10-11高数（下）期末试卷 一、填空(3分×6=18分) 1.极限1im(1+xy)x= (x,y)→(0，a) lim (1+xy)*=lim 。(1+xy) (x,y)→(0，a) (x,y)-→(0，a) =ea 2.函数u ,当x=l1,y=e,z=时的全微分du= Bu 22 0= Ox Buy aeea0e日aIee &x du -edx dy edz
一 、填空（3分6=18分） , 1, , 1 z y u x y e z du x = = = = = 2.函数 当 时的全微分 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ln u y y u y u y y z z z z z x x y x x z x x x − − = − = = 10 11 − 高数（下）期末试卷 1 ( , ) (0, ) 1. lim (1 ) x x y a xy → 极限 + = 1 1 ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) lim (1 ) lim (1 ) y x xy x y a x y a xy xy → → + = + a = e (1, ,1) (1, ,1) (1, ,1) , 1, e e e u u u e e x y z = − = = du edx dy edz = − + +
3.设二元函数z=(x,y)是由方程x2+z2=xf(xy)所确定， 其中/为可微函数，则产 2x+2 交=f+寸y 2zVw+9)-2刘] 4.曲面x2+2y2+z2=12在点1,1,3)处指向外侧的 单位法向量为 F=x2+2y2+z2-12F=2x,F,=4y,F=2z 在(1,1,3)处℉=2，F=4,F=6 所求单位让向为123
2 2 2 4. 2 12 1 1 3 曲面x y z + + = 在点（ ，，）处指向外侧的 单位法向量为 2 2 2 F x y z = + + − 2 12 2 2 3. ( , ) ( ) z z x y x z xf xy z f x = + = = 设二元函数 是由方程 所确定， 其中 为可微函数，则 2 2 ( ) ( ) z x z f xy xf xy y x + = + 1 [ ( ) ( ) 2 ] 2 z f xy xyf xy x x z = + − 2 , 4 , 2 F x F y F z x y z = = = 2, 4, 6 在(1,1,3)处F F F x y z = = = 1 {1 2 3} 14 所求单位法向量为
5.2是由曲面z=x2+y2及z=√2-x2-y所围成的闭区 域将fx2+y2+2)化成球坐标系下的三次积分是 由z=x2+y2→r= cos p sin'p =V2-x2-→r=2 =+ =2-x-y 三z=1,可得tan0=1,9=4 "ddsinodr +a0店doof02 sindr
2 2 2 2 2 2 2 5. 2 , ( ) x y z x y f x y z dv + = − − + + 是由曲面z= 及 所围成的闭区 域 将 化成球坐标系下的三次积分是 2 2 2 2 2 cos , 2 2 sin z x y r z x y r 由 = + = = − − = 2 2 2 2 2 4 0 0 0 cos 2 2 2 2 sin 0 0 4 ( ) sin ( ) sin d d f r r dr d d f r r dr + 2 2 2 2 1, tan 1 2 4 z x y z z x y = + = = = = − − 由 可得
6.幂级数 -5 的收敛域为 n= p=lim4a上lim 1,收敛半径为 Un m+1 -1<x-5<1→4<x<6 时敛=时发 n=1 n=1 √n 收敛域为[4,6)
1 ( 5) 6. n n x n = − 幂级数 的收敛域为 1 lim | | lim 1, 1 1 n n n n u n u n + → → = = = + 收敛半径为 − − 1 5 1 4 6 x x 1 1 (4 5) (6 5) 4 6 n n n n x x n n = = − − = = 时， 收敛， 时， 发散 收敛域为[4,6)
二、解下列各题(6分×7=42分) x=e' 1.设曲线y= 在t=O处的点为P,曲线在点P处与z轴 t-1 sint 正方向成锐角的切向量为T,求函数u=xy2+z3-xz在 点P处沿方向T的方向导数 解：x=e,y= (t-1)2 Z cost 1=0处7=1-10方向余弦万万万
二、解下列各题（6分7=42分） 2 3 1 0 - 1 sin , t x e y t P P z t z t T u xy z xyz P T = = = = = + − 1.设曲线 在 处的点为 ，曲线在点 处与 轴 正方向成锐角的切向量为 求函数 在 点 处沿方向 的方向导数 2 1 , , cos ( 1) t t t t x e y z t t = = − = − 解： 在t T = = − 0 {1, 1,1} 处 1 1 1 { , , } 3 3 3 方向余弦为 −
在P点处x=1,y=-1,:=0, 0-1 O 2 Bu Bx cosa+ 4
2 2 2 3 u u u y yz xy xz z xy x y z = − = − = − ， ， 1, 1, 0; 1 2 1 u u u P x y z x y z = = − = = = − = 在 点处 ， ， 4 cos cos cos 3 P u u u u T x y z = + + =
2.设u=f(x,y,),g(x2,y,2)=0,y=sinx,其中f和g具有 连续的一阶偏导数，且 3+0.试求 d 解 dz 82x0 少 cos x d d 2xg cos xg2 dx cos x 8 宏-=-2万 g
2 . ( , , ), ( , , ) 0, sin , , 0. u f x y z g x y z y x f g g du z dx = = = 2设 其中 和 具有 连续的一阶偏导数 且 试求 解： 1 2 3 du dy dz f f f dx dx dx = + + 1 2 3 2 0 cos dy dz g x g g dx dx dy x dx + + = = 1 2 3 cos 2 cos dy x dx dz xg xg dx g = + = − 1 2 1 2 3 3 2 cos cos du xg xg f xf f dx g + = + −
3.将函数f(x)=(1-x)ln1+x)展开成(x-1)的幂级数，并 指出其收敛域 解： )=(-2+x-明=--2+l+2号】 -h--r年0 -1<x≤3 -h-空-r年 -1<x≤3
3. ( ) (1 )ln(1 ) ( 1) , 将函数f x x x x = − + − 展开成 的幂级数 并 指出其收敛域 解: 1 ( ) ( 1)ln[2 ( 1)] ( 1)[ln 2 ln(1 )] 2 x f x x x x − = − − + − = − − + + 1 1 0 ( 1) ( 1)ln 2 ( 1) ( 1) 1 3 2 ( 1) n n n n x x x x n + + = − = − − − − − − + 2 1 0 ( 1) ( 1)ln 2 ( 1) 1 3 2 ( 1) n n n n x x x n + + = − = − − − − − +
4.计算曲面积分2xddE+2d证dk+zdkd,其中2： z=2-(x2+y2)(z≥1)上侧 解：添加2：z=1取下侧，，Σ围成区域记为2 2xdyd=+2ydzdx ='dxdy [(2+2+22)dv Σ+ ="dof,rdrf"( *2-1g ∬2xddt+2tk+zdkd=-J∬dkd=-元 原式=10z 13 3-()=
2 2 2 4 2 2 , 2 ( ) ( 1) xdydz ydzdx z dxdy z x y z + + = − + .计算曲面积分 其中 : 上侧 解： 1 1 添加 = : 1 z 取下侧， ， 围成区域记为 1 2 2 2 2 2 2 ) xdydz ydzdx z dxdy z dv + + + = + + （ 2 2 1 2 0 0 1 (4 2 ) r d rdr z dz − = + 10 3 = 1 2 2 2 Dxy xdydz ydzdx z dxdy dxdy + + = − = − 10 13 ( ) 3 3 原式 = − − =
5.求幂级数∑ x"的和函数，并计算极限 n= s27…月 解：= 两边对x求导有 1-x) (1-x)2 x<1 lim 32月）- n-→0 lim
( ) 1 1 1 1 1 2 4 8 2 5. , lim 3 9 27 3 n n n n n nx = → 求幂级数 的和函数 并计算极限 解： 两边对x求导有 1 1 n n x x x = = − 1 2 1 1 (1 ) n n nx x − = = − 2 1 1 (1 ) n n x nx x x = = − ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 4 2 8 2 4 8 2 lim 3 9 27 3 lim 3 n n n n n n + + + + → → = 1 1 1 1 1 1 ( ) lim ( 2 3 ) 2 2 4 8 2 3 3 n n n n n n → = + + + + = = 2 1 2 1 (1 ) 2 3 9 − = =
