《线性代数》第六章习题解答 1. 2.已知向量空间的一个基为a1=(110),a二(101)， a=(011)',试求a=(200)'在上述基下的坐标。 110 解.设a=(a1a2 aaa)月101 x; 011 11-1 &- 所以 (a a;)a= 2.验证a=(1-10)',a=(213)',a=(312)T为R3的一个基，并把 a=(507),B=(-9-8-13)用这个基线性表示. 123 解.设(aa2a4)-111 032 1123 la aa= -111=-6≠0 032 所以a,a2,a,为R的一个基。 x 设a=(a1a X2 ,B=(aa42a)2 ) 1235 (1235 由A=aa42a a -1 11 0 0 345 0327 00-22 2 得a=(a1a a;) 3 =2a1+3a2a3, 又有A=(aa2a
《线性代数》第六章习题解答 -1- 1. 2. 已知向量空间的一个基为α1=（1 1 0）T，α2=（1 0 1）T， α3=（0 1 1 ） T，试求α=（2 0 0） T 在上述基下的坐标。 解. 设α= ( ) 1 2 3 3 2 1 x x x ， ( ) 1 2 3 = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) 1 2 3 -1= − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 所以 3 2 1 x x x = ( ) 1 2 3 -1α= − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 2 = −1 1 1 2．验证α1=（1 -1 0） T，α2=（2 1 3） T，α3=（3 1 2 ） T 为 R 3 的一个基，并把 α=（5 0 7） T，β=（-9 -8 -13） T 用这个基线性表示。 解.设 ( ) 1 2 3 = − 0 3 2 1 1 1 1 2 3 ， 1 2 3 = 0 3 2 1 1 1 1 2 3 − = -6 ≠0 所以α1，α2，α3 为 R 3 的一个基。 设α= ( ) 1 2 3 3 2 1 x x x ，β= ( ) 1 2 3 3 2 1 y y y 由 ( ) A = 1 2 = − 0 3 2 7 1 1 1 0 1 2 3 5 → 0 0 − 2 2 0 3 4 5 1 2 3 5 得α= ( ) 1 2 3 3 2 1 x x x = ( ) 1 2 3 −1 3 2 =2α1+3α2-α3 ， 又有 ( ) A = 1 2
《线性代数》第六章习题解答 123-9）123-9 -111-8→034-17 032-13(00-24 3 得B=(a1a2a)y2=(a1a2a)-3=3a1-3a-2a；。 （-2 3.下列阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间 (1)n阶对称矩阵全体所成之集合S。 (2)n阶可逆矩阵全体所成之集合R: (3)主对角线上各元素之和等于零的阶矩阵全体所成之集合T。 解.(1)S构成线性空间。因为女A,B,C∈S,λ，u∈R, A+B∈S. AAES 且满足1°，A+B=B+A 2°(A+B)+CA+(BC) 3°零元素为0，满足0+A=A 4°负元素为-A,使A+(-A)=0 5°1A=A 6°X(uA)=(Xμ)A 7°X(A+B)=AA+AB 8°（入+μ）A=λA+μA (2)R不构成线性空间，因为若A∈R,但0A=0不可逆，即R关于数乘法不封闭。 (3)T构成线性空间，因为T关于加法和数乘法封闭，并且满足8°性质。 4.下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)设X,是n阶方阵A的特征值，A对应于,的特征向量所成之集合，关于向量的加法利 数乘向量两种运算： (2)微分方程y“+3y+3y+y=0的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算： (3)微分方程y+3y+3y+y=5的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算： (4)R中与向量(0,0,1)'不平行的全体向量所成之集合，关于中向量的线性运算。 解.(1)不构成线性空间，因为此集合不含零向量： (2)构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证 (3)不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证： (4)不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5.检验以下集合对于所给的运算是否是实数域R上的线性空间。 令S={(a,b)a,b∈R},对于运算： (a,b)(c,d)=(atc,b+d+ac) ko (a,b)=(ka,kb+g) -2
《线性代数》第六章习题解答 -2- = − − − − 0 3 2 13 1 1 1 8 1 2 3 9 → − − − 0 0 2 4 0 3 4 17 1 2 3 9 得β= ( ) 1 2 3 3 2 1 y y y = ( ) 1 2 3 − − 2 3 3 =3α1-3α2-2α3 。 3.下列 n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？ （1）n 阶对称矩阵全体所成之集合 S； （2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合 R； （3）主对角线上各元素之和等于零的 n 阶矩阵全体所成之集合 T。 解.（1）S 构成线性空间。因为 A，B，C∈S，λ，μ∈R ， A+B∈S， λA∈S 且满足 1°.A+B=B+A 2°（A+B）+C=A+（B+C） 3° 零元素为 0，满足 0+A=A 4°负元素为-A，使 A+（-A）=0 5°1A=A 6°λ（μA）=（λμ）A 7°λ（A+B）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA （2）R 不构成线性空间，因为若 A∈R，但 0A=O 不可逆，即 R 关于数乘法不封闭。 （3）T 构成线性空间，因为 T 关于加法和数乘法封闭，并且满足 8°性质。 4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？ （1） 设λ0 是 n 阶方阵 A 的特征值，A 对应于λ0 的特征向量所成之集合，关于向量的加法和 数乘向量两种运算； （2） 微分方程 3 3 0 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算； （3） 微分方程 3 3 5 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种 运算； （4） R 3 中与向量（0，0，1） T 不平行的全体向量所成之集合，关于 R 3 中向量的线性运算。 解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量； （2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证； （3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证； （4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域 R 上的线性空间。 令 S={（a，b）|a，b∈R}，对于运算： （a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d+ac） k （a，b）=（ka，kb+ 2 2 ( 1) a k k− ）
《线性代数》第六章习题解答 解。显然集合S对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素 为(0,0)，对于任意元素(a,b)的负元素为(-a,-b+a)。对于数乘的4条运算规律易验证也成 立。所以ς构成一人电性空间」 6求实数域R上的全体2阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。 解。全体2阶对称矩阵的线性空间的一组基为 6889ed 其维数为3： 全体2阶上三角矩阵的线性空间的一组基为 68e 其维数为3： 全体2阶下三角矩阵的线性空间的一组基为 10.(00.00 000110 其维数为3。 (100 7.设A001 求线性空间S(B)=B∈xAB=O0)的一个基和维数。 000 (000 解.设B=(b)则AB=-0时，B=b1bb 所以S的一个基为 (000 000(000)000 100,010,001,其维数为3。 000000000 8.在R中，求向量a=(3,7,1)'关于基a=(1,3,5), a=(6,3,2),a=(3,1,0)'的坐标 x 解.设a=aa凸a)x2 (x3 16331633 A=a1aa3a3317→01172 (5201001154
《线性代数》第六章习题解答 -3- 解。显然集合 S 对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素 为（0，0），对于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a2）。对于数乘的 4 条运算规律易验证也成 立。所以 S 构成一个线性空间。 6．求实数域 R 上的全体 2 阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。 解.全体 2 阶对称矩阵的线性空间的一组基为 0 0 1 0 ， 0 1 0 0 ， 1 0 0 1 其维数为 3； 全体 2 阶反对称矩阵的线性空间的一组基为 −1 0 0 1 其维数为 1； 全体 2 阶上三角矩阵的线性空间的一组基为 0 0 1 0 ， 0 1 0 0 ， 0 0 0 1 其维数为 3； 全体 2 阶下三角矩阵的线性空间的一组基为 0 0 1 0 ， 0 1 0 0 ， 1 0 0 0 其维数为 3。 7．设 A= 0 0 0 0 0 1 1 0 0 ，求线性空间 S（B）={B∈M3×3|AB=0}的一个基和维数。 解.设 B=（bij）则 AB=0 时，B= 0 0 0 0 0 0 b21 b22 b23 ，所以 S 的一个基为 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ， 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ， 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ，其维数为 3。 8． 在 R 3 中，求向量α=（3，7，1）T 关于基α1=（1，3，5）T， α2=（6，3，2）T，α3=（3，1，0）T 的坐标 解.设α= ( ) 1 2 3 3 2 1 x x x ， A = ( ) 1 2 3 = 5 2 0 1 3 3 1 7 1 6 3 3 → 0 0 1 154 0 1 1 72 1 6 3 3
《线性代数》第六章习题解答 所以 9在所有对后阶方库所成的线性空间S中，求它的一个。并出距阵(关于这 个基的坐标。 -2.1)1。 10.已知四维线性空间中的两个基为a,a,a,a,和B,B,B,B,且 Bi=ait a: B= a2-a,-a4 求a,关于基B,B,B,B,的坐标。 1210 解.由已知(B1BB,B,)=(a1a:a3a,) 1111 030-1 110-1 1210) (aia:aa)=(BIB:B3B) 1111 030-1 110-1 (-110 =(B,B,B,B) 3 2 -是是支0 所以a=(aa2a,a) 0 0
《线性代数》第六章习题解答 -4- 所以 3 2 1 x x x = − 154 82 33 。 9．在所有实对称二阶方阵所成的线性空间 S2 中，求它的一个基，并写出矩阵 − − 2 1 3 2 关于这 个基的坐标。 解.S2 的一个基为 0 0 1 0 ， − − 1 0 0 1 ， 0 1 0 0 ，则矩阵 − − 2 1 3 2 在这个基的坐标为（3， -2。1）T 。 10．已知四维线性空间中的两个基为α1，α2，α3，α4，和β1，β2，β3，β4，且 β1=α1+ α2 +α4 β1=2α1+α2+3α3+α4 β1=α1+ α2 β1= α2-α3-α4 求α4 关于基β1，β2，β3，β4 的坐标。 解.由已知（β1β2β3β4）=（α1α2α3α4） − − 1 1 0 1 0 3 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 ，知 （α1α2α3α4）=（β1β2β3β4） 1 1 1 0 1 0 3 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 − − − =（β1β2β3β4） − − − − − − 0 3 2 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 所以α4=（α1α2α3α4） 1 0 0 0
《线性代数》第六章习题解答 -110 =(B1B2B,B,) 3 -2 即a,在基B,B:B,B,的坐标为10-10。 11.已知R中的两个基为 求向量a=2a+4a:关于基B,B:,B,的坐标。 解.已知 100 (a1a2a)=(e1e2e)110 111 110N (B,B2B,)=(e1e2e)011 101 则a=(a1a2a) 111o =(BB:B)01 1-111002 =(B,BB) =(B1BB)1 12.在R中取两个基，一个为标准基e,”e”e,另一个为a=(2,1,-1,1)，a=(0, 3,1,0),a(5,3,2,1),a=(6,6,1,3)'。 (1)求由基E,e,E,e,到基a1,2,a,a,的过波矩阵： (2)求向量a=(x,,x,x)'关于基a1,a2,a,a,的坐标 (3)求在这两个基下有相坐标的向量：
《线性代数》第六章习题解答 -5- =（β1β2β3β4） − − − − − − 0 3 2 1 1 0 1 1 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 = − 0 1 0 1 即α4 在基β1β2β3β4 的坐标为 ( ) T 1 0 −1 0 。 11．已知 R 3 中的两个基为 α1=（1，1，1）T，α2=（0，1，1）T，α3=（0，0，1）T； β1=（1。0。1）T，β2=（1，1，0）T，β3（0，1，1）T， 求向量α=2α1+ 4α2 关于基β1，β2，β3 的坐标。 解.已知 （α1α2α3）=（ε1ε2ε3） 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ， （β1β2β3）=（ε1ε2ε3） 1 0 1 0 1 1 1 1 0 则α=（α1α2α3） 0 4 2 =（ε1ε2ε3） 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 4 2 =（β1β2β3） 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 − 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 4 2 =（β1β2β3） − − − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 4 2 =（β1β2β3） 5 1 1 。 12．在 R 4 中取两个基，一个为标准基ε1，ε2，ε3，ε4，另一个为α1=（2，1，-1，1）T，α2=（0， 3，1，0）T，α3=（5，3，2，1）T，α4=（6，6，1，3）T。 （1）求由基ε1，ε2，ε3，ε4 到基α1，α2，α3，α4 的过渡矩阵； （2）求向量α=（x1，x2，x3，x4） T 关于基α1，α2，α3，α4 的坐标 （3）求在这两个基下有相坐标的向量；
《线性代数》第六章习题解答 (2056 解.(1)(a1a2a,a)=(e1e2E,e) 1336 013 (2056) 所以由基E,g,e,E,到基a,a,a,a,的过渡矩阵为 1336 -1121 1013 (2)向量a=(x,X,x,x)'关于基a,a2,a,a,的坐标为 (y2056(x 1336 -1121 y1013x (129-27-33)(x 112-9 -23 =900 -18 (-7-30 26八 X4 (x (4)a=(a1a2a:a) X2 20561 2 05 61 3 6 1 =(e1ee,e） 3 3 6 X2 -112 12 1 01 1 01 3) (1056)x）0 0 即 0 x4 1 012x 0 得在这两个基下有相坐标的向量为(1,1,1，-1) 13.设N是齐次线性方程组
《线性代数》第六章习题解答 -6- 解.（1）（α1α2α3α4）=(ε1ε2ε3ε4) − 1 0 1 3 1 1 2 1 1 3 3 6 2 0 5 6 所以由基ε1，ε2，ε3，ε4 到基α1，α2，α3，α4 的过渡矩阵为 − 1 0 1 3 1 1 2 1 1 3 3 6 2 0 5 6 。 （2）向量α=（x1，x2，x3，x4）T 关于基α1，α2，α3，α4 的坐标为 4 3 2 1 y y y y = 1 1 0 1 3 1 1 2 1 1 3 3 6 2 0 5 6 − − 4 3 2 1 x x x x = − − − − − − − 7 3 0 26 9 0 0 18 1 12 9 23 12 9 27 33 27 1 4 3 2 1 x x x x 。 （4）α=（α1α2α3α4） 4 3 2 1 x x x x =(ε1ε2ε3ε4) − 1 0 1 3 1 1 2 1 1 3 3 6 2 0 5 6 4 3 2 1 x x x x − 1 0 1 3 1 1 2 1 1 3 3 6 2 0 5 6 4 3 2 1 x x x x = 4 3 2 1 x x x x ，即 − 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 3 6 1 0 5 6 4 3 2 1 x x x x = 0 0 0 0 得在这两个基下有相坐标的向量为（1，1，1，-1）T 。 13．设 N 是齐次线性方程组
《线性代数》第六章习题解答 -23-1 0 01-11 03-3 0 的解空间，求解空间的维数和它的一个基 (0-731 1-23-11-23 -1 01-11 01-11 103-3 -020-2 0-731 (0-731 1-23-1） 01-11 002-4 00-48 所以解空间的维数为1，它的一个基为(-3,1,2,1)。 14.在线性空间R[x]中 (1)证明1+x,1+x,x+x,x是R[x]的一个基： (2)求由基1， (3)求3+2x+关于基1 解.(1)已知R[x的维数为4。并且1+x,1+x,x+x,x线性无关，因为若有实数k,k,k, k使 k1(1+x)+k(1+x2)+k(x+x2)+k,x=0 即 (1100 2)112xd,=a,,010 0100 0011 (1100 由基1式氧落11以.以，父的过接矩陈为}0】0 0100 0011 (3③)3+2x+x2=(1,x,x,x2) 0
《线性代数》第六章习题解答 -7- − − − − − 0 7 3 1 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 3 1 4 3 2 1 x x x x = 0 0 0 0 的解空间，求解空间的维数和它的一个基。 解: − − − − − 0 7 3 1 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 3 1 → − − − − − 0 7 3 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 2 3 1 → − − − − − 0 0 4 8 0 0 2 4 0 1 1 1 1 2 3 1 所以解空间的维数为 1，它的一个基为（-3，1，2，1）。 14.在线性空间 R3[x]中 （1）证明 1+x，1+x2，x+x3，x 3 是 R3[x]的一个基； （2）求由基 1，x，x 2，x 3 到基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的过渡矩阵； （3）求 3+2x+x2 关于基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的坐标。 解.（1）已知 R3[x]的维数为 4。并且 1+x，1+x2，x+x3，x 3 线性无关，因为若有实数 k1，k2，k3， k4 使 k1（1+x）+k2（1+x2）+k3（x+x3）+k4 x 3 =0 即 （k1+k2）+（k1+k3）x+k2x 2 +（k3+k4）x 3 =0 则必有 k1=k2=k3=k4=0 。所以 1+x，1+x2，x+x3，x 3 是 R3[x]的一个基； （2）（1+x，1+x2，x+x3，x 3）=（1，x，x 2，x 3） 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 由基 1，x，x 2，x 3 到基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的过渡矩阵为 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 (3)3+2x+x2 =（1，x，x 2，x 3） 0 1 2 3
《线性代数》第六章习题解答 1100(3) =(1+x,1+x,xx,x2) 1010 0100 0011(0 1 0-10 =(1+x,1+x2,x+x2,x2) 00 1 0/ 2 -111 (1-1-11八0 =(1+x,1+x,x*x,x2) 所以3+2x+x2关于基1+x,1+x,x+x3,x的坐标为(2,1,0,0) 15.R中分量满足下列条件的全体向量是否组成R的子空间？ (1)x1+x2++x=0: (2)X+x++x。=1: 3)x.=0 (a+b)++(a+b)=0即a+B∈V, 19.+..+1a=0 即λa∈V, 亦即V,对向量加法和向量数乘法封闭。所以Y,是R"的子空间， 2 ta,Be,a=（a,,a), (a,tba)++(ab.）=2即a+BEV2 亦即V对向量加法不封闭。所以V2不是R的子空间。 (3)记V=x=(X,. ,Xn),X,·,X∈R,满足x10,可以证明V,对向量加法和向量数乘 法封闭。所以V是R的子空间 16.设A∈Mn (1)证明：与A可交换的n阶方阵的全体组成M的一个子空间，记此子空间为C(A): 1 (2)给定对角矩阵A= 2 ,求C(A)的维数和一组基。 n 证：(I).VB,DEC(A),元ER,则BA=AB,DA=AD。于是 (B+D)A=BA+DA=AB+AD=A (B+D) (入B)A=入(BA)=A(AB)=A(入B) 即B+D,AB∈C(A),所以C(A)是一个子空间
《线性代数》第六章习题解答 -8- =（1+x，1+x2，x+x3，x 3） 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 − 0 1 2 3 =（1+x，1+x2，x+x3，x 3） − − − − 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2 3 =（1+x，1+x2，x+x3，x 3） 0 0 1 2 所以 3+2x+x2 关于基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的坐标为（2，1，0，0） T 。 15．R n 中分量满足下列条件的全体向量是否组成 R n 的子空间？ （1）x1+x2+…+xn=0； （2）x1+x2+…+xn=1； （3）x1=0 。 解:（1）记 V1={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1+…+xn=0}， 1 , V ， R，α=（a1，…，an），β=（b1，…，bn ）则 （a1+bB）+…+（an+bN）=0 即α+β∈V1 λa1+…+λan=0 即λα∈V1 亦即 V1 对向量加法和向量数乘法封闭。所以 V1 是 R n 的子空间， （2）记 V2={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1+…+xn=1} 2 , V ，α=（a1，…，an），β=（b1，…，bn ）则 （a1+bB）+…+（an+bN）=2 即α+β V2 亦即 V1 对向量加法不封闭。所以 V2 不是 R n 的子空间。 （3）记 V3={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1=0}，可以证明 V3 对向量加法和向量数乘 法封闭。所以 V3 是 R n 的子空间。 16．设 A∈Mn （1）证明：与 A 可交换的 n 阶方阵的全体组成 Mn 的一个子空间，记此子空间为 C（A）； （2）给定对角矩阵 A= n 2 1 ，求 C（A）的维数和一组基。 证:（1）. B, D C(A)， R ，则 BA=AB，DA=AD。于是: （B+D）A=BA+DA=AB+AD=A（B+D） （λB）A=λ(BA)=λ(AB)=A(λB) 即 B+D，λB∈C（A），所以 C（A）是一个子空间
《线性代数》第六章习题解答 解(2)设B=(b),由AB=BA,得b0,i≠j,i,j=l,2,…,n 所以C(A)的维数为n,一组基为E,i=1,2,,n 17.在R中，求由向量组a=(1,1,0,0) =(1,0,1,0),a=(0,0,0,1),所 生成的子空间的 一个基和维数 解.因为a,02”a,线性无关，所以L(a1a:a,)的维数为3，一个基为a10:a。 18.求由下列向量ā，a,所生成的子空间与由B,B,生成的子空间的交与和的维数和一个基。(1) a=(1,2,1,0),a=(-1,1,1,1), =(2,-1,0,1),B=(1,-1,3,7) (2)a=(1,1,0,0) ,a=(1,0,1,1) B=(0,0,1,1)',B=(0,1,1,0) 解(1) 1-121 1-12 1 (1-121 0117 (a1a,B,B)= 21-1-1 03-5-3 1103 02-22 0013 011701170000 所以L(a1a:)+L(BB)=L(a1a:B,B:)的维数为3，一个基为： aa B 因为dimL(a1a)=dimL(BB:)=2,由维数定理知 dim L ()L (BB:)=1 又因为 a1-4a23B+B=0,得： a-4a2=3B-82EL (aa)nL(BB3), 所以L(a1a)nL(B,B)的一个基为a,-4a(5,-2,-3,-4)'。 1100 (1100Y 1100Y 1001 0-101 010-1 (2)(a1a:B,B) 0111 0111 0012 (0110 000-1 0001 所以L(a1a)+(B,B)=L(a1a:B,B:)的维数为4，一个基为： 因为dimL(aa)=dimL(B,B)=2,由维数定理知 dim L a a2)nL B B2)=0 所以L(a1az)∩L(B:B:)是零子空间。 19.设V,与V2分别是齐次线性方程组x+x++x,=0与x=x==x的解空间，证明R=Y,⊕V,。 1 -1 1 0 0 1 证V,的一个基为5 0 0 V,的一个基为5n=1 0 (0 所以V,,的一个基为5 52 20.设V是n维线性空间，V与V,是V的两个子空间，并且dim(V+W)=din(nV:)+1。证明
《线性代数》第六章习题解答 -9- 解（2）.设 B=（bij），由 AB=BA，得 bij=0，i≠j，i，j=1，2，…，n。 所以 C（A）的维数为 n，一组基为 Eii，i = 1,2,…,n 。 17．在 R 4 中，求由向量组 α1=（1，1，0，0） T，α2=（1，0，1，0） T，α3=（0，0，0，1） T，所 生成的子空间的一个基和维数。 解.因为α1，α2，α3 线性无关，所以 L（α1α2α3）的维数为 3，一个基为α1α2α3。 18.求由下列向量α1α2 所生成的子空间与由β1，β2 生成的子空间的交与和的维数和一个基。（1） α1=（1，2，1，0）T，α2=（-1，1，1，1）T， β1=（2，-1，0，1）T，β2=（1，-1，3，7）T， （2）α1=（1，1，0，0）T，α2=（1，0，1，1）T， β1=（0，0，1，1）T，β2=（0，1，1，0）T 。 解（1） （α1α2β1β2）= − − − 0 1 1 7 1 1 0 3 2 1 1 1 1 1 2 1 − − − − → 0 1 1 7 0 2 2 2 0 3 5 3 1 1 2 1 − → 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 7 1 1 2 1 所以 L（α1α2）+L（β1β2）=L（α1α2β1β2）的维数为 3，一个基为: α1α2β1 。 因为 dim L（α1α2）=dim L（β1β2）=2，由维数定理知 dim L（α1α2）∩L（β1β2）=1 又因为 α1-4α2-3β1+β2=0，得: α1-4α2=3β1-β2∈L（α1α2）∩L（β1β2）， 所以 L（α1α2）∩L（β1β2）的一个基为α1-4α2=（5，-2，-3，-4） T 。 （2）（α1α2β1β2）= 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 − − → 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 − → 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 所以 L（α1α2）+L（β1β2）=L（α1α2β1β2）的维数为 4，一个基为: α1α2β1β2。 因为 dim L（α1α2）=dim L（β1β2）=2，由维数定理知 dim L（α1α2）∩L（β1β2）=0 所以 L（α1α2）∩L（β1β2）是零子空间。 19．设 V1 与 V2 分别是齐次线性方程组 x1+x2+…+xn=0 与 x1=x2=…=xn 的解空间，证明 R n =V1⊕V2。 证.V1 的一个基为 − = 0 0 1 1 1 ， − = 0 1 0 1 2 ，…， − − = 1 0 0 1 1 n ，V2 的一个基为 = 1 1 1 1 n ， 所以 V1⊕V2 的一个基为ξ1，ξ2，…，ξn-1，ξn。故 R n =V1⊕V2 。 20．设 V 是 n 维线性空间，V1与 V2是 V 的两个子空间，并且 dim（V1+V2）=dim（（V1∩V2）+1 。证明
《线性代数》第六章习题解答 (WUV)也是V的子空间。 证.由已知条件及维数定理知V,和飞中有一个是零子空间，不妨设V为零子空间，则(W,UV2) =V,显然也是V的子空间。 21. 下列变换中哪些是线性变换？ ()在L中，对每个A∈,规定T(A)=PAQ。其中P,Q是两个固定的n阶方阵 (②)在R中，规定T(x,x,x))=(x,x,x) (3)在R中，规定T(x,x)')=(x,-x1)': (④在c[a,b]中，规定T(f(x)=fx)d。 解(1)任意A,B∈M,任意X∈R,有T(A+B)=P(A+B)Q=PAQ+PG-T(A)+T(B), T(XA)=P(XA)QF入PAQ=入T(A),所以T是线性变换： (2)设X=(x,x,x),Y=(y,y2,当)， T (X+Y)=((xtya):,xity+xatya,xtya) (3)设X=(x,xa),Y=(y,y)',则 T(X+Y)=(+y2,-x-y)=(xa,-x)+(ya,-y)=T(X)+T(Y), T(AX)=(x,x)(xx)=T(X) 所以T是线性变换， (4)f(x),g(x)∈C[a,b],则 T (f+g)=[(f(x)+g(x))dx=T (f)+T (g), T(Af)=广fx)d=AT(E) 所以T是线性变换 e-89 wa 9G) 此变换关于y轴对称：(2)投影到y轴上：(3)关于直线y=x对称：(4)顺时针方向旋转90°。 23.在R中，定义T(x,y,z))=(xy,x-y,z)', (1)求T在标准基e1e2e,下的矩阵： (2)求T在基a=(1,0,0),a:=(1,1,0)7,a(1,1,1)下的矩阵
《线性代数》第六章习题解答 -10- （V1∪V2）也是 V 的子空间。 证.由已知条件及维数定理知 V1 和 V2 中有一个是零子空间，不妨设 V1 为零子空间，则（V1∪V2） =V2，显然也是 V 的子空间。 21．下列变换中哪些是线性变换？ (1)在 Mn 中，对每个 A∈Mn，规定 T（A）=PAQ。其中 P，Q 是两个固定的 n 阶方阵： (2)在 R 3 中，规定 T（（x1，x2，x3）T）=（x1 2，x1+x2，x3）T； (3)在 R 2 中，规定 T（（x1，x2）T）=（x2，-x1）T； (4)在 C[a，b]中，规定 T（f（x））= b a f (x)dx 。 解（1）任意 A，B∈Mn，任意λ∈R，有 T（A+B）=P（A+B）Q=PAQ+PBQ=T（A）+T（B）， T（λA）=P（λA）Q=λPAQ=λT(A),所以 T 是线性变换； （2）设 X=（x1，x2，x3）T，Y=（y1，y2，y3）T， T（X+Y）=（（x1+y2）2，x1+y1+ x2+y2，x3+y3）T 而 T（X）+T（Y）=（x1 2 +y1 2，x1+ x2+ y1+y2，x3+y3） T， 显然 T（X+Y）≠ T（X）+T（Y），所以 T 不是线性变换； （3）设 X=（x1，x2） T，Y=（y1，y2） T，则 T（X+Y）=（x2+ y2，-x1-y1） T =（x2，-x1） T +（y2，-y1） T =T（X）+T（Y）， T（λX）=（λx2，-λx1）T =λ（x2，-x1）T =λT（X） 所以 T 是线性变换； （4）f（x），g（x）∈C[a，b]，则 T（f+g）= + b a ( f (x) g(x))dx =T（f）+T（g）， T（λf）= b a f (x)dx=λT（f） 所以 T 是线性变换 。 22．说明 xoy 平面上变换 T y x =A y x 的几何意义，其中 （1）A= − 0 1 1 0 ； （2）A= 0 1 0 0 ； （3）A= 1 0 0 1 ； （4）A= −1 0 0 1 ； 解（1）T y x =A y x = − 0 1 1 0 y x = − y x 此变换关于 y 轴对称；（2）投影到 y 轴上；（3）关于直线 y=x 对称；（4）顺时针方向旋转 90° 。 23．在 R 3 中，定义 T（（x，y，z） T）=（x+y，x-y，z） T， （1）求 T 在标准基ε1ε2ε3 下的矩阵； （2）求 T 在基α1=（1，0，0）T，α2=（1，1，0）T，α3=（1，1，1）T 下的矩阵
