09-10高数（下）期末试卷 一、填空3分×5=15分》 1已知函数f(x,y)=x2+yarctan,则f(c,)= X f(tx,ty)t2x2+t2xyarctan y 2.极限lim 1-cos(x2+y2) ()(0.(x2+y2)(ex-1) lim 1-cos(x2+y) g(+r lim 0.0(x2+y2)(e+y-1) (x,y)9(0,0) (x2+y22=2
一 、填空（3 5 5 分 =1 分） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 cos( ) lim ( )( 1) x y x y x y x y e → + − + = + − 2.极限 09 10 − 高数（下）期末试卷 2 1. ( , ) arctan , ( , ) x f x y x xy f tx ty y 已知函数 = + = 则 2 2 2 ( , ) arctan x f tx ty t x t xy y = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 ( ) 1 cos( ) 1 2 lim lim ( )( 1) ( ) 2 x y x y x y x y x y x y e x y → → + + − + = = + − +
3.曲线y2=4x,22=2-x在点1,2,1)处的切线方程 2y-月2- 22 在点2y==-号 切线方程为1=y-2=-1 111
2 2 3. 4 , 2 (1, 2,1) 曲线y x z x = = − 在点 处的切线方程 2 1 2 4, ; 2 1, 2 yy y zz z y z = = = − = − 1 (1, 2,1) 1, 2 在点 处y z = = − 1 2 1 1 1 1 2 x y z − − − = = − 切线方程为
4.设T为曲线x=e'cost,y=e'sint,z=e上相应于t从 0变到2的弧段 则j x'=e'cost-e'sint,y'=e'cost+e'sint,z'=e ds=)+(yi)"+(=)di V3e'dt woa 945e-
3 2 2 2 4. cos sin 1 0 2 t t t x e t y e t z e t ds x y z = = = + + 设 为曲线 ， ， 上相应于 从 变到 的弧段，则 cos sin cos sin t t t t t x e t e t y e t e t z e = − = + = ， ， 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 t t t t ds x y z dt e dt = + + = 3 2 3 2 2 2 2 0 1 1 ( ) 3 2 t t ds e dt x y z e = + + 2 5 0 3 8 t e dt − = 3 10 ( 1) 40 e − = − −
5.微分方程”-4y'+5y=0的通解是 特征方程2-4r+5=0 1.2=2±i 方程通解为y=e2(C cosx+C2sinx) C,C2为任意常数
5. 4 5 0 微分方程y y y − + = 的通解是 2 特征方程r r − + = 4 5 0 1,2 r i = 2 2 1 2 ( cos sin ) x 方程通解为y e C x C x = + 1 2 C C, 为任意常数
二、解答题(6分×6=36分) 1交换二次积分∫后了x,达的积分顺序 解： 0≤y≤1 积分区域D ljsxs2-y 积分区域Dx 0≤x≤1∫1≤x≤2 0sysx2l0sy≤2-x f..f
1 2 0 1 ( , ) y y dy f x y dx − .交换二次积分 的积分顺序 解： 二、解答题（6分6 36 = 分） 0 1 2 Y y D y x y − 积分区域 2 1 2 1 2 2 0 0 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) y x x y dy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy − − = + 2 0 1 1 2 0 0 2 X x x D y x y x − 积分区域
2求微分方程y+卫= 的通解 x(x2+1) DG -(arctanx+C) C为任意常数
2 1 2 ( 1) y y x x x + = + .求微分方程 的通解 1 1 2 1 ( 1) dx dx x x y e e dx C x x − = + + 解： 2 1 1 ( 1) xdx C x x x = + + 1 (arctan ) x C x = + C为任意常数
3.求锥面z =x2+y被球面x2+y2+z2=8所截得的 有限部分的面积. 2+y →z=2 x2+y2+z2=8 在xOy面投影区域D为x2+y2≤4 ds =+dxdy V2drdy S=2dkdy 4V2x
2 2 2 2 2 3 8 .求锥面z x y x y z = + + + = 被球面 所截得的 有限部分的面积. 解： 2 2 1 2 x y dS z z dxdy dxdy = + + = 2 2 在xOy x y 面投影区域D为 + 4 2 2 2 2 2 z 2 8 z x y x y z = + = + + = 2 4 2 D S dxdy = =
4求抛物面壳=2-(x2+y2)1≤z≤2)的质量，此壳的 面密度为4(x,y,)=+x2+y 解： M=∬us Dpx2+y2≤1 dS=1+ +=+折+， M=∬(e+x+ys=∬2+4x+4ra =∫ae2+4rtr 3(6-1)
2 2 2 2 4. 2 - ( )(1 2) ( , , ) z x y z x y z z x y = + = + + 求抛物面壳 的质量，此壳的 面密度为 解： M dS = 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 4 4 , , z z dS dxdy x y dxdy x y = + + = + + xy 2 2 2 2 ( ) 2 1 4 4 D M z x y dS x y dxdy = + + = + + 2 1 2 0 0 d r rdr 2 1 4 = + 3 2 (5 1) 3 = − 2 2 : 1 D x y xy +
5.将函数f(x) 1+x2 X 展成x的幂级数 解：=小2 n=0 -25 n=0
2 ( ) 1 2 x f x x x x = + − 5.将函数 展成 的幂级数 解： 1 1 1 ( ) ( ) 3 1 2 1 f x x x = − − + − 0 1 1 1 ( 1) (2 ) ( , ) 1 2 2 2 n n n x x x = = − − + 0 1 ( 1,1) 1 n n x x x = = − − 0 1 ( 1) 2 1 1 ( ) ( , ) 3 2 2 n n n n f x x x = − − = −
6.将函数y=1+x(0≤x≤π)展成正弦级数 解：将f(x)进行奇延拓 由收敛定理，级数在(0，π)收敛于f(x) 在x=0,x=π处收敛于0 久.-2gsn达=2ca+snd 20+X-cos)+sn 2L-(←yr0+π】 nπ y=∑2L-(←1yu+x]snm0<x<元 n=l nπ
6.将函数y x x = + 1 (0 ) 展成正弦级数 解：将f x( )进行奇延拓 0 2 ( ) sin n b f x nxdx = (0, ) ( ) 0, 0 f x x x = = 由收敛定理，级数在 收敛于 在 处收敛于 0 2 ( 1) sin x nxdx = + 2 0 2 1 1 [(1 )( cos ) sin ] x nx nx n n = + − + 2 [1 ( 1) (1 )] n n = − − + 1 2 [1 ( 1) (1 )]sin n n y nx n = = − − + 0 x