08-09高数（下）期中试卷 一、填空(3分×12-36分) 1. 设f(x,y2)=2+z2+x2z,则f0(2,0,1)= =y+2m乃=2y43是0，)=4 2. 设：=aresin(x-y),而x=3,y=4i,则 t d正ozdk,dzdy =122 dt ox dt ay dt --y1-x- 1=时x=0,y=0,%=3 机动目录上页下页返回结束
一、填空(3分×12=36分) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 1. ( , , ) , (2,0,1) xy 设f x y z xy yz x yz f = + + = 则 2 2 , 2 2 x xy f y xyz f y xz = + = + 3 0 2. arcsin( ), 3 , 4 t dz z x y x t y t dt 设 = − = = = 而 = ,则 2 2 2 1 1 3 12 1 ( ) 1 ( ) dz z dx z dy t dt x dt y dt x y x y − = + = + − − − − t x y = = = 0 , 0, 0; 时 08-09高数（下）期中试卷 (2, 0,1) 4 xy f = 0 3 t dz dt = =
3设e-=a(a为常数，则产 x Bx e -xy 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3. ( ), z z e xyz a a x − = = 设 为常数 则 0, z z z e yz xy x x − − = z z yz x e xy = −
4.曲线 x2-2=0 在点1，-2,1)处的切线方程 3x+2y+1=0 为 法平面方程为 2x d 0 dz d =2X d西 切m-2--3 3+2 =0 3 dx d 2 切线方程 -1 y+2z-1 2 -3 4 法平面方程2(x-1)-3y+2)+4(z-1)=0 即2x-3y+4z=12 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 0 4. (1, 2,1) 3 2 1 0 x z x y − = − + + = 曲线 在点 处的切线方程 为 法平面方程为 2 0 3 2 0 dz x dx dy dx − = + = 3 1 (1, , 2) (2, 3, 4) 2 2 切向量为 − = − 2 3 2 dz x dx dy dx = = − 1 2 1 2 3 4 x y z − + − = = − 切线方程 法平面方程2( 1) 3( 2) 4( 1) 0 x y z − − + + − = 即2 3 4 12 x y z − + =
5. 函数u=xy2+z3-z在点1,1,2)处的方向导数 取得最大值的方向的方向余弦为 =y-,y =2xy-, E ou 322-xy u.3器- -0 Bu Bu =11 0z gadu(1,l,2)=-i+11k √W1+0+121=V122 方向余弦为 应品 机动 返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 3 5. (1,1 2) 函数u xy z xyz = + − 在点 ，处的方向导数 取得最大值的方向的方向余弦为 2 2 , 2 , 3 u u u y yz xy xz z xy x y z = − = − = − (11 ) 1, 0, 11 u u u x y z = − = = ,,2 点 gradu i k (1,1 2 - 11 ，）= + 1 0 121 122 + + = 1 11 ( , 0, ) 122 122 − 方向余弦为
6. 交换二次积分的积分次序d7x, 积分区域如图 1x=2-y 原式=47 f(x.y)dx 0C0 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 1 2 6. ( , ) x x x dx f x y dy − − 交换二次积分的积分次序 = 2 1 1 1 0 2 ( , ) y y dy f x y dx + − − = 原式 积分区域如图 2 x y = + − 1 1 1 1 x y = −2
7.设D是由曲线x2+y2=1及直线y=x所围成的位于 y=x左上方闭区域，将二重积分f(x,y)do化成极坐 标系下的二次积分 解：积分区域如图 积分区域为 5π ,0≤p≤1 4 dof(rcos0rsin0dr 「返回结束
解：积分区域如图 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 1 4 0 4 d f r r rdr ( cos , sin ) 积分区域为 5 : , 0 1 4 4 D 2 2 7. 1 , ( , ) D D x y y x y x f x y d + = = = 设 是由曲线 及直线 所围成的位于 左上方闭区域 将二重积分 化成极坐 标系下的二次积分
8. 设2由曲面x2+y2+z2=2与z=x2+y2围成的包含 正半z轴的闭区域，三重积分灯f(x,y,)在柱坐标 系下的三次积分为 积分区域如图 x+y+=2=1,x+y=1 2=x2+y2 0≤0≤2π 0≤r≤1 XoY面投影驱域为+y>1≤：s万 I"dorf(reos0,rsin0,yd 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 2 8. 2 ( , , ) x y z z x y f x y z dv + + = = + 设 由曲面 与 围成的包含 正半z轴的闭区域，三重积分 在柱坐标 系下的三次积分为 积分区域如图 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1 x y z z x y z x y + + = = + = = + 2 2 2 1 2 0 0 ( cos , sin , ) r r d rdr f r r z dz − 2 2 在XoY面投影区域为 x y + 1 2 2 0 2 0 1 2 r r z r −
9设2由曲面z=x2+y2与z=Vx2+y所围成的闭区域， 三重积分∬f3,y=)在球坐标系下的三次积分为 积分区域如图 由锥面方程z=√x2+y 0≤0≤2π rcos0tsm0三p=入 π π ≤0≤ 4 2 由曲面方程zx+y2 0sr≤ coso sin'o rcosp=r2 cos20sin2o+r'sin20sin2r= cosp sin'p d0Edomefvsinpcos8,rsinpsine,rsinpr2sinodt 反▣
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 9. ( , , ) z x y z x y f x y z dv = + = + 设 由曲面 与 所围成的闭区域, 三重积分 在球坐标系下的三次积分为 积分区域如图 2 0 2 4 2 cos 0 sin r 2 cos 2 2 2 sin 0 0 4 d d f r r r r dr ( sin cos , sin sin , sin ) sin 2 cos sin 4 x y r r + = 由锥面方程 2 z= = 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos sin sin sin sin x y r r r r + + = 由曲面方程 2 z= =
10.设L为沿抛物线y=x2从点(1,1)到(-1,1)弧段，将对 坐标的曲线积分，P(x,y)+Q(x,y)d化成对弧长的 曲线积分为 x-X 曲线的参数方程为 切向量(1,2x) v-x 2x coS@= 1+(2x)3 cos-x) na0gw-器 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 10. 11 ( , ) ( , ) L y x P x y dx Q x y dy = + 设L为沿抛物线 从点(1,1)到(- ,)弧段，将对 坐标的曲线积分 化成对弧长的 曲线积分为 2 1 cos 1 (2 ) x = − + 2 x = x y = x 曲线的参数方程为 2 2 ( , ) ( , ) 1 4 L L P xQ P x y dx Q x y dy ds x + + = − + 2 2 cos 1 (2 ) x x = − + 切向量(1, ) 2x
11.设Σ为曲面z=√x2+y2介于z=0与z=3 之间的部分的下侧，将对坐标的曲面积分 [P(x,y,)dyd+Q(x.y.=)dd+R(x.y.=)dxdy 化成对面积的曲面积分为 法向量 -1 0z Ox cosa= 2 +y) osB=22+y 2 水方 返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 11. 3 ( , , ) ( , , ) ( , , ) z x y z P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy = + = + + 设 为曲面 介于z=0与 之间的部分的下侧，将对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分为 2 2 2 2 1 cos ,cos ,cos 2( ) 2( ) 2 x y x y x y − = = = + + { , , 1} z z x y − 法向量 2 2 1 ( ) ( ) 2 z z x y + + = 2 2 2 2 1 2 xP yQ x y RdS x y + − + = + 原式 2 2 2 2 , z x z y x y x y x y = = + +