北京化工大学2010—2011学年第一学期 《高等数学(I)》期末考试试卷 课程代码MAT13900T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 二 三 四 五 总分 得分 一、填空题(3分×6=18分) *母) 2.由方程xy=1-xe确定的隐函数y=y(x)的导 dy dx 3.设y=cos2x,则y四=」 4.曲线y=Insecx在x=0处的曲率为 5.在yOz面上的曲线y2-z=0绕：轴旋转后的曲面与平面x+z=1的交线在xOy 面上的投影方程为 6.过点（亿2,1，-到且与直线--+ -121 垂直的平面方程为」 二、解下列各题(6分×9=54分)》 1.求过(0,2,4)且与两平面x+2y-2=1和x-y+z=1平行的直线方程。 第1页
第 1 页 北京化工大学 2010——2011 学年第一学期 《高等数学（I）》期末考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 0 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、填空题（3 分×6 = 18 分） 1．求极限 tan 0 1 lim x x x → + = 。 2．由方程 1 ey x y x = − 确定的隐函数 y y x = ( ) 的导数 d d y x = 。 3．设 2 y x = cos ，则 (n) y = 。 4．曲线 y x = ln sec 在 x = 0 处的曲率为 。 5．在 yOz 面上的曲线 2 y z − = 0 绕 z 轴旋转后的曲面与平面 x z + =1 的交线在 xOy 面上的投影方程为 。 6．过点 (2 ,1, 3 − ) 且与直线 1 1 1 2 1 x y z − + = = − 垂直的平面方程为 。 二、解下列各题（6 分×9 = 54 分） 1．求过 (0 , 2 , 4) 且与两平面 x y z + − = 2 1 和 x y z − + =1 平行的直线方程
2.求函数y=x0ocs2x在x=号处的微分。 x=∫sinu'du 3.设参数方程了 y=f.cosudu 伪参数，求品。 第2页
第 2 页 2．求函数 y x x = cos 2 在 4 x = 处的微分。 3．设参数方程 2 0 2 0 sin d cos d t t x u u y u u = = ，t 为参数，求 2 2 d d y x
4.计算不定积分「cosInxdx 5.计算定积分 第3页
第 3 页 4．计算不定积分 cos ln dx x 5．计算定积分 3 1 1 2 cos d 2 5 4 x x x x x x − + − −
6.计算反常积分」， -dx x1-(Inx) 7.设f(x)=∫ea-d,a为常数，求1=∫fx)dx。 第4页
第 4 页 6．计算反常积分 ( ) e 1 2 1 d 1 ln x x − x 7．设 (2 ) 0 ( ) e d a x t a t f x t − − = ， a 为常数，求 0 ( )d a I f x x =
8.求极限网snx子 9.计算p=sin0与p=cos0所围公共部分的面积。 第5页
第 5 页 8．求极限 2 2 2 0 1 cos lim x sin x → x x − 9．计算 = sin 与 = cos 所围公共部分的面积
三、解下列各题(7分×2=14分) x=n+r）从1=0到1=1弧段的弧长· 1.求曲线 y=2arctant 2.一底边为8cm、高为6cm的等腰三角形薄板，与液面垂直沉在水中，底边在下 平行于液面，顶点在上且顶点距离水面为3cm,试求薄板所受的压力。（不需要单 位) 第6页
第 6 页 三、解下列各题（7 分×2 = 14 分） 1．求曲线 ( ) 2 ln 1 2arctan x t y t = + = 从 t = 0 到 t =1 弧段的弧长。 2．一底边为 8cm、高为 6cm 的等腰三角形薄板，与液面垂直沉在水中，底边在下 平行于液面，顶点在上且顶点距离水面为 3cm，试求薄板所受的压力。（不需要单 位）
四、(6分)已知fx)在[0，可微，且满足f(0=33xfx)dx。 证明：35∈(0,1)有f(5)+5f'(5)=0 五(8分)设D,是由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2(其中0<a<2)及y=0 所围成的平面区域，D2是由抛物线y=2x2和直线x=a及y=0所围成的平面区 域。 (1)求D绕x轴旋转而成的旋转体体积：(3分) 求D,绕y轴旋转而成的旋转体体积'。(3分) (2)问当a为何值时，V+V,取得最大值，且求此值。(2分) 第7页
第 7 页 四、（6 分）已知 f x( ) 在 0 ,1 可微，且满足 ( ) 1 3 0 f x f x x 1 3 ( )d = 。 证明： (0 ,1) 有 ( ) ( ) f f + = ' 0 五（8 分）、设 D1 是由抛物线 2 y x = 2 和直线 x a = ，x = 2 （其中 0 2 a ）及 y = 0 所围成的平面区域， D2 是由抛物线 2 y x = 2 和直线 x a = 及 y = 0 所围成的平面区 域。 （1）求 D1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V1 ；（3 分） 求 D2 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 V2 。（3 分） （2）问当 a为何值时，V V 1 2 + 取得最大值，且求此值。（2 分）