北京化工大学2009一2010学年第二学期 《高等数学(II)》期中考试试卷 课程代码MAT13901T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 2 总分 得分 一、填空题 1已知三元福数，川=，则怎，列小 2.函数：=n(x-)+了- ,的定义域为 1-cos(xy) 3.求极限eo.2xsin(x 4.设二元函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则 ma+x,)-fe-x,b)】 5.设u=x',则du=」 a2: 6.设函数：=f(y,x),fu,)具有二阶连续偏导，则x0) x=e"+siny 7.设z=v,而了 y=e"-cos ,则y [x+y-z=0 8。曲线+y+:=6在点01,2)处的切线方程为 9.曲面：=c2y在点(2,1，)处的切平面方程为 第1页
第 1 页 北京化工大学 2009——2010 学年第二学期 《高等数学（II）》期中考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 1 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 总分 1 2 3 得分 一、填空题 1．已知二元函数 f x y x y ( , ) = ，则 , , ( ) x f f x y y = 。 2．函数 ( ) 2 2 ln 1 y z x y x y = − + − − 的定义域为 。 3．求极限 ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , 2 1 cos lim x y sin x y → x x y − = 。 4．设二元函数 f x y ( , ) 在点 (a b, ) 处的偏导数存在，则 ( ) ( ) 0 , , lim x f a x b f a x b → x + − − = 。 5．设 z y u x = ，则 du = 。 6．设函数 ( ) 2 z f x y x = , ， f u v ( , ) 具有二阶连续偏导，则 2 z x y = 。 7．设 z u v = ，而 e sin e cos u u x v y v = + = − ，则 z y = 。 8．曲线 2 2 2 0 6 x y z x y z + − = + + = 在点 (1,1, 2) 处的切线方程为 。 9．曲面 2 e x y z − = 在点(2 ,1,1)处的切平面方程为
0使：=5-子一2，在肉。-1引处的方向导得大的方 11.:=x2+y2在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点2,2+√5的方向导数为 12.函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1，-1)处取得极值，则常数 a=」 且交赖=或积分的学，k,功- 14.设二重积分区域D={(x,y)川0≤y≤1-x,0≤x≤1}，二重积分川f(x,y)dxdy 在极坐标系下的二次积分为 15.设平面薄板所占的闭面域D为由直线x+y=2,y=x,x=0所围，其面密度为 p(x,y)=x+y,则该平面薄板的质量为 。(不计单位) 16.设空间区域2：x2+y2≤z2,x2+y2+22≤2az(a>0),则三重积分 ∬/(x,y,:)ddd上在柱坐标系下的三次积分表达式为 2 在球坐标系下的三次积分表达式为 17.球面x2+y2+z2=a2被圆柱面x2+y2=ax(常数a>0)所割下的那一部分面 积为 18.设密度为4(x,y,)的空间体2由平面z=0,z=y,y=1及抛物柱面y=x2所 围成，则Ω对z轴的转动惯量表作直角坐标系下的三次积分为 第2页
第 2 页 10．使函数 2 2 z x y = − − 5 2 ，在点 3 3 , 1, 2 4 − − 处的方向导数取得最大值的方向 。 11． 2 2 z x y = + 在点 (1, 2) 处沿着从点 (1, 2) 到点 (2 , 2 3 + ) 的方向导数为 。 12．函数 ( ) 2 2 f x y x ax xy y , 2 2 = + + + 在点 (1, 1− ) 处取得极值，则常数 a = 。 13．交换二重积分的顺序， ( ) 2 2 1 0 d , d y y y f x y x − = 。 14．设二重积分区域 D x y y x x = − ( , 0 1 , 0 1 ) ，二重积分 ( , d d ) D f x y x y 在极坐标系下的二次积分为 。 15．设平面薄板所占的闭面域 D 为由直线 x y + = 2 ，y x = ，x = 0 所围，其面密度为 ( x y x y , ) = + ，则该平面薄板的质量为 。（不计单位） 16．设空间区域 ( ) 2 2 2 2 2 2 + + + : , 2 0 x y z x y z az a ，则三重积分 f x y z x y z ( , , d d d ) 在柱坐标系下的三次积分表达式为 ， 在球坐标系下的三次积分表达式为 。 17．球面 2 2 2 2 x y z a + + = 被圆柱面 2 2 x y ax + = （常数 a 0 ）所割下的那一部分面 积为 。 18．设密度为 ( x y z , , ) 的空间体 由平面 z = 0，z y = ，y = 1 及抛物柱面 2 y x = 所 围成，则 对 z 轴的转动惯量表作直角坐标系下的三次积分为
19.设二重积分域D:x2+y2≤ay,则二重积分[arctan(xy）+x2+ydo= 20.变力户=y+x了沿有向曲线L:x=Rc0s1,y=Rsin1从1=0点移动到1=了点 所作功为」 21.设厂为曲线x=1,y=2,z=P上相应于1从0到1的曲线弧，则对坐标的曲线 积分∫P(x,y,x+Q(x,y,)dy+R(x,y,)d化成对弧长的曲线积分 为 22.设L为直线y=x上点(-1，-)和点(1，)之间的线段，则e可ds= 23.设L是沿曲线x2+y2=a2从点(0，a到点(a,0)的弧段，则 (xycosx+2xysinx-ye*)dx+(xsinx-2ve)dy=_ 24.设曲面Σ为锥面z=√x2+y2被柱面x2+y2=a2所截得的有限部分，则 ∬(xy+yz+zx)dS= 25.设曲面Σ为球面x2+y2+22=1外侧在x≥0，y≥0的部分，则 3-+)dxdy- 26.设曲面Σ为抛物面z=8-x2-y2在xOy面上方部分的上侧，将对坐标的曲面积 分∬P(x,y,)ddz+Q(x,y,dzdx+R(x,y,2)ddy化成对面积的曲面 积分为」 第3页
第 3 页 19．设二重积分域 2 2 D x y ay : + ，则二重积分 ( ) 2 2 2 arctan d D x y x y + + = 。 20．变力 F y i x j → → → = + 沿有向曲线 L x R t y R t : cos , sin = = 从 t = 0 点移动到 2 t = 点 所作功为 。 21．设 为曲线 x t = ， 2 y t = ， 3 z t = 上相应于 t 从 0 到 1 的曲线弧，则对坐标的曲线 积分 P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , d , , d , , d ) ( ) ( ) + + 化成对弧长的曲 线积分 为 。 22．设 L 为直线 y x = 上点 (− − 1, 1) 和点 (1,1) 之间的线段，则 2 2 e d x y L s + = 。 23．设 L 是沿曲线 2 2 2 x y a + = 从点 (0, a) 到点 (a ,0) 的弧段，则 ( ) ( ) 2 2 2 cos 2 sin e d sin 2 e d x x L x y x xy x y x x x y y + − + − = 。 24．设曲面 为锥面 2 2 z x y = + 被柱面 2 2 2 x y a + = 所截得的有限部分，则 ( xy yz zx S )d + + = 。 25．设曲面 为球面 2 2 2 x y z + + =1 外侧在 x 0 ， y 0 的部分，则 ( ) 2 2 3 d d z x y x y − + = 。 26．设曲面 为抛物面 2 2 z x y = − − 8 在 xO y 面上方部分的上侧，将对坐标的曲面积 分 P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , d d , , d d , , d d ) ( ) ( ) + + 化成对面积的曲面 积分为
二、解下列各题 1.(5分)设u=x+y,v=xy,=z(x,y)有连续偏导数，将方程式x +y=0 转换成以u,v为自变量的方程式。 第4页
第 4 页 二、解下列各题 1．（5 分）设 u x y = + ，v x y = ，z z x y = ( , ) 有连续偏导数，将方程式 0 z z x y x y + = 转换成以 u v, 为自变量的方程式
2.(7分)若函数u(x,y)的全微分为(x+4xy2)dx+(6x2-y2-5y)dy,求1的值 和(x,y)的一个表达式。 第5页
第 5 页 2．（7 分）若函数 u x y ( , ) 的全微分为 ( ) ( ) 4 1 2 4 x x y x x y y y 4 d 6 5 d − + + − ，求 的值 和 u x y ( , ) 的一个表达式
3.(7分)求函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2在有界闭区域D上的最大值与最小值， 其中D由x=0,y=-3,x+y=3围成。 第6页
第 6 页 3．（7 分）求函数 ( ) ( ) 2 2 f x y x y x y , 4 = − − − 在有界闭区域 D 上的最大值与最小值， 其中 D 由 x = 0， y = −3， x y + = 3 围成
