第四节逆矩阵 ·定义15设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方 阵B,使得 AB-BA-E (1) 则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵（简称 逆阵)，记为 B=A
•定义15 设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方 阵B，使得 AB=BA=E (1) 则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵（简称 逆阵），记为 −1 B = A 第四节 逆矩阵
推论：如果方阵A可逆，则逆阵唯一 证明：若B,C都是A的逆，即有 AB=BA=E, AC-CA=E B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 所以，逆阵唯一。 注意：在定义15中，A,B的地位是平等 的，即如果(1)成立，则B也可逆，并 且 B=4 区回
所以，逆阵唯一。 AB = BA = E, AC =CA= E B = BE = B(AC) = A −1 B 推论：如果方阵 A可逆，则逆阵唯一 若B,C都是A的逆，即有 注意：在定义15中，A，B的地位是平等 的，即如果（1）成立，则B也可逆，并 且 证明： = (BA)C = EC = C
定义16设A=(a,)为n阶方阵，A是 A中元素a,的代数余子式，则矩阵 A2 Ant A'= A2 A2 An2 A. 称为A的伴随矩阵 上页
中元素 的代数余子式，则矩阵 设 为 阶方阵， 是 i j i j Ai j A a A = (a ) n = n n n n n n A A A A A A A A A A 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 定义16 称为A的伴随矩阵
根据行列式展开定理和行列式的性质直接 计算得到 a11 a12 A A21 An a21 a22 a2n A2 A2 … An2 AA= am an2 Ain An A 40 0 A 00 =4E A'A=AE 0 0 上页 这回
根据行列式展开定理和行列式的性质直接 计算得到 n n n n n n A A A A A A A A A 1 2 12 22 2 11 21 1 AA A E A A A = = 0 0 0 0 0 0 A A = AE = n n n n n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1
定理2方阵A可逆的充分必要条件是 A≠0，即A非奇异。并且当A可逆时， 证明：必要性 因为A可逆，即存在A使 AA=E 从而 4A4=A4=E=1 所以 A≠0， 即A非奇异。 上页 区回
即 非奇异。并且当 可逆时， 方阵 可逆的充分必要条件是 0, A A A A − = A A A 1 1 1 1 1 = = = − − 从而 A A AA E 所以 A 0, 即A非奇异。 AA = E −1 -1 因为A可逆，即存在A 使 定理2 证明：必要性
充分性 如果A非奇异，即A≠0 因为 AA=AA-AE 于是 1(0=行4= 所8,4边，H7 上页 返回
充分性 A A E A A A A = = ) 1 ) ( 1 于是 （ − = A A A A 1 1 所以， 可逆，且 如果A非奇异，即A 0. AA = A A = AE 因为
M1A-日 试问：a,b,c,d满足什么 条件时，方阵A可逆？当A可逆时，求A 解： 故当ad-bc≠0时，A≠0从而A可逆。 此时 0 上页
A A A . , , , , c d a b A 条件时，方阵 可逆？当 可逆时，求 -1 设 试问：a b c d满足什么 = ad bc c d a b A = = − 故当ad −bc 0时，A 0从而A可逆。 解： − − = = − c a d b A A A A 1 1 1 此时 例1
推论1设A,B都是n阶方阵，若AB=E,则 AB都可逆，并且A1=B,B1=A 证明：因AB=E,所以AB=AB=|E=1 于是，A≠0，B≠0，A,B都可逆， 即A,B存在，并且 B=EB=(AA)B=4(AB)=4-E=4- A=AE=A(BB)=(AB)B-EB-=B 上页 回
A = B B = A −1 −1 , 因AB = E,所以A B = AB = E =1 即 存在，并且 于是， ， ， 都可逆， 1 1 , 0 0 , − − A B A B A B B EB (A A)B -1 = = A AE A( ) −1 = = BB 推论1 设A,B都是n阶方阵，若AB=E，则 A,B都可逆，并且 证明： ( ) 1 A AB − = −1 −1 = A E = A 1 1 1 ( ) − − − = AB B = EB = B
例2设A是任一n(n≥3)阶方阵，A是 其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1， 则必有（飞A= (98) (A)kA (B)k"-A (C)k"A'(D)k A" 解：(I)设A可逆，则A=AA1 可得 (k4=k4k④ =&A)=A4 题设条件k≠0，±1选项唯一。即B) 上页
* 1 * * 1 * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (98) k k 0, 1, 2 A ( 3) A k A B k A C k A D k A k A n n A n− n − = 则必有 其伴随矩阵，又 为常数，且 例 设 是任一 阶方阵， 是 * 1 (1) A A − 设 可逆，则 = A A 1 1 1 ) 1 ( − − − = A = k A A k k A n n 题设条件k 0,1选项唯一。即(B) * 1 ( ) ( ) − 可得 k A = k A k A 解：
解：(2)设A不可逆，(B)也对。 事实上令A=(a,),a,的代数余子式为A 则 A=(A) 令kA=(ka),ka,的代数余子式记为B 则 By k"Au 于是 (kA)”=(B)'=(k-A) =k-(4)Y=k-A 上页 这回
(2)设A不可逆，(B)也对。 i j n i j i j i j B k A k A k a k a 1 i j ( ), B , − = = 则 令 的代数余子式记为T i j T n k A (Bi j) (k A ) * −1 于是 （ ）= = 1 1 * k (A ) k A T n ij n− − = = T i j i j i j A A A a a ( ) ( ), A , * i j = = 则 事实上令 的代数余子式为 解：