10-11高数（下）期中试卷 一、填空(3分×26=78分) 1. 已知函数x,)=y,则f(fx,》= 5W--号- 2. 函数z=arcsin。+V的定义域为 1号到 xy≥0 {(x,y)-3≤x≤0，y≤0}U{(x,y)川00} 机动目录上页下页返回结束
一、填空(3分×26=78分) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. ( , ) , ( , ( , )) u f x y xy f f x v y 已知函数 = = 则 ( , ( , )) ( , ) u u u xuv f f x v f x v xv y y y y = = = 2. arcsin 3 x 函数z xy = + 的定义域为 {( , ) | 3 0, 0} {( , ) | 0 3, 0} x y x y x y x y − 10-11高数（下）期中试卷 1 1 3 0 x xy −
3.极限 lim 2-√xy+4 (x,y)→(0,0) sin(xy) lim 2-Vy+4 lim 4-(xy+4) (x,y)→(0,0) sin(xy） ,0.0)xy(2+√xy+4) 4 4.设u=x,则du= =a小， Ox Cy du yzxdx +xzInxdy+xyInxdz 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) (0,0) 2 4 3. lim sin( ) x y xy → xy − + 极限 = ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 4 4 ( 4) 1 lim lim sin( ) 4 (2 4) x y x y xy xy xy xy xy → → − + − + = = − + + 4. yz 设u x du = = ,则 1 , ln , ln u u u yz yz yz yzx x z x x y x x y z − = = = 1 ln ln yz yz yz du yzx dx x z xdy x y xdz − = + +
5. 设函数=/u,v)具有一阶连续偏导数， 则产 f-10 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. ( , ), ( , ) x z f z f u v y z y = = 设函数 具有一阶连续偏导数， 则 1 2 2 ( ) z x z f f y y y = − + 1 2 2 ( 1) z xf y f y = −
x+y+z=0 6.设方程 确定的函数之一为y=y(2) x2+y2+z2=a d dx,dy +1=0 d dx dy 2 +2z=0 d正 14 -2五 X一2 y-x 2y 十 机动目 下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 0 6. ( ), x y z y y z x y z a dy dz + + = = + + = = 设方程 确定的函数之一为 则 1 0 2 2 2 0 dx dy dz dz dx dy x y z dz dz + + = + + = 1 1 2 2 1 1 2 2 dy x z x z dz y x x y − − − = = −
7.设z=f(xy,e),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数， 则 8xay 会+。 Oxay =才+(fx+f0)+xe ++xe"f OC 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 7. ( , ), ( , ) x z f xy e f u v z x y = = 设 其中 具有二阶连续偏导数， 则 1 2 z x yf e f x = + 2 1 11 12 21 ( 0) z x f y f x f f xe x y = + + + 1 11 21 x f xyf xe f = + +
8曲线x=sm,y=22=e在对应于t0处的切线方程 法平面方程 dy I dz =2'd =e dt t=0处的切向量为1,5,1)，切点为0,0,1) 切线方程=卫 11/21 法平面方x+2*1=0 即：2x+y+2z-2=0 「返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 8. sin , , 2 t t 曲线x t y z e = = = 在对应于t=0处的切线方程 法平面方程 1 (1, ,1) (0, 0,1) 2 t=0处的切向量为 ，切点为 1 1 1/ 2 1 x y z − 切线方程 = = 1 cos , , 2 dx dy dz t t e dt dt dt = = = 1 -1 0 2 法平面方程x y z + + = 即：2 2 2 0 x y z + + − =
9.函数u=x+y+二在曲面2x2+3y2+z2=6上的点(1,1,1 处的外法线方向的方向导数为 Ou =1 a=1,=1 F=2x2+3y2+z2-6,F=4x,F,=6y,F=2E (1,1,1)处的外法向量为(4,6,2) 方向余弦为( 品品京 方向导数为 cosa+- cos 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 9. 2 3 6 (1,11) 函数u x y z x y z = + + + + = 在曲面 上的点 ， 处的外法线方向的方向导数为 1, 1, 1 uuu x y z === 2 2 2 2 3 6, 4 , 6 , 2 F x y z F x F y F z = + + − = = = x y z (1,1,1)处的外法向量为( , , ) 4 6 2 2 3 1 14 14 14 方向余弦为( , , ) 6 cos cos cos 14 u u u x y z + + = 方向导数为
10.函数u=yz在任一点P(x,y,z)处的梯度为 该梯度向量场的散度为 =y'2, Du =y2 0 点P(x,y,z的梯度为2zi+2xzj+xy元 散度为后7g+云2+是w)=2如 返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 10. ( , , ) 函数u xy z P x y z = 在任一点 处的梯度为 该梯度向量场的散度为 2 2 , 2 u u u y z xyz xy x y z = = = ， 2 2 点P x y z y zi xyz j xy k ( , , ) 2 的梯度为 + + 2 2 ( ) (2 ) ( ) 2 y z xyz xy xz x y z + + = 散度为
11.设二重积分区域D是由两坐标轴及直线x+y=2 所围成的闭区域，则∬(3x+2y)dc= 解：积分区域如图 ∬3x+2do=k(3x+2d --2+2+a-9 OC0 机动目录上页下页返回结束
解：积分区域如图 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2- 0 0 (3 2 ) (3 2 ) x D x y d dx x y dy + = + 11. 2 (3 2 ) D D x y x y d + = + = 设二重积分区域 是由两坐标轴及直线 所围成的闭区域，则 2 2 0 = − + + ( 2 2 4) x x dx 20 3 =
12.设D为2+y2≤1，则sinx+-+yHo= 原式-F+yda0rw- 13.设二重积分区域D={(x,y)川x2+y2≤2y}, 二 重积分川f(x,y)do在极坐标系下的二次积分为 D:0≤0≤π，0≤r≤2sin0 do(rcos0rsinOdr 反▣
机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) 2 2 2 2 2 12. D 1, sin D x y y x x y d + + + = 设 为 则 2 2 D = + x y d 原式 2 1 0 0 d r rdr = 2 3 = 2 2 13. {( , ) | 2 }, ( , ) D D x y x y y f x y d = + 设二重积分区域 二重积分 在极坐标系下的二次积分为 D r : 0 , 0 2sin 2 sin 0 0 d f r r rdr ( cos , sin )