边际与弹性 (导数在经济中的应用) 一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题 经济数学 微积分
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 五、小结 思考题 三、弹性的概念 边际与弹性 (导数在经济中的应用) 四、经济学中常见的弹性函数
、边际的概念 如果函数y=f(x)在x处可导，则在(x,x。+△x)内的 平约变化率为岩：在x=处的瞬时变化率为 1mf+)-f）=fx), △r-→0 △x 经济学中称它为f(x)在x=x处的边际函数值. 经济数学 微积分
一、 边际的概念 如果函数y = f (x)在 0 x 处可导，则在( , ) 0 0 x x + x 内 的 平均变化率为 x y ； 在 0 x = x 处的瞬时变化率为 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 f x x f x x f x x = + − → ， 经济学中称它为 f (x)在 0 x = x 处的边际函数值
设在点x=x处，x从x改变一个单位时y的增量△y 的准确值为△yA, 当x改变量很小时，则由微分的应用 知道，△y的近似值为 Ay≈d=f'(x)△xA=f'(c) 当△x=-1时，标志着x从x减小一个单位， 这表明f(x)在点x=x处，当x产生一个单位的 改变时，y近似改变f'(x)个单位.在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字. 经济数学 微积分
设在点 0 x = x 处 ，x从 0 x 改变一个单位时 y的增量y 的准确值为 0 1 x x x y = = ，当x改变量很小时，则由微分的应用 知道，y的近似值为 d ( ) ( ) 1 1 0 0 0 y y f x x f x x x x x x x = = = = = = 当x = −1时，标志着x从 0 x 减小一个单位. 这表明 f (x)在点 0 x = x 处，当x产生一个单位的 改变时，y近似改变 ( )0 f x 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
定义1设函数y=f(x)在x处可导，则称导数f'(x) 为f(x)的边际函数.f'(x)在x处的值f'(x)为边 际函数值.即当x=x,时，x改变一个单位，y改 变f'(x)个单位. 例1设函数y=x2,试求y在x=5时的边际函数值. 解因为y=2x,所以y5=10. 该值表明：当x=5时，x改变1个单位（增加 或减少1个单位)，y改变10个单位（增加或 减少10个单位). 经济数学 微积分
定义1 设函数 y = f (x)在x处可导，则称导数 f (x) 为 f (x)的边际函数．f (x)在 0 x 处的值 ( )0 f x 为边 际函数值．即当 0 x = x 时，x改变一个单位，y改 变 ( )0 f x 个单位． 例1 设函数 2 y = x ，试求y在x = 5时的边际函数值． 解 因为y = 2x，所以 10 5 = x= y ． 该值表明：当 x = 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位）．
二、经济学中常见的边际函数 1.边际成本 1)边际成本 总成本函数C(Q)的导数 △C C'(O)=Lim Lim C(Q+△)-C(2) △2-→0△O △2→0 △2 2)边际平均成本： 平均成本C(Q)的导数 C@-[Cg-0。-CC系为￥边s成本 o 经济数学 微积分
1. 边际成本 Q C Q Q C Q Lim Q C C Q Lim C Q Q Q + − = = → → ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 总成本函数 的导数 1)边际成本 二、 经济学中常见的边际函数 2)边际平均成本： . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 称为平均边际成本 平均成本 的导数 Q QC Q C Q Q C Q C Q C Q − = =
总成本C(Q)等于固定成本C。与可变成本C1(Q)之和， 即：C(2)=Co+C1(2) 而边际成本则为： C'(Q)=[C。+C(Q)]'=C(Q) 这样可以看出，边际成本与固定成本无关 经济数学 微积分
( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 C Q C C Q C Q C C Q 即 ： = + 总成本 等于固定成本 与可变成本 之和， 而边际成本则为： ( ) [ ( )] ( ) C Q = C0 + C1 Q = C1 Q 这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例2设某产品生产单位的总成本为 C(2)=1100+ 92 1200, 求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产900个单位的边际成本，并解释其 经济意义. 解(1)生产900个单位时的总成本为 9002 C(2)2-0m=1100+ =1775 1200 经济数学 微积分
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为 1200 ( ) 1100 2 Q C Q = + ， 求 ：(1)生 产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生 产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生 产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义. 解 (1)生产900个单位时的总成本为 1775 1200 900 ( ) 1100 2 900 = + = Q= C Q
平均成本为 1775 C(2) =1.99 0=900 900 (2)生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为 △C(2)C(1000)-C(900) 1993-1775 =1.58 △2 1000-900 100 (3)边际成本函数C'(Q)= 20=g ，当2=900 1200600 时的边际成本 C'(0)g-0=1.5 经济数学 微积分
平均成本为 1.99 900 1775 ( ) 900 = = Q= C Q （2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为 1.58 100 1993 1775 1000 900 ( ) (1000) (900) = − = − − = C C Q C Q ( ) 1.5 , 900 1200 600 2 (3) ( ) 900 = = = = Q= C Q Q Q Q C Q 时的边际成本 边际成本函数 当
2.边际收益 定义：总收益函数R(Q)的导数 △R R'(O)=Lim Lim R(Q+△2)-R(2) A0-→0△O △Q→0 △2 称为边际收益函数 设P为价格，P=P(Q),因此 R(Q)=P2=9·P(2),R'(Q)=P(Q)+QP'(Q) 经济数学 微积分
2. 边际收益 定义： . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 称为边际收益函数 总收益函数 的导数 Q R Q Q R Q Lim Q R R Q Lim R Q Q Q + − = = → → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R Q PQ Q P Q R Q P Q QP Q P P P Q = = = + = ， 设 为价格， ，因此
例3 设某产品的需求函数为P=20-,其中P为 5 价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总 收益，平均收益与边际收益.并求销售量从15个 单位增加到20个单位时收益的平均变化率. 解总收益为R=QP2)=200- 5 销售15个单位时 度收益R5=20e- =255 Q=15 平均收益R2=15= R(2) 255 =17 2 Q=15 15 经济数学 微积分
例3 设某产品的需求函数为 5 20 Q P = − ，其中P为 价格，Q为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 解 5 ( ) 20 2 Q 总收益为R = QP Q = Q − 1 7 1 5 ( ) 255 1 5 1 5 = = = = = Q Q Q R Q 平均收益R ) 255 5 (20 15 1 5 2 1 5 = − = = = Q Q Q 总收益R Q 销 售 个单位时