=k,则r(BA)=r)=k,因而k=r(BA)≤r(A)≤A的列数k,由 此知r(A)=k,故A得列向量组线性无关 (2)必要性：设A的行向量组线性无关，则4的列向量组线性无关，于是方程组4x=0只有零解，由此 知方程组4'X=1)也只有唯一解B,这里 第6页
~18 ,A, B—¥n › .£y:ABù= BùÉøá^á¥êß|ABX = 0)7èêß|BX = 0),X = x1 x2 . . . xn . y² 7á5: w,ABX = 0)òmVAB¹kBX = 0)òmVB.ABÜBù©OèrABÜrBK kdim VB = n − rB, dim VAB = n − rAB,¥rAB = rB,§±dim VB = dim VAB,u¥VB = VAB,ABX = 0)7èBX = 0). ø©5: ABX = 0)7èBX = 0).w,,BX = 0)è¥ABX = 0). œd,ABX = 0ÜBX = 0kÉ”)8‹,l kÉ”ƒ:)X.ƒ:)X¹krá)ï˛,KkABù= n − r, B ù= n − r,ABù= Bù. ~19 (1) A¥m × s› ,B¥m × t› ,C = (A, B). y²: r(C) ≤ r(A) + r(B). (2) A, B¥m × n› . y²: |r(A) − r(B)| ≤ r(A + B). y² (1)œèC = (A, B) = (A, 0) + (0, B),§±r(C) = r(A, B) = r((A, O) + (O, B)) ≤ r(A, O) + r(O, B) = r(A) + r(B). (2)duA = (A + B) + (−B),œdr(A) = r[(A + B) + (−B)] ≤ r(A + B) + r(−B) = r(A + B) + r(B), ddår(A) − r(B) ≤ r(A + B). ”nåy,r(B) − r(A) ≤ r(A + B),|r(A) − r(B)| ≤ r(A + B). ~20 eBk×nAn×k = Ik(k ¸†ê ),k ≤ n,°› B¥AÜ_. y²: (1) Aï˛Ç5Ã'øá^á¥AÜ_3; (2) A1ï˛Ç5Ã'øá^á¥AÜ _çò. y² (1)7á5: A ï˛Ç5Ã',KA01ï˛|Ç5Ã', ˘ûkr(A0 ) = r(A0 , C),œdÈu êß|A0X = C5`,ÿÿCè?¤k × 1› ,dêßò½k).AO/,k × 1› èI(i) = 0 . . . 0 1 0 . . . 0 (i);i = 1, 2, · · · , k, ø?êß|A0X = I( i)òá)Bj = b1j b2j . . . bnj , j = 1, 2, · · · , k,äè› B0 n×k = (B1, B1, · · · , Bk), “kA0B0 = A0 (B1, B1, · · · , Bk) = (A0B1, A0B1, · · · , A0Bk) = Ik, =BA = (A0B0 ) 0 = Ik,B = b 0 1 b 0 2 . . . b 0 k èA Ü_. ø©5: AÜ_B3,=BA = Ik,Kr(BA) = r(Ik) = k, œ k = r(BA) ≤ r(A) ≤ AÍk, d dr(A) = k, Aï˛|Ç5Ã'. (2)7á5: A1ï˛|Ç5Ã',KA0ï˛|Ç5Ã',u¥êß|A0X = 0êk"),dd êß|A0X = I( i)èêkçò)Bj ,˘p 1 6 ê
0 ，B ,j=1,2,,k 0 ,B)唯一确定，且有BA=,即A得左逆矩阵 由)的证明知方程组X=,i=1,2 ,k,有唯一解因此它的导出 组4X=0只有零解，即有r(4)=A的列数，从而A'的列向量组线性无关，故A的行向量组线性无关。 例21设A为m×n矩阵，证明：r(4=r当且仅当A=an+a2+…+ar,其中a,…,a,为线 性无关的m维列向量，，…，，为线性无关的n维列向量。 证明要任-则存在m可选矩P电可矩0使-P(8）QP- (a1,…,am)Q 则A=(a1,…,am)l(diag(1,0,…,0)++iag(0,…,0,1,0…,0 a1+a2+…+a,.因为,Q可逆，所以a1…,a,为线性无关的m维列向量，月，…，，为线性无关 的n维列向量。 充分性由A=1+a2+…+ar得A=(a1, r) 因为a1,·,a,线性无关，所以存 在初等矩阵B,·,P使得P.…B(@1…,a)= C1 ,1C≠0.于是 所以A1=CB,CA1=B.于是r(A1)≥r 因此r(4)≥r(A)≥r.故r(A)=r 例22设a1,a2…,a,3是线性空间V的向量，且3可以由a1,02,…,an线性表示.证明：表示法唯 一的充分必要条件是1，a2,·,an线性无关. 证明必要性令k1a+k2a+…+kman三0 因为3可以由a1,a2,·,an线性表示，所以存在一组数，2，…，ln使得 11a1+12a2+·+1nan=8(i 由0)，(m)得1+k1)a1+(2+1)a2+…+(亿.+)=B(m 因为表示法唯一，所以由()和（曲）得山+k=1…,n+k=1n,于是1=…=kn=0,因 此a先分性若存在两组数…，n及…，使得 B=lha1+l2a2+…+lnan,且8=k1a1+k2a2+…+knam 则亿1-1)a1+(亿2-1)a2+…+(亿n-)m=0.因为a1,2,…,an线性无关，所以l1-1= 0,…,ln-k=0.于是1=，…，n=kn.因此3可以由a1,a2,…,an唯一的线性表示 例23设a1,a2,…,am,3为线性空间V的m+1个向量，且3=am+a2+…+am证明：向量 组B-a1,B-a2,…,B-am线性无关的充分必要条件是a1,2,…,am线性无关 第7页
I(i) = 0 . . . 0 1 0 . . . 0 (i), Bj = b1j b2j . . . bnj , i, j = 1, 2, · · · , k, §±› B0 = (B1, B1, · · · , Bk)çò(½,ÖkBA = Ik,=AÜ_› . ø©5: AÜ_Bçò,d(1)y²êß|A0X = I( i), i = 1, 2, · · · , k, kçò). œdß— |A0X = 0êk"),=kr(A0 ) = A0Í, l A0ï˛|Ç5Ã',A1ï˛|Ç5Ã'. ~21 Aèm × n› , y²: r(A) = rÖ=A = α1β 0 1 + α2β 0 2 + · · · + αrβ 0 r , Ÿ•α1, · · · , αrèÇ 5Ã'mëï˛, β1, · · · , βrèÇ5Ã'nëï˛. y² 7á5: er(A) = r, K3må_› P⁄n å_› Q¶A = P Er O O O ! Q. -P = (α1, · · · , αm), Q = β 0 1 . . . β 0 n , KA = (α1, · · · , αm)[(diag(1, 0, · · · , 0)+· · ·+diag(0, · · · , 0, 1, 0 · · · , 0)] β 0 1 . . . β 0 n = α1β 0 1 + α2β 0 2 + · · · + αrβ 0 r . œèP, Qå_, §±α1, · · · , αrèÇ5Ã'mëï˛, β1, · · · , βrèÇ5Ã' nëï˛. ø©5dA = α1β 0 1 + α2β 0 2 + · · · + αrβ 0 rA = (α1, · · · , αr) β 0 1 . . . β 0 r . œèα1, · · · , αrÇ5Ã', §± 3– › P1, · · · , Ps¶Ps · · · P1(α1, · · · , αr) = C1 C2 ! , |C1| 6= 0. u¥ Ps · · · P1A = A1 A2 ! = C1 C2 ! B,Ÿ•B = β 0 1 . . . β 0 r , §±A1 = C1B, C−1 1 A1 = B. u¥r(A1) ≥ r, œdr(A) ≥ r(A1) ≥ r. r(A) = r. ~22 α1, α2, · · · , αn, β¥Ç5òmV ï˛, Öβå±dα1, α2, · · · , αnÇ5L´. y²: L´{ç òø©7á^á¥α1, α2, · · · , αnÇ5Ã'. y² 7á5 -k1α1 + k2α2 + · · · + knαn = 0. (i) œèβå±dα1, α2, · · · , αnÇ5L´, §±3ò|Íl1, l2, · · · , ln¶ l1α1 + l2α2 + · · · + lnαn = β (ii) d(i), (ii)(l1 + k1)α1 + (l2 + k1)α2 + · · · + (ln + k1)αn = β (ii) œèL´{çò,§±d(ii)⁄(iii):l1 + k1 = l1, · · · , ln + kn = ln, u¥k1 = · · · = kn = 0, œ dα1, α2, · · · , αnÇ5Ã'. ø©5 e3¸|Íl1, · · · , ln 9k1, · · · , kn¶ β = l1α1 + l2α2 + · · · + lnαn, Öβ = k1α1 + k2α2 + · · · + knαn K(l1 − k1)α1 + (l2 − k1)α2 + · · · + (ln − k1)αn = 0. œèα1, α2, · · · , αnÇ5Ã', §±l1 − k1 = 0, · · · , ln − kn = 0. u¥l1 = k1, · · · , ln = kn. œdβå±dα1, α2, · · · , αn çòÇ5L´. ~23 α1, α2, · · · , αm, βèÇ5òmV m + 1áï˛, Öβ = α1 + α2 + · · · + αm. y²: ï˛ |β − α1, β − α2, · · · , β − αmÇ5Ã'ø©7á^á¥α1, α2, · · · , αmÇ5Ã'. 1 7 ê
证明因为B=a1+a2+…+am,所以(3-a1,B-a2,…,B-am)=(a1,a2…,anm)4其中A 01..1 10.1 于是A=(-1)m-1(m-1)m>1时，A可逆 11..0 充分性令k(B-a1)+k2(8-a2)+…+km(B-am)=0,则(a1,2,,am)4Ak1,2,…,kn/=0.于 是由a1,2,·,am线性无关得A(k1,2,…,kmy=0.由A可逆得(k1,2,…,kmy=0,即k1=2=.= 0，因此3-Q1,-2，…，月-am线性无关. 必要性由A可逆得(a1,2, ,am)=(8-a1,3- a2, ,B-am)A1,类似于充分性中的推理得 当B-a1,3-a2,…,B-am线性无关时a1,a2,…,m线性无关 例24设A为m×n型矩阵，A-0为A=b≠0)的导出方程组，Pm为数域P上n为列向量空间 令S={传∈PIAE=0,SE∈PmlA5=}. ()证明：S为P"的子空间，S不是P"的子空间：()若5不是空集，作为向量组S与5的秩有何关系，证 明你的结论。 证明(1)（略） (2)结论是：r⑤)=r(S)+1.理由如下： 设r(⑤)=r,61,52,,6,是AX=bb≠0)的r个线性无关的解.则-6，…，6，-G是导出组AX= 0的r一1个线性无关的解否则存在r-1个不全为零的数2，…，入，使得 (2-)+· +, -6)=0,即26 +Ar6-(2 )91=0, 因 加++=0，于是=…==0矛 因此r(S)-1≤r(S)》. 另一方面，设r(S)=s,51,52,…,,是AX=0的s个线性无关的解，5o是AX=b(b≠0)的一个特解。 则51+0，…，6+0，·，6。+o,o是AX=bb≠0)的s+1个线性无关的解.否则存在s+1个不全为零的 数1，…，k,k+1使得k1(1+5o)+…k(+a)+k+150=0,因此11++k+(1+…+k+k+1)0=0. 于是Ak11++k,+(+ k+k+1o= ++k+1)=0,因此1 +k+k+1于 0.这样得到k16+…+k.6=0.由6，，…，线性无关得=…=k,=0,从而k+1=0.矛盾 故r(S)+1≤r(⑤). 综上得r(③=r(S)+1. 第8页
y² œèβ = α1 + α2 + · · · + αm, §±(β − α1, β − α2, · · · , β − αm) = (α1, α2, · · · , αm)A, Ÿ•A = 0 1 · · · 1 1 0 · · · 1 . . . . . . . . . 1 1 · · · 0 . u¥|A| = (−1)m−1 (m − 1), m > 1û, Aå_. ø©5 -k1(β −α1)+k2(β −α2)+· · ·+km(β −αm) = 0, K(α1, α2, · · · , αm)A(k1, k2, · · · , km) 0 = 0. u ¥dα1, α2, · · · , αmÇ5Ã'A(k1, k2, · · · , km) 0 = 0. dAå_(k1, k2, · · · , km) 0 = 0, =k1 = k2 = · · · = km = 0, œdβ − α1, β − α2, · · · , β − αmÇ5Ã'. 7á5 dAå_(α1, α2, · · · , αm) = (β − α1, β − α2, · · · , β − αm)A−1 , aquø©5•Ìn β − α1, β − α2, · · · , β − αmÇ5Ã'ûα1, α2, · · · , αmÇ5Ã'. ~24 Aèm × n.› , Ax = 0èAx = b(b 6= 0)—êß|, P nèÍçP˛nèï˛òm. -S = {ξ ∈ P n|Aξ = 0}, S{ξ ∈ P n|Aξ = b}. (i) y²: SèP nfòm, Sÿ¥P nfòm; (ii) eSÿ¥ò8, äèï˛|SÜSùk¤'X,y ²\(ÿ. y²:(1) (—) (2) (ÿ¥: r(S) = r(S) + 1. ndXe: r(S) = r, ξ1, ξ2, · · · , ξr¥AX = b(b 6= 0)ráÇ5Ã'). Kξ2 − ξ1, · · · , ξr − ξi¥—|AX = 0r − 1áÇ5Ã').ƒK3r − 1áÿ è"Íλ2, · · · , λr¶ λ2(ξ2 − ξ1) + · · · + λr(ξr − ξ1) = 0,=λ2ξ2 + · · · + λrξr − (λ2 + · · · + λr)ξ1 = 0, œdλ2 = · · · = λr = λ2 + · · · + λr = 0, u¥λ2 = · · · = λr = 0, gÒ. œdr(S) − 1 ≤ r(S)). ,òê°, r(S) = s,ξ1, ξ2, · · · , ξs¥AX = 0sáÇ5Ã'), ξ0¥AX = b(b 6= 0)òáA). Kξ1 + ξ0, · · · , ξi + ξ0, · · · , ξs + ξ0, ξ0¥AX = b(b 6= 0)s + 1 áÇ5Ã').ƒK3s + 1áÿ è" Ík1, · · · , ks, ks+1¶k1(ξ1+ξ0)+· · · ks(ξs+ξ0)+ks+1ξ0 = 0,œdk1ξ1+· · ·+ksξs+(k1+· · ·+ks+ks+1)ξ0 = 0. u¥A(k1ξ1+· · ·+ksξs+(k1+· · ·+ks+ks+1)ξ0) = (k1+· · ·+ks+ks+1)b = 0, œdk1+· · ·++ks+ks+1 = 0. ˘k1ξ1 + · · · + ksξs = 0. dξ1, ξ2, · · · , ξkÇ5Ã'k1 = · · · = ks = 0, l ks+1 = 0.gÒ. r(S) + 1 ≤ r(S). n˛r(S) = r(S) + 1. 1 8 ê
