北京化工大学2007—2008学年第一学期 《线性代数》期末考试试卷 课程代码MAT1140T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 三 四 五 六总分 得分 一、(20分)求一个二次多项式f(x),使 f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28。 第1页
第 1 页 北京化工大学 2007——2008 学年第一学期 《 线性代数 》期末考试试卷 课程代码 M A T 1 1 4 0 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、（20 分）求一个二次多项式 f x( ) ，使 f f f (1) 0, (2) 3, ( 3) 28 = = − =
二、(20分)解矩阵方程 gx到- 第2页
第 2 页 二、（20 分）解矩阵方程 1 2 3 4 2 1 3 4 1 2 1 3 X − = −
三、(20分)判断下列命题是否正确。若正确，给出证明：若不正确， 举出反例，并说明理由。 (1)若存在不全为零的数k,k,…,k,使得k4+ka,+…ka,=0,则 a,a2,…,a,线性无关。 (2)若存在全为零的数k,k,…,k,使得ka+ka+…ka,=0,则 a,a,,2,线性相关。 (3)a,a,,an(m>2)线性无关的充要条件是其中任意两个向量都 线性无关。 (4)若a,a,a,线性无关，则a-a,a-a,a,-a也线性无关。 (⑤)若a,a,a,a,线性无关，则a+a,a,+a,a+a,a,+a也线性无 关。 第3页
第 3 页 三、（20 分）判断下列命题是否正确。若正确，给出证明；若不正确， 举出反例，并说明理由。 （1）若存在不全为零的数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 0 s s k k k + + = ，则 1 2 , , , s 线性无关。 (2) 若存在全为零的数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 0 s s k k k + + = ，则 1 2 , , , s 线性相关。 (3) 1 2 , , , ( 2) m m 线性无关的充要条件是其中任意两个向量都 线性无关。 (4) 若 1 2 3 , , 线性无关，则 1 2 2 3 3 1 − − − , , 也线性无关。 (5) 若 1 2 3 4 , , , 线性无关，则 1 2 2 3 3 4 4 1 + + + + ,,, 也线性无 关
四、（应化、化工专业做此题，其他专业不做此题。）(20分)设 120 A=222 023 求正交矩阵T和对角矩阵D,使得TAT=D。 第5页
第 5 页 四、(应化、化工专业做此题，其他专业不做此题。)（20 分）设 1 2 0 2 2 2 , 0 2 3 A = 求正交矩阵 T 和对角矩阵 D ，使得 1 T AT D − =
五、（应化、化工专业不做此题，其他专业做此题。）(20分)在中定 义线性变换 1 1 (1)求在基4= 0 %=1,a4=1 下的矩阵： 0 0 (2)求B= 的象T(B)在基T(a),T(a),T(a)下的坐标。 0 第7页
第 7 页 五、（应化、化工专业不做此题，其他专业做此题。）（20 分）在 3 R 中定 义线性变换 1 1 2 2 1 2 3 3 : , x x x T x x x x x − + (1) 求在基 1 2 3 1 1 1 0 , 1 , 1 0 0 1 = = = 下的矩阵； (2) 求 2 1 0 = − 的象 T( ) 在基 1 2 3 T T T ( ), ( ), ( ) 下的坐标
六、（20分)设f(x,x2,x)=x+3x+2xx3+4x3+2x2X (1)用初等变换法化二次型∫(x,x,x)为标准形，并写出所作可逆线性 替换； (2)求二次型f(x,x2,x)的秩和符号差； (3)判断f(x,x,x)是否半正定二次型，并说明理由。 第9页
第 9 页 六、（20 分）设 2 2 1 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x x x x x ( , , ) 3 2 4 2 = + + + + 。 (1) 用初等变换法化二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 为标准形，并写出所作可逆线性 替换； (2) 求二次型 1 2 3 f x x x ( , , ) 的秩和符号差； (3) 判断 1 2 3 f x x x ( , , ) 是否半正定二次型，并说明理由