北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（试卷习题）《线性代数》第6章习题解答.doc_大学文库

《线性代数》第六章习题解答 -2- =           − − − − 0 3 2 13 1 1 1 8 1 2 3 9 →           − − − 0 0 2 4 0 3 4 17 1 2 3 9 得β= ( ) 1  2 3           3 2 1 y y y = ( ) 1  2 3           − − 2 3 3 =3α1-3α2-2α3 。 3.下列 n 阶方阵的集合，关于矩阵的加法和数乘矩阵两种运算是否构成线性空间？（1）n 阶对称矩阵全体所成之集合 S；（2）n 阶可逆矩阵全体所成之集合 R；（3）主对角线上各元素之和等于零的 n 阶矩阵全体所成之集合 T。解.（1）S 构成线性空间。因为  A，B，C∈S，λ，μ∈R ， A+B∈S， λA∈S 且满足 1°.A+B=B+A 2°（A+B）+C=A+（B+C） 3° 零元素为 0，满足 0+A=A 4°负元素为-A，使 A+（-A）=0 5°1A=A 6°λ（μA）=（λμ）A 7°λ（A+B）=ΛA+ΛB 8°（λ+μ）A=λA+μA （2）R 不构成线性空间，因为若 A∈R，但 0A=O 不可逆，即 R 关于数乘法不封闭。（3）T 构成线性空间，因为 T 关于加法和数乘法封闭，并且满足 8°性质。 4．下列集合对指定的运算是否构成实数域上的线性空间？（1）设λ0 是 n 阶方阵 A 的特征值，A 对应于λ0 的特征向量所成之集合，关于向量的加法和数乘向量两种运算；（2）微分方程 3 3 0 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算；（3）微分方程 3 3 5 ''' '' ' y + y + y + y = 的全体解所成之集合，关于函数相加和数乘函数两种运算；（4） R 3 中与向量（0，0，1） T 不平行的全体向量所成之集合，关于 R 3 中向量的线性运算。解. （1）不构成线性空间，因为此集合不含零向量；（2）构成线性空间，由齐次线性微分方程解的性质得证；（3）不构成线性空间，由非齐次线性微分方程解的性质得证；（4）不构成线性空间，关于向量的加法和数乘向量两种运算不封闭。 5．检验以下集合对于所给的运算是否是实数域 R 上的线性空间。令 S={（a，b）|a，b∈R}，对于运算：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d+ac） k  （a，b）=（ka，kb+ 2 2 ( 1) a k k− ）

《线性代数》第六章习题解答 -3- 解。显然集合 S 对于上述两种运算是封闭的，并且加法运算显然满足交换律，结合律，零元素为（0，0），对于任意元素（a，b）的负元素为（-a，-b+a2）。对于数乘的 4 条运算规律易验证也成立。所以 S 构成一个线性空间。 6．求实数域 R 上的全体 2 阶对称（反对称，上三角，下三角）矩阵所成的线性空间的一个基和维数。解.全体 2 阶对称矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         1 0 0 1 其维数为 3；全体 2 阶反对称矩阵的线性空间的一组基为         −1 0 0 1 其维数为 1；全体 2 阶上三角矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         0 0 0 1 其维数为 3；全体 2 阶下三角矩阵的线性空间的一组基为         0 0 1 0 ，         0 1 0 0 ，         1 0 0 0 其维数为 3。 7．设 A=           0 0 0 0 0 1 1 0 0 ，求线性空间 S（B）={B∈M3×3|AB=0}的一个基和维数。解.设 B=（bij）则 AB=0 时，B=           0 0 0 0 0 0 b21 b22 b23 ，所以 S 的一个基为           0 0 0 1 0 0 0 0 0 ，           0 0 0 0 1 0 0 0 0 ，           0 0 0 0 0 1 0 0 0 ，其维数为 3。 8．在 R 3 中，求向量α=（3，7，1）T 关于基α1=（1，3，5）T， α2=（6，3，2）T，α3=（3，1，0）T 的坐标解.设α= ( ) 1  2 3           3 2 1 x x x ， A = (    ) 1 2 3 =           5 2 0 1 3 3 1 7 1 6 3 3           → 0 0 1 154 0 1 1 72 1 6 3 3

《线性代数》第六章习题解答 -8- =（1+x，1+x2，x+x3，x 3） 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 −                             0 1 2 3 =（1+x，1+x2，x+x3，x 3）               − − − − 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0               0 1 2 3 =（1+x，1+x2，x+x3，x 3）               0 0 1 2 所以 3+2x+x2 关于基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的坐标为（2，1，0，0） T 。 15．R n 中分量满足下列条件的全体向量是否组成 R n 的子空间？（1）x1+x2+…+xn=0；（2）x1+x2+…+xn=1；（3）x1=0 。解:（1）记 V1={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1+…+xn=0}， 1 , V ， R，α=（a1，…，an），β=（b1，…，bn ）则（a1+bB）+…+（an+bN）=0 即α+β∈V1 λa1+…+λan=0 即λα∈V1 亦即 V1 对向量加法和向量数乘法封闭。所以 V1 是 R n 的子空间，（2）记 V2={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1+…+xn=1} 2 , V ，α=（a1，…，an），β=（b1，…，bn ）则（a1+bB）+…+（an+bN）=2 即α+β  V2 亦即 V1 对向量加法不封闭。所以 V2 不是 R n 的子空间。（3）记 V3={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1=0}，可以证明 V3 对向量加法和向量数乘法封闭。所以 V3 是 R n 的子空间。 16．设 A∈Mn （1）证明：与 A 可交换的 n 阶方阵的全体组成 Mn 的一个子空间，记此子空间为 C（A）；（2）给定对角矩阵 A=               n  2 1 ，求 C（A）的维数和一组基。证:（1）. B, D C(A)， R ，则 BA=AB，DA=AD。于是: （B+D）A=BA+DA=AB+AD=A（B+D）（λB）A=λ(BA)=λ(AB)=A(λB) 即 B+D，λB∈C（A），所以 C（A）是一个子空间

《线性代数》第六章习题解答 -9- 解（2）.设 B=（bij），由 AB=BA，得 bij=0，i≠j，i，j=1，2，…，n。所以 C（A）的维数为 n，一组基为 Eii，i = 1,2,…,n 。 17．在 R 4 中，求由向量组 α1=（1，1，0，0） T，α2=（1，0，1，0） T，α3=（0，0，0，1） T，所生成的子空间的一个基和维数。解.因为α1，α2，α3 线性无关，所以 L（α1α2α3）的维数为 3，一个基为α1α2α3。 18.求由下列向量α1α2 所生成的子空间与由β1，β2 生成的子空间的交与和的维数和一个基。（1） α1=（1，2，1，0）T，α2=（-1，1，1，1）T， β1=（2，-1，0，1）T，β2=（1，-1，3，7）T，（2）α1=（1，1，0，0）T，α2=（1，0，1，1）T， β1=（0，0，1，1）T，β2=（0，1，1，0）T 。解（1）（α1α2β1β2）=               − − − 0 1 1 7 1 1 0 3 2 1 1 1 1 1 2 1               − − − − → 0 1 1 7 0 2 2 2 0 3 5 3 1 1 2 1               − → 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 7 1 1 2 1 所以 L（α1α2）+L（β1β2）=L（α1α2β1β2）的维数为 3，一个基为: α1α2β1 。因为 dim L（α1α2）=dim L（β1β2）=2，由维数定理知 dim L（α1α2）∩L（β1β2）=1 又因为 α1-4α2-3β1+β2=0，得: α1-4α2=3β1-β2∈L（α1α2）∩L（β1β2），所以 L（α1α2）∩L（β1β2）的一个基为α1-4α2=（5，-2，-3，-4） T 。（2）（α1α2β1β2）=               0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0               − − → 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0               − → 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 所以 L（α1α2）+L（β1β2）=L（α1α2β1β2）的维数为 4，一个基为: α1α2β1β2。因为 dim L（α1α2）=dim L（β1β2）=2，由维数定理知 dim L（α1α2）∩L（β1β2）=0 所以 L（α1α2）∩L（β1β2）是零子空间。 19．设 V1 与 V2 分别是齐次线性方程组 x1+x2+…+xn=0 与 x1=x2=…=xn 的解空间，证明 R n =V1⊕V2。证.V1 的一个基为                − = 0 0 1 1 1   ，                − = 0 1 0 1 2   ，…，                − − = 1 0 0 1 1   n ，V2 的一个基为                 = 1 1 1 1   n ，所以 V1⊕V2 的一个基为ξ1，ξ2，…，ξn-1，ξn。故 R n =V1⊕V2 。 20．设 V 是 n 维线性空间，V1与 V2是 V 的两个子空间，并且 dim（V1+V2）=dim（（V1∩V2）+1 。证明

《线性代数》第六章习题解答 -10- （V1∪V2）也是 V 的子空间。证.由已知条件及维数定理知 V1 和 V2 中有一个是零子空间，不妨设 V1 为零子空间，则（V1∪V2） =V2，显然也是 V 的子空间。 21．下列变换中哪些是线性变换？ (1)在 Mn 中，对每个 A∈Mn，规定 T（A）=PAQ。其中 P，Q 是两个固定的 n 阶方阵： (2)在 R 3 中，规定 T（（x1，x2，x3）T）=（x1 2，x1+x2，x3）T； (3)在 R 2 中，规定 T（（x1，x2）T）=（x2，-x1）T； (4)在 C[a，b]中，规定 T（f（x））=  b a f (x)dx 。解（1）任意 A，B∈Mn，任意λ∈R，有 T（A+B）=P（A+B）Q=PAQ+PBQ=T（A）+T（B）， T（λA）=P（λA）Q=λPAQ=λT(A),所以 T 是线性变换；（2）设 X=（x1，x2，x3）T，Y=（y1，y2，y3）T， T（X+Y）=（（x1+y2）2，x1+y1+ x2+y2，x3+y3）T 而 T（X）+T（Y）=（x1 2 +y1 2，x1+ x2+ y1+y2，x3+y3） T，显然 T（X+Y）≠ T（X）+T（Y），所以 T 不是线性变换；（3）设 X=（x1，x2） T，Y=（y1，y2） T，则 T（X+Y）=（x2+ y2，-x1-y1） T =（x2，-x1） T +（y2，-y1） T =T（X）+T（Y）， T（λX）=（λx2，-λx1）T =λ（x2，-x1）T =λT（X）所以 T 是线性变换；（4）f（x），g（x）∈C[a，b]，则 T（f+g）=  + b a ( f (x) g(x))dx =T（f）+T（g）， T（λf）=  b a f (x)dx=λT（f）所以 T 是线性变换。 22．说明 xoy 平面上变换 T         y x =A         y x 的几何意义，其中（1）A=        − 0 1 1 0 ；（2）A=         0 1 0 0 ；（3）A=         1 0 0 1 ；（4）A=         −1 0 0 1 ；解（1）T         y x =A         y x =        − 0 1 1 0         y x =        − y x 此变换关于 y 轴对称；（2）投影到 y 轴上；（3）关于直线 y=x 对称；（4）顺时针方向旋转 90° 。 23．在 R 3 中，定义 T（（x，y，z） T）=（x+y，x-y，z） T，（1）求 T 在标准基ε1ε2ε3 下的矩阵；（2）求 T 在基α1=（1，0，0）T，α2=（1，1，0）T，α3=（1，1，1）T 下的矩阵