习题解答 第十二章多项式矩阵与若尔当典范形 习题12-1 列多项式阵中哪些是可逆伽式基、 四(A+3λ+1月 ②（入+2+1月 /1- -2 /-12 (3)-A+2-入+1-2④入-A入 -1+XA 2+1 2+122-1/ +1-+1 解()可逆，逆矩阵为子（入3入+1 可逆逆矩阵为-（入1-以十 -A-22-2 /12-1+1 2 (③)可逆，逆矩阵为-2+入-2-入+1-2 ()不可逆 2.求下列多项式矩阵的正规形 (2)A-1 X-1 12 A-2-2A+1 312 )3A-12+2A32-】 (4④ -X2-A2+X3-2x2-3 A+1 2 2+1 2+A2+入 2A2+2A /A+20 01 0 A(A-1 (⑤)-1A+20 (6) 0 X2-10 0 -1A+2/ A(A-1)20 0 解：(1)diag(1,入-1). (2)diag(-1,(a-1)a-2) (3)diag(1.λ.0). (④diag(1,A(a+1),A(A+1)2(A-号) (5)diag(1.1.(入+23). (6)diag(A-1,A(A-1)(+1),A(A-1)2(A+1) 3.判断下列多市式阳阵是否等价 -3 12 -4+3 /X2-3+32-3 (A=2A-22-5-4+3 B=2-2A+1 -3 4入-7 2A-5 入-2入-2（入-2）2/ 2-3X+22λ-4X-2 /A2-A-2X2-1λ+1 /122+A-1A-1 (②A=0入+11 B=A-2 2+ 0+122+X+1/ 1 X+1 解()等价：（②）不等价. 1
%/0' 12345 6789:; L M 12–1 1. iu !"w, st#3M? 3M>hM. (1) µ λ + 1 λ − 1 λ + 3 λ + 1 ¶ ; (2) µ λ 2 − 2 λ 2 − λ λ + 2 λ + 1 ¶ ; (3) 1 − λ −λ −λ 2 −λ + 2 −λ + 1 −λ 2 −1 + λ λ λ2 + 1 ; (4) λ − 1 λ 2 λ λ −λ λ λ 2 + 1 λ 2 λ 2 − 1 . P: (1) 3M, M!"l 1 4 µ λ + 1 −λ + 1 −λ − 3 λ + 1 ¶ . (2) 3M, M!"l − 1 2 µ λ + 1 −λ 2 + λ −λ − 2 λ 2 − 2 ¶ . (3) 3M, M!"l λ 2 − λ + 1 λ λ2 −λ 2 + λ − 2 −λ + 1 −λ 2 1 0 1 . (4) 3M. 2. iu !"X[ : (1) µ λ + 1 λ λ − 1 λ − 1 ¶ ; (2) µ λ − 1 λ − 1 λ − 1 λ 2 − 2λ + 1 ¶ ; (3) λ − 1 λ λ2 − 1 3λ − 1 λ 2 + 2λ 3λ 2 − 1 λ + 1 λ 2 λ 2 + 1 ; (4) λ 2 λ 2 − 1 3λ 2 −λ 2 − λ λ2 + λ λ3 − 2λ 2 − 3λ λ 2 + λ λ2 + λ 2λ 2 + 2λ ; (5) λ + 2 0 0 −1 λ + 2 0 0 −1 λ + 2 ; (6) 0 0 λ(λ − 1) 0 λ 2 − 1 0 λ(λ − 1)2 0 0 . P: (1) diag(1, λ − 1). (2) diag(λ − 1,(λ − 1)(λ − 2)). (3) diag(1, λ, 0). (4) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 ³ λ − 1 2 ´ ). (5) diag(1, 1,(λ + 2)3 ). (6) diag(λ − 1, λ(λ − 1)(λ + 1), λ(λ − 1)2 (λ + 1)). 3. tiu !"# T: (1) A = λ λ − 3 λ 2 − 4λ + 3 2λ − 2 2λ − 5 λ 2 − 4λ + 3 λ − 2 λ − 2 (λ − 2)2 ; B = λ 2 − 3λ + 3 2λ − 3 λ − 3 λ 2 − 2λ + 1 4λ − 7 2λ − 5 λ 2 − 3λ + 2 2λ − 4 λ − 2 . (2) A = λ 2 − λ − 2 λ 2 − 1 λ + 1 0 λ + 1 1 (λ + 1)2 λ 2 + λ λ + 1 ; B = 1 2λ 2 + λ − 1 λ − 1 λ λ − 2 λ 2 + λ 1 λ λ + 1 . P: (1) T; (2) T. · 1 ·
4.设A(A)为一个多项式矩阵，证明：A(A)可逆的充分必要条件是对所有的复数C,A(c)都可逆 证明：（→）设A()可逆，则 1A(川=a≠0∈C 故对任意的c∈C,A(c=a,所以A(d可逆 (=)考察f)=AA)儿，则对任意的c∈C,f(C≠0，故f)在C中无根.所以f)=a≠0∈C, IA(A川=a≠0∈C.因此A(A)可逆 5.下列结论是否成立：（如成立，则加以证明，如不成立，则举出反例） 两个多项式矩阵等价的充分必要条件是，对所有的k∈K,A()与B()都等价 解：不成立.如 A()-1） B)=1 （2 则A()与B(A)不等价，但对任意的k∈K,A()与B()等价 习题12-2 1.求下列多项式矩阵的秩 :+2）回(' 2-1 2+入2+3入+2A-2 1入-112-1 解()3(2)2. 2.设A(A)为一个多项式矩阵，证明：ankA()=max{rank A()k∈K 解：设rank A(A)=n,则A(A)有一个r阶子式M+1(A)=0.故对所有的k∈K,M,+1()=0,这 锐明rankA(k)≤r.又因M,(A)≠0，存在c∈K使M,(c)≠0，这说明r=ma{rank A(k)k∈K. 3.试求下列矩阵的不变因子： 0 /-+20-12 -入+1 ()0A-1-1 λ2-入 0 、00A-1/ 2-2-(0-1)22-1 X+a B 1 入-11 0 0 -3入+a 0 0入-11 0 0 0 +a 0 0λ=11 0 0 0 0 11 /A-a BB. 入 0 0 0 0λ-0 1 0 0 (5) 0 0 入-a3 (6) 0 0 0 0 0 00 解()1,1,0-1)3 (2)1,A-1,A(A-1). (3)如3≠0.1,1,1，+a2+2如8=0,1,1，(0+a)2,(0+a)2 (41.1.1.(-1). (⑤)如3≠0,1,1，…，1，(A-an:如8-0，入-，入-a,…,A-a (6)1,1,…,1,Xn+1n-1+…+am 4.设Dk(A)(k=1,2,…,）为A()的行列式因子，证明 D2Dk-1()D+1(,k=2,3,…,r-1
4. A(λ) ljk !", 01: A(λ) 3MCDEFG#@&+( c, A(c) x3M. NO: (⇒) A(λ) 3M, = |A(λ)| = a 6= 0 ∈ C. @cd c ∈ C, |A(c)| = a, H A(c) 3M. (⇐) f(λ) = |A(λ)|, =@cd c ∈ C, f(c) 6= 0, f(λ) % C w78. H f(λ) = a 6= 0 ∈ C, |A(λ)| = a 6= 0 ∈ C. a A(λ) 3M. 5. iu# [: (9[, =H01, 9 [, =.) Ik !"TCDEFG#, @& k ∈ K, A(k) B(k) xT. P: [. 9 A(λ) = µ 1 λ ¶ , B(λ) = µ 1 λ 2 ¶ , = A(λ) B(λ) T, h@cd k ∈ K, A(k) B(k) T. L M 12–2 1. iu !" : (1) λ 2 − 1 λ + 1 2λ − 1 λ + 1 λ 2 + 2λ + 1 −1 λ 2 + λ λ2 + 3λ + 2 λ − 2 ; (2) λ + 1 −1 λ 2 2λ λ2 − 1 λ 2 − λ λ − 1 λ 2 −λ . P: (1) 3; (2) 2. 2. A(λ) ljk !", 01: rank A(λ) = max{rank A(k)|k ∈ K}. P: rank A(λ) = r, = A(λ) &jk r Mr+1(λ) = 0. @& k ∈ K, Mr+1(k) = 0, _ 1 rank A(k) 6 r. y Mr(λ) 6= 0, m% c ∈ K iu!" : (1) λ − 1 −1 0 0 λ − 1 −1 0 0 λ − 1 ; (2) −λ + 2 (λ − 1)2 −λ + 1 1 λ 2 − λ 0 λ 2 − 2 −(λ − 1)2 λ 2 − 1 ; (3) λ + α β 1 0 −β λ + α 0 1 0 0 λ + α β 0 0 −β λ + α ; (4) λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 ; (5) λ − α β β β · · · β 0 λ − α β β · · · β 0 0 λ − α β · · · β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 · · · λ − α ; (6) λ 0 0 · · · 0 an −1 λ 0 · · · 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 an−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · −1 λ + a1 . P: (1) 1, 1,(λ − 1)3 . (2) 1, λ − 1, λ(λ − 1). (3) 9 β 6= 0, 1, 1, 1, [(λ + α) 2 + β 2 ] 2 ; 9 β = 0, 1, 1,(λ + α) 2 ,(λ + α) 2 . (4) 1, 1, 1,(λ − 1)4 . (5) 9 β 6= 0, 1, 1, · · · , 1,(λ − α) n; 9 β = 0, λ − α, λ − α, · · · , λ − α. (6) 1, 1, · · · , 1, λn + a1λ n−1 + · · · + an. 4. Dk(λ) (k = 1, 2, · · · , r) l A(λ) 3u , 01: D 2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk+1(λ), k = 2, 3, · · · , r − 1. · 2 ·
证明设A()的不变因子为 d(,d2(,,dn( Dk-1(A)=d(A)d2()…dk-1(A), Du(A)=di(A)da(X)...de(X)=Dg-1(A)d(), Dk+1()=d1(A)d2(A)…d+1(A, 所以 D2()=D2-1(A)(A)1Dk-1()Dk(A)d4(A)dk+1(A), Di(A)I D-1()D+(). 5.设A(A)为n阶方阵，证明A()与AT(A)等价 证明：存在可逆矩阵P(),Q(,使 /d() d() P(A)A(X)Q()= d() 故 d(A) d2(X) P()A()Q()- -Q(A)A(A)P(A)T. d.(A)/ 于是A(A)与AT(A)等价. 6.设fi(…,fn()∈K,且((,…,fn()=1. 证明：存在多项式f(x)∈K[(位=2,3，…，n,j=1,2,…,n),使 fi()f(z)…fn() n( =1. fn(）fn2(）…jnn(e) 证明：考察多项式矩阵 A(x)=(fi(x),fz(x).....fn(z)). 由已知，A(x)的不变因子为1，故存在可逆矩阵P(x,使 A(x)P(x)=(1,0,…,0) () 设P(x川-c≠0，则存在可逆矩阵Q(x,使 Q(z)P()= (*) 记 Q()-(j() 3
NO: A(λ) l d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ), = Dk−1(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dk−1(λ), Dk(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dk(λ) = Dk−1(λ)dk(λ), Dk+1(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dk+1(λ), H D2 k (λ) = D2 k−1 (λ)d 2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk(λ)dk(λ)dk+1(λ), D2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk+1(λ). 5. A(λ) l n ?", 01: A(λ) AT(λ) T. NO: m%3M!" P(λ), Q(λ), < P(λ)A(λ)Q(λ) = d1(λ) d2(λ) . . . dn(λ) , P(λ)A(λ)Q(λ) = d1(λ) d2(λ) . . . dn(λ) T = Q(λ) TA(λ) TP(λ) T, L# A(λ) AT(λ) T. 6. f1(x), · · · , fn(x) ∈ K[x], b (f1(x), · · · , fn(x)) = 1. 01: m% fij (x) ∈ K[x] (i = 2, 3, · · · , n, j = 1, 2, · · · , n), < ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f1(x) f2(x) · · · fn(x) f21(x) f22(x) · · · f2n(x) . . . . . . . . . . . . fn1(x) fn2(x) · · · fnn(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1. NO: !" A(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)), , A(x) l 1, m%3M!" P(x), < A(x)P(x) = (1, 0, · · · , 0). (*) |P(x)| = c 6= 0, =m%3M!" Q(x), < Q(x)P(x) = 1 1 . . . 1 c . (**) Q(x) = (fij (x)), · 3 ·
作 /fi(）f2(…fn(a) far(r)fz2(x)...f2n(r) B()= fm(r)fn2(e）…fnm(c)/ 则由()与()知 /1 B(z)P(x)= 于是B(xP(x=c,又因IP(川=c得1B(x-1,从而(e)即为所求 习题12-3 1.判断下列矩阵是否相似： /32 /620-34 (1)A=26-10 B=632-51 19 420-39 66-15 37 -20 2)A=15-5 B= _7011 B -1-48 解()是(2)是：(3)香 2.证明：任何方阵A与它的转置矩阵AT相似以. 证明：由于E-AT=(AE-A)T等价于AE-A(可题12-2.5)，因此A与AT相似 ·3.设A与B为n阶方阵证明：(AB)=BA 证明：考察等式 I(AE+A)(E+B)(AE+A)(AE+B =(E+A)(AE+B)E=+AE.+BE =(E+A)(E+B)(E+B)(E+A) 所以 (AE+A)(AE+B)([(E+A)(AE+B)-(AE+B)(E+A))=0. 比较上式两边的次数，知 I(AE+A)(AE+B”-(AE+B)'(AE+A)°=0， [(AE+A)(AE+B)=(AE+B)(E+A). 令入=0就有 (AB)=B*A". *4.证明：如果矩阵A与B相似，则它们的伴随矩阵A”与B”也相似
1 B(x) = f1(x) f2(x) · · · fn(x) f21(x) f22(x) · · · f2n(x) . . . . . . . . . . . . fn1(x) fn2(x) · · · fnn(x) , = (*) (**) B(x)P(x) = 1 1 . . . 1 c , L# |B(x)||P(x)| = c, y |P(x)| = c, N |B(x)| = 1, jk fij (x) l. L M 12–3 1. tiu!"# : (1) A = 3 2 −5 2 6 −10 1 2 −3 ; B = 6 20 −34 6 32 −51 4 20 −32 . (2) A = 6 6 −15 1 5 −5 1 2 −2 ; B = 37 −20 −4 34 −17 −4 119 −70 −11 . (3) A = 2 −2 1 1 −1 1 1 −2 2 ; B = 1 −3 3 −2 −6 13 −1 −4 8 . P: (1) #; (2) #; (3) . 2. 01: cB?" A m|!" AT . NO: L λE − AT = (λE − A) T TL λE − A ( i 12–2.5), a A AT . ∗3. A B l n ?", 01: (AB) ∗ = B∗A∗ NO: [(λE + A)(λE + B)][(λE + A)(λE + B)]∗ = |(λE + A)(λE + B)|E = |λE + A|E · |λE + B|E = (λE + A)(λE + B)(λE + B) ∗ (λE + A) ∗ . H (λE + A)(λE + B) {[(λE + A)(λE + B)]∗ − (λE + B) ∗ (λE + A) ∗ } = 0. cd2 IyV(, [(λE + A)(λE + B)]∗ − (λE + B) ∗ (λE + A) ∗ = 0, [(λE + A)(λE + B)]∗ = (λE + B) ∗ (λE + A) ∗ . g λ = 0 r& (AB) ∗ = B ∗A ∗ . ∗4. 01: 9:!" A B , =mr!" A∗ B∗ . · 4 ·
证明：试A与B相似，则存在可题矩阵P,使P-1AP=B.习是利则习题4的结等， B*=(P-1AP)=PA(P-1)=PA(P)-1. 故A*与B*相似 *5.证明：矩阵的相似与数城的扩张无关 证明：设A,B是数域K1中的矩阵，则E-A与AE-B的不变说由都是系数在K:中的多项式 设数域K1CK2,那么这些多项式也可以看成系数在K2中的多项式从而不变说由组与数域的扩张无 关（最多差一个常数说由）.而矩阵A,B相似当且仅当AE-A与AE-B有相同的不变说由组。说此矩 阵的相似与数域的扩张无关 *6.设A为n阶方阵，为A的一个特征值证明：特征值o的代数为数≥n-rak(oE-A). 证明设0为A的r为特征值，设d山()，·，d()为A的不变说由.则入一o|dn(A),但 入-A0dn-r(A),(否则，如入-0dn-r(,则入-0|dn-r+1(,…,A-0|d(),习是入-的为 数≥r+1)说此存在可题矩阵P(),Q(A)使 /d( dn-(λ) P(A)(XE-A)Q(A)= dn-r+1(A) dn(X)/ (di(Xo) P(Ao)(AoE-A)Q(Ao)= dn-r(o） dn-r+1(Ao） 由习d1(o)≠0，…，dn-()≠0，所以 rank(oE-A)≥rank P(Ao)(oE-A)Q(o)≥n-r 说此 r≥n-ramk(oE-4). 习题12-4 上所多限式矩朝菜2-3 /X2+2x-3 /A2-22+12A2-2 (1)2A2+3A-5A2-1X2+3A-4: (2)λ2+1A2+12A2-2 12+λ-20 λ-1 2+2X2+132-5 解(1)入A-1,A-1,入-1，入+3. (2)入+1，A-3. 2.已知多项式矩阵A(A)的初等说由，秩r与阶数n,所A()的正规形 (1)入+1，入+1，(0+1)2，入-1，(-1)2：r=4,n=5 (2-2，(-2)2，(-2)3,+2，(+2)2:r=4,n=4 5
NO: > A B , =m%3M!" P, n − rank(λ0E − A). NO: λ0 l A r l, d1(λ), · · · , dn(λ) l A . = λ − λ0 | dn(λ), h λ − λ0 - dn−r(λ), ( =, 9 λ − λ0 | dn−r(λ), = λ − λ0 | dn−r+1(λ), · · · , λ − λ0 | dn(λ), L# λ − λ0 l ( > r + 1) am%3M!" P(λ), Q(λ) rank P(λ0)(λ0E − A)Q(λ0) > n − r. a r > n − rank(λ0E − A). L M 12–4 1. iu !": (1) λ 2 + 2λ − 3 λ − 1 λ 2 + 2λ − 3 2λ 2 + 3λ − 5 λ 2 − 1 λ 2 + 3λ − 4 λ 2 + λ − 2 0 λ − 1 ; (2) λ 2 − 2 λ 2 + 1 2λ 2 − 2 λ 2 + 1 λ 2 + 1 2λ 2 − 2 λ 2 + 2 λ 2 + 1 3λ 2 − 5 . P: (1) λ, λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 3. (2) λ + 1, λ − 3. 2. !" A(λ) , r ( n, A(λ) X[ : (1) λ + 1, λ + 1,(λ + 1)2 , λ − 1,(λ − 1)2 ; r = 4, n = 5; (2) λ − 2,(λ − 2)2 ,(λ − 2)3 , λ + 2,(λ + 2)3 ; r = 4, n = 4; · 5 ·
(3)入-1，(A-1)2,(1-1)3,A+2(0+2)2:r=3.n=5. 解：()diag(1,入+1，(0+10(a-1),(A+12(a-1)2,0) (2)diag(1,入-2，(A-2)2(A+2),(A-2)3(a+2)3). (3)diag(A-1,(A-1)2(a+2),(A-1)3(a+2)2,0,0). 0 0 (1) A2a-1) 0 0 12-1 0 0 A(A+1)2 0 /A2-4 0 0 0 (2) 0X2+2入 0 0 0 0 X3-2A2 0 0 0 0 13-4A/ 2+2A-3A2+X-2 0 0 212+21-4212+入-3 0 (3) 0 +1 13 3、 (4 入2-4 A3+2A2 0 A2+2A 入2+6入-2 0 12+X-2 入2+5入-7 解：(1)diag(1,A(A+1,(A+1)2(公-1)，A2(A+1)2(-1) (2)diag1,A2-4,AA2-4,2(A2-4) (3)diag(1,A-1,(A-1)(A+1,0). (④diag(1,1,X2-4.0). 4求下列矩阵的不变因子，行列式因子与初等因子 (1)64-9 (2) 6-3-g 111 1 -30 111 .40 (3) (4 -2 111 02 3 解：(1)不变因子：1,1,2(a-1),行列式因子1,1,2(A-1),初等因子：2，入-1. (2)不变因子：1，入A+1),行列式因子1，入，2(+1，初等因子：入入，入+1 (3)不变因子1，入，…，入，(A-n),行列式因子：1，入2…，Am-2,n-1(-n,初等因子入…，入 12个 1 入-n. (4不变因子1,1,1，(+1)1，行列式因子：1,1,1，(A+1)1,初等因子：(+1)1 5.设0为n阶矩阵A的一个特征值，证明：矩阵A的属于特征值0的初等因子的个数等于 n-rank(入oE-A). 证明设d,(A),…,山()为A的不变因子.如A的属于特征值0的初等因子的个数为r,则 A-|dn(,…,A-0dn-r+1(A),A-0dn-r(,…,A-01d山() 6
(3) λ − 1,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , λ + 2,(λ + 2)2 ; r = 3, n = 5. P: (1) diag(1, λ + 1,(λ + 1)(λ − 1),(λ + 1)2 (λ − 1)2 , 0). (2) diag(1, λ − 2,(λ − 2)2 (λ + 2),(λ − 2)3 (λ + 2)3 ). (3) diag(λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 2),(λ − 1)3 (λ + 2)2 , 0, 0). 3. iu!"X[ : (1) 0 λ(λ + 1)2 0 0 λ 2 (λ − 1) 0 0 0 0 0 0 λ 2 − 1 0 0 λ(λ + 1)2 0 ; (2) λ 2 − 4 0 0 0 0 λ 2 + 2λ 0 0 0 0 λ 3 − 2λ 2 0 0 0 0 λ 3 − 4λ ; (3) λ 2 + 2λ − 3 λ 2 + λ − 2 0 0 2λ 2 + 2λ − 4 2λ 2 + λ − 3 0 0 0 0 λ + 1 λ + 2 0 0 λ 2 − 1 λ 2 + λ − 2 ; (4) λ 2 − λ − 2 0 λ 3 + λ 2 − λ − 1 0 λ 2 − 4 0 λ 3 + 2λ 2 − λ − 2 0 0 λ 2 + 2λ 0 λ 2 + 6λ − 2 0 λ 2 + λ − 2 0 λ 2 + 5λ − 7 . P: (1) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 (λ − 1), λ2 (λ + 1)2 (λ − 1)). (2) diag(1, λ(λ 2 − 4), λ(λ 2 − 4), λ2 (λ 2 − 4)). (3) diag(1, λ − 1,(λ − 1)(λ + 1), 0). (4) diag(1, 1, λ2 − 4, 0). 4. iu!" , 3u : (1) 4 2 −5 6 4 −9 5 3 −7 ; (2) −2 1 3 6 −3 −9 4 −2 −6 ; (3) 1 1 1 · · · 1 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · 1 ; (4) 2 −3 0 0 3 −4 0 0 1 5 1 −2 0 2 2 −3 . P: (1) : 1, 1, λ2 (λ − 1), 3u : 1, 1, λ2 (λ − 1), : λ 2 , λ − 1. (2) : 1, λ, λ(λ + 1), 3u : 1, λ, λ2 (λ + 1), : λ, λ, λ + 1. (3) : 1, λ, · · · , λ | {z } n−2 , λ(λ−n), 3u : 1, λ, λ2 , · · · , λn−2 , λn−1 (λ−n), : λ, · · · , λ | {z } n−1 , λ − n. (4) : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , 3u : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , : (λ + 1)4 . 5. λ0 l n !" A jk, 01: !" A fL λ0 k(L n − rank(λ0E − A). NO: d1(λ), · · · , dn(λ) l A . 9 A fL λ0 k(l r, = λ − λ0 | dn(λ), · · · , λ − λ0 | dn−r+1(λ), λ − λ0 - dn−r(λ), · · · , λ − λ0 - d1(λ). · 6 ·
因此存在可逆矩阵P(A),Q(A)使 P(A)(AE-A)Q(A)= d(X) di(Xo) P(Ao)(AoE-A)Q(Ao)- dn-r(Xo) 0 于是 n-r=rank P(Ao)(AoE-A)Q(Ao)rank(AoE-A), r=n-rank(AoE-A). 习题12-5 /26-15 )0-10 (2) 11-5 101/ 12-6 131614 _6 2 3) 18-12 -3 18 -33 (6) 521 (8) 20 (9) -2 (10) -3 12-2 00 -2 2-438 002-1 010···00 /123 001…00 012. n-1 (11) (12) 000.01 000. 1 100..00 /-100\ -100 解()011（②）0-11 001 1 /100 0 (3) 0-1 1 (④) 0 3 00 7
a m%3M!" P ( λ ), Q ( λ ) < P ( λ)(λE − A ) Q ( λ) = d 1 ( λ ) . . . d n ( λ ) , P ( λ 0)( λ 0 E − A ) Q ( λ 0) = d 1 ( λ 0 ) . . . d n − r ( λ 0 ) 0 . . . 0 , L# n − r = rank P ( λ 0)( λ 0 E − A ) Q ( λ 0) = rank( λ 0 E − A ) , r = n − rank( λ 0 E − A ) . L M 12–5 1. i u!" : (1) 1 −1 0 0 −1 0 −1 2 1 ; (2) 2 6 −15 1 1 − 5 1 2 − 6 ; (3) 13 16 14 −6 −7 −6 −6 −8 −7 ; (4) 9 − 6 − 2 18 −12 − 3 18 − 9 − 6 ; (5) 1 −3 3 − 2 −6 13 − 1 −4 8 ; (6) 1 − 2 − 1 −2 4 2 3 −6 −3 ; (7) 1 −1 1 3 −3 3 2 −2 2 ; (8) 5 2 6 −2 0 3 2 1 − 2 ; (9) −2 1 1 − 2 5 −4 2 9 −3 1 2 − 2 2 −4 3 8 ; (10) 3 −4 0 2 4 − 5 −2 4 0 0 3 − 2 0 0 2 − 1 ; (11) 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 1 1 0 0 · · · 0 0 ; (12) 1 2 3 · · · n 0 1 2 · · · n − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 . P: (1) −1 0 0 0 1 1 0 0 1 ; (2) −1 0 0 0 −1 1 0 0 − 1 ; (3) 1 0 0 0 −1 1 0 0 − 1 ; (4) −3 0 0 0 −3 1 0 0 − 3 ; · 7 ·
/110 /200N 011 (6) 000 1001 \000/ /010 1 0 0 000 (8) 01+2w6 000/ 0 0 1-26 /1000 /110 ② 0110 010 (10) 0 0011 00-11 0001/ 000 -1 (11)diag(1,e1,e2 E-）,1,1,2, ·,cn-1是xn-1的n个根 /110...0 011 .0 (12) 00…11 \0001/ 2.设矩阵 4-(69 b c 2/ (1)矩阵A可能有怎样的若尔当典范形？ (②)试确定A可对角化的条件 解：(1)A仅右一个特征值入。=2.所以A的若尔当块的块数=A的初第因子的个数=rnk(λoE- 4)(参见习题12-4.5)而 (2当ac≠0， rank(AoE-A) {1当a,c中一个等于0，另一个不等于0，或a,c都是0，但b≠0时， (0当a=b=c=0时. 因此当ac≠0时，A的若尔当典范形是 当a,c中一个等于0，另一个不等于0，或a,c都是0， 002 /200N 但b≠0时，A的若尔当典范形是 200 021 当a=b=c=0时，A的若尔当典范形是020 002 1002 (2)A可对角化一a=b=c=0. 3.设矩阵A的特征多项式 XA()=5+4-5A3-X2+8-4 试求出A所有可能的若尔当典范形. 解XA(A)=(-1)3(+2)2,因此A的可能的初等因子为 (a)入-1，A-1,入-1，入+2，入+2 (b)(a-12,入-1，A+2,入+2 (C)(A-1)3,A+2,1+2: (d)入-1.入-1.入-1.（入+2）2 (e)(0-12,-1,(0+2)2 8
(5) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ; (6) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ; (7) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ; (8) 1 0 0 0 1 + 2√ 6 0 0 0 1 − 2 √ 6 ; (9) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 ; (10) 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 ; (11) diag(1, ε1, ε2, · · · , εn−1), 1, ε1, ε2, · · · , εn−1 # x n − 1 n k8; (12) 1 1 0 · · · 0 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 1 0 0 · · · 0 1 . 2. !" A = 2 0 0 a 2 0 b c 2 . (1) !" A 3T& ? (2) >DY A 3@ABFG. P: (1) AC&jkλ0 = 2, HAmm(= Ak(= rank(λ0E − A) ( E i 12–4.5) k rank(λ0E − A) = 2 ac 6= 0, 1 a, c wjkL 0, jk L 0, a, c x# 0, h b 6= 0 R, 0 a = b = c = 0 R. a ac 6= 0 R, A # 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ; a, c wjkL 0, jk L 0, a, c x# 0, h b 6= 0 R, A # 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ; a = b = c = 0 R, A # 2 0 0 0 2 0 0 0 2 . (2) A 3@AB ⇐⇒ a = b = c = 0. 3. !" A χA(λ) = λ 5 + λ 4 − 5λ 3 − λ 2 + 8λ − 4. > A &3T . P: χA(λ) = (λ − 1)3 (λ + 2)2 , a A 3Tl: (a) λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 2, λ + 2; (b) (λ − 1)2 , λ − 1, λ + 2, λ + 2; (c) (λ − 1)3 , λ + 2, λ + 2; (d) λ − 1, λ − 1, λ − 1,(λ + 2)2 ; (e) (λ − 1)2 , λ − 1,(λ + 2)2 ; · 8 ·
()(0-1)3,(A+2)2. 故A的可能的若尔当典范形为 /10000 /1.000 0 /1100 0 01000 0110 0 0110 0 00100 0010 00 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 /100 0 0 010 0 11 0 0 0 0010 0010 0 00 0 000-2 1 000-2 1 000-2 0000 0000-2/ 0000 *4.设矩阵A的秩为1.证明：A的若尔当典范形只可能为 0 0 如6=TrA≠0， /01 00 0 如TrA=0. 证明：由于A的秩等于1，因此JA的秩也等于1.故A的若尔当块中仅有一个的秩为1，其余的秩 都等于0.而秩为0的若尔当块就是一阶零矩阵(0，秩为1的若尔当块可能是一阶阵()或2阶若尔当 快日。所以4的若尔当典范形只可能为 /01 0 00 0 又因TrJA-TrA,即得所需结论. 5.利用上题的结论计算下列矩阵的行列式 a1工·· x0a1a2…an xa2x··x a0x1a2··a x T aa... a0a1r2...a xxx…an do a1 a2. /a1-E 解()4= …9
(f) (λ − 1)3 ,(λ + 2)2 . A 3T l: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 , 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 , 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 . ∗4. !" A l 1. 01: A 3Tl β 0 0 . . . 0 , 9 β = Tr A 6= 0, 0 1 0 0 0 . . . 0 , 9 Tr A = 0. NO: L A L 1, a JA L 1. A mwC&jk l 1, h. xL 0. k l 0 mr#jo!" (0), l 1 m3T#j" (β) 2 m µ 0 1 0 0 ¶ . H A 3Tl β 0 0 . . . 0 , 0 1 0 0 0 . . . 0 . y Tr JA = Tr A, Nq. ∗5. U=2iiu!"3u : (1) a1 x x · · · x x a2 x · · · x x x a3 · · · x . . . . . . . . . . . . . . . x x x · · · an , ai6=x, x6=0; (2) x0 a1 a2 · · · an a0 x1 a2 · · · an a0 a1 x2 · · · an . . . . . . . . . . . . . . . a0 a1 a2 · · · xn , xi6=ai . P: (1) |A|= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 − x . . . an − x + x 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ · 9 ·
1- =(a4-x)E+x II(a:-z)E+ 0 =a-到+店 (2)同样的方法可证 w--a+宫2 *6.设为n阶矩阵A的一而特征值.令 no rank E n,nk rank (oE-A) ak nk-1-nk:by akak+i;k=1,2.... 如题表所示： no ni n2 ns n4... 、八八八 a1a2a3a4… 八/八/八/ b1b2bg… 证明()矩阵A的属于特征值o的若尔当块的块数等于： (②)矩阵A的属于特征值0的k阶若尔当块的块数等于b; 得明：(1)由习下12-4.5立即可证 (②)由于m是矩阵的相似不变量，故所有的，b,也都是矩阵的相似不变量、设A的属于特征值 的k阶若尔当块的块数为mk,个其余不属于特征值0的各若尔当块的阶数之和为m,则 nomak +m. m1=∑mk(k-1)+m, mmk-2到+m =∑mk-)+m, 10
= Qn i=1 (ai − x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ E + x 1 a1 − x · · · 1 a1 − x 1 a2 − x · · · 1 a2 − x . . . . . . . . . 1 an − x · · · 1 an − x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Qn i=1 (ai − x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ E + x Pn i=1 1 ai − x 0 0 . . . 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Qn i=1 (ai − x) · 1 + Pn i=1 x ai − x ¸ . (2) ?@3N |A| = Yn i=0 (xi − ai) " 1 +Xn i=0 ai xi − ai # . ∗6. λ0 l n !" A jk. g n0 = rank E = n, nk = rank (λ0E − A) k , ak = nk−1 − nk, bk = ak − ak+1, k = 1, 2, · · · 9i : n0 n1 n2 n3 n4 · · · a1 a2 a3 a4 · · · b1 b2 b3 · · · 01: (1) !" A fL λ0 mm(L a1; (2) !" A fL λ0 k mm(L bk; NO: (1) i 12–4.5 3N. (2) L ni #!" , & ai , bi x#!" . A fL λ0 k mm(l mk, kh. fL λ0 m(? l m, = n0 = X k>1 mkk + m, n1 = X k>1 mk(k − 1) + m, n2 = X k>2 mk(k − 2) + m, · · · · · · · · · · · · · · · · · · nr = X k>r mk(k − r) + m, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 ·