北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第六章 线性空间与线性变换 6-3

*二线性子空间 1.定义V是数域P上的线性空间，W是V的非 空子集合，对于'中定义的两种运算仍然构成一个线 性空间，称W是V的线性子空间，简称子空间。 定理W是数域P上线性空间V的非空子集合，则 W是V的线性子空间 的充分必要条件是：W对V中定义的加法和数乘运算是 封闭的。 即是V的线性子空间要满足三条： (1)W是非空集； (2)若a,B∈W→a田B∈W: (3)若k∈P,a∈W,→ka∈W

* 二 线性子空间 1．定义 V 是数域 P上的线性空间，W 是V 的非 空子集合，对于V 中定义的两种运算仍然构成一个线 性空间，称W 是V 的线性子空间，简称子空间。 定理 W 是数域P上线性空间V 的非空子集合，则 W 是V 的线性子空间 的充分必要条件是：W 对V 中定义的加法和数乘运算是 封闭的。 即是V 的线性子空间要满足三条： （1）W 是非空集； （2）若 , W    W ； （3）若 k  P, W, k W

2.子空间的交与和 子空间的交：设W,W,是V的两个子空 间，则W,W,公共元素的集合 W⌒W,={aa∈W&a∈W,} 可以证明W⌒W,也是V的子空间，称为W,W, 的交。 * 子空间的和：设W,W,是V的两个子空 间，则集合 W+W,={a+02o,∈W,a2∈W2} 是V的子空间，称为W,W,的和。 上页 返回

2．子空间的交与和 * 子空间的交：设 1 2 W , W 是V 的两个子空 间，则 1 2 W , W 公共元素的集合 { & } W1W2 =   W1  W2 可以证明W1W2也是V 的子空间，称为 1 2 W , W 的交。 * 子空间的和：设 1 2 W , W 是V 的两个子空 间，则集合 { , } W1 +W2 = 1 +2 1W1 2W2 是V 的子空间，称为 1 2 W , W 的和

例 V={aa=(a,a2,a)',a∈R}是线性空间 W={BB=(0,b,b)',b,∈R是V线性子 空间 W,={Yy=(c,0,0),c∈R是V线性子 空间 几何表示： V={aa=(a,a2,a)',a∈R 上页 区回

例 { ( , , ) , } V a1 a2 a3 aj R T =   =  是线性空间 { (0, , ) , } W1 b1 b2 bj R T =   =  是V 线性子 空间 { ( , 0, 0) , } W2 c c R T =   =  是V 线性子 空间 几何表示：{ ( , , ) , } V a1 a2 a3 aj R T =   =  0 Y Z

V=W+W, 0=W∩W 直和：假设两个子空间的交是 {0}空间，那么它们的和称为 直和。在上个例子中 0=W⌒W2 所以 V=W+W2,是直和，记为： V=W⊕W, 上页 返回

W1 0 V =W1 +W2 0 =W1W2 直和：假设两个子空间的交是 {0} 空间，那么它们的和称为 直和。在上个例子中 0 =W1W2 所以 V =W1 +W2 ，是直和，记为： V =W1W2

二子空间的维数 定理 (维数公式)设W,W,是线性空间V的 子空间，则 d in +din,=d im +)+d i m 如果两个子空间的和是直和，子空间维数的和等 于原空间的维数。 上页

二 子空间的维数 定理 （维数公式） 设 1 2 W , W 是线性空间V 的 子空间，则 dim dim dim( ) dim( ) W1 + W2 = W1 +W2 + W1W2 如果两个子空间的和是直和，子空间维数的和等 于原空间的维数