北京化工大学：《微积分》课程授课教案（PPT课件）建模思想融入专题——方向导数与梯度

教学单元案例：方向导数与梯度 一袁文燕 第八章多元函数微分法及其应用 第七节方向导数与梯度 教学目的 L.使学生正确理解方向导数(Directional Derivatives)、梯度(Gradient)的基本概念及其 几何意义。 2.使学生能够利用方向导数和梯度的概念及几何意义解决实际问题，培养学生理论联系实 际的能力 教学重点 1,方向导数和梯度的概念、几何意义及计算方法。 2.梯度的概念、几何意义和计算方法。 3.方向导数与梯度之间的联系。 教学难点 1.方向导数的几何意义：函数沿方向的变化率。 2,梯度的概念：梯度的大小及方向。 3.梯度与等值线（面）的法向量之间的联系。 教学用时 50分钟 教学对象 切学 高等数学的学生 使用建议 本教案是为了学生更好地理解方向导数、梯度和等值线（面）的概念而设计的。由于高等数 学的内容多，课时并不是富余到可以有较多的时间来讲数学与实际的联系，因此个人认为如 何紧扣教学内容而同时将一些短小精悍的实际例子贯穿在教学中是将数学建模融入高等数 学教学中的一个可行的途径。本教案基于这样的出发点，结合矿业大学编写的多媒体教案 由实例1提出问题，为解决问题提出数学概念：方向导数和梯度，概念及计算方法介绍完毕 后，通过实例1（虚拟问题）和实例2（自然现象）分析问题的本质、揭示问题与梯度的内 在联系，从而解决问题（解释现象）。通过这些环节的贯彻，加深学生对梯度的几何意义的 理解，同时将等值线与等温线和熟悉的等高线（初中地理知识）联系起来，使学生能够了解 学习到的抽象的数学概念的实际应用。本教案将笔者认为的重点都清楚标明，何时提出问题、 何时应当强调等都给予了提示。 在本章第二节我们曾经提到偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现 象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的，例如热空气要向冷的地方流动， 气象学中就要确定大气温度、气压沿若某些方向的变化率，因此我们有必要来讨论函数沿任 一指定方向的变化率问题。 【实例1】一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3).在坐 标原点处有一个火焰，它使金属板受热。假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成 反比.在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚊应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？

教学单元案例：方向导数与梯度 ---- 袁文燕 第八章 多元函数微分法及其应用 第七节 方向导数与梯度 教学目的 l．使学生正确理解方向导数 (Directional Derivatives)、 梯度（Gradient) 的基本概念及其 几何意义。 2．使学生能够利用方向导数和梯度的概念及几何意义解决实际问题，培养学生理论联系实 际的能力。 教学重点 1．方向导数和梯度的概念、几何意义及计算方法。 2．梯度的概念、几何意义和计算方法。 3．方向导数与梯度之间的联系。 教学难点 l．方向导数的几何意义：函数沿方向的变化率。 2．梯度的概念：梯度的大小及方向。 3．梯度与等值线（面）的法向量之间的联系。 教学用时 50 分钟 教学对象 一切学习高等数学的学生 使用建议 本教案是为了学生更好地理解方向导数、梯度和等值线（面）的概念而设计的。由于高等数 学的内容多，课时并不是富余到可以有较多的时间来讲数学与实际的联系，因此个人认为如 何紧扣教学内容而同时将一些短小精悍的实际例子贯穿在教学中是将数学建模融入高等数 学教学中的一个可行的途径。本教案基于这样的出发点，结合矿业大学编写的多媒体教案， 由实例 1 提出问题，为解决问题提出数学概念：方向导数和梯度，概念及计算方法介绍完毕 后，通过实例 1（虚拟问题）和实例 2（自然现象）分析问题的本质、揭示问题与梯度的内 在联系，从而解决问题（解释现象）。通过这些环节的贯彻，加深学生对梯度的几何意义的 理解，同时将等值线与等温线和熟悉的等高线（初中地理知识）联系起来，使学生能够了解 学习到的抽象的数学概念的实际应用。本教案将笔者认为的重点都清楚标明，何时提出问题、 何时应当强调等都给予了提示。 在本章第二节我们曾经提到偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现 象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的，例如热空气要向冷的地方流动， 气象学中就要确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率，因此我们有必要来讨论函数沿任 一指定方向的变化率问题。 【实例 1】 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐 标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成 反比．在 (3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？

女十古中古★立 图1 【强调】应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行！ 【问题】何为温度变化最剧烈的方向？ 【启发诱导】要解决上述问题首先我们要了解温度沿着某方向的变化常是如何度量的。 一.方向导数(Directional Derivatives) 1.方向导数的定义 定义1：若函数f(xy,)在点P(x,y,)处沿方向1（方向角为α，B,y)存在下列极限： 11 g=m红+Ay+Ayx+A)-f- △ △p p P=V(△x)2+(4)2+(△) △x=pcosa,.Ay=cosB,△=cosy /P(x,,z) 则路哥为函数在点Px)处沿方向的方向导。 图2 定理1若函数f(x,八，)在点P(x,以，)处可微，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存 在，且有 其中a,B,y为1的方向角。 证明：由函数(x,y,)在点P(x,水，)处可微，得 y-a++gy+ =gasa+goasp+兰oas+dpl 故言-马告gmu+gm+goy

图 1 【强调】 应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行！ 【问题】 何为温度变化最剧烈的方向？ 【启发诱导】 要解决上述问题首先我们要了解温度沿着某方向的变化率是如何度量的。 一. 方向导数 (Directional Derivatives) 1.方向导数的定义 定义 1：若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处沿方向 l （方向角为 , , ）存在下列极限： l f f x x y y zx z f x y z f   =  +  +  +  − =  →  →  ( , , ) ( , , ) lim lim 0 0          =  =  = =  +  +       cos , cos , cos ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z x y z 则称 l f   为函数在点 P(x, y,z) 处沿方向 l 的方向导数。 图 2 定理 1 若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存 在，且有 cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   其中 , , 为 l 的方向角。 证明：由函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微，得  + ()    +    +    = z f y y f x x f f ( cos cos  cos ) + ()   +   +   = z f y f x f 故 =  =   →  f l f 0 lim cos cos  cos z f y f x f   +   +   。 l P(x, y,z)  P 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

【问题】方向导数与偏导数之间的关系是什么？ 【问题】可否给出二元函数的方向导数的概念？ 对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿方向1（方向角为，B)的方向导数为 哥=mg-典+-》 △p =f,cosa+f cosB （p=axy+(aF △x=pcosa,Ay=cosB 之当与抽反向（口=0B=2)欧省哥-盖 2.方向导数的几何 对于二元函数f(x,y)在点P(x,y)处沿方向1（方向角为，B)的方向导数方程 :=(x,)表示空间曲面S,若0=f(x,%),则点P(x0,o,)在曲面上，过P和 P(x。,)的平行于立的竖直平面交曲面S于曲线C,∫沿方向7的变化率是C在点P的 切线的斜率。（图3选自《Thomas微积分》 +m0+s)-f) (+%+m) Bw)日=+j 图3 例1求函数1=x2z在点P(1,1,1)沿向量1=(2，-1,3)的方向导数。 解：向量的方向余弦为 1 cosa=府eosB-4osy店

【问题】 方向导数与偏导数之间的关系是什么？ 【问题】 可否给出二元函数的方向导数的概念? 对于二元函数 f (x, y) 在点 P(x, y) 处沿方向 l （方向角为 , ）的方向导数为     +  +  − =  =   → → ( , ) ( , ) lim lim 0 0 f f x x y y f x y l f = f x cos + f y cos           =  = =  +      cos , cos ( ) ( ) 2 2 x y x y 【强调】 1. 当 l 与 x 轴同向（ 2 0,  =  =  ）时，有 x f l f   =   2. 当 l 与 x 轴反向（  = 0, =  ）时，有 x f l f   = −   2.方向导数的几何 对于二元函数 f (x, y) 在点 P(x, y) 处沿方向 l （方向角为 , ）的方向导数 方程 z = f (x, y) 表示空间曲面 S ，若 ( , ) 0 0 0 z = f x y ，则点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 在曲面上，过 P 和 ( , ) 0 0 0 P x y 的平行于 u  的竖直平面交曲面 S 于曲线 C ， f 沿方向 u  的变化率是 C 在点 P 的 切线的斜率。（图 3 选自《Thomas 微积分》） 图 3 例 1 求函数 u x yz 2 = 在点 P(1,1,1) 沿向量 l = (2,−1,3)  的方向导数。 解：向量 l  的方向余弦为 14 2 cos = ， 14 1 cos −  = ， 14 3 cos =

3 品点品 6 【注意】求方向导数的两个基本要素：1)各个偏导数2)方向的方向余兹 例2.求函数：=3x2y-y2在点P(2,3)沿曲线y=x2-1的切线朝x增大方向的方向导 数。 解：将已知曲线用参数方程表示为 ∫x=x y=x2-1 它在点P的切向量为(1,2x2=(1,4),朝x增大方向的方向余弦为 4 cosa=而'casB= 六-器 60 【强调】本例的一个要点是平面曲线的切向量的求法。 例3.设n是曲面2x2+3y2+2=6在点P1,1)处指向外侧的法向量，求函数 M=6+8严在点PD处沿方向万的方向导数。 解：曲面2x2+3y2+2=6在点P111)处的一个法向量为 i=(4x,6y,2=p=2(2,3,1) 此法向量指向曲面的外侧，其方向余弦为 cosacocos 品 6x 同理可得 是- 烈-7624834a-号 【强调】说明什么是指向外（内）侧的法向量。 【练习】求函数u=xy2+3-xz在点M11,2)处沿方向角a=π13，B=π/4，y=π/3

(1,1,1) 2 2 14 3 14 1 14 2 2       =  −  +     xyz x z x y l u p = 14 6 【注意】求方向导数的两个基本要素：1）各个偏导数 2）方向的方向余弦 例 2． 求函数 2 2 z = 3x y − y 在点 P(2,3) 沿曲线 1 2 y = x − 的切线朝 x 增大方向的方向导 数。 解： 将已知曲线用参数方程表示为    = − = 1 2 y x x x ， 它在点 P 的切向量为 (1,2 ) (1,4) x x=2 = ，朝 x 增大方向的方向余弦为 17 1 cos = ， 17 4 cos  = 图 4 17 60 17 4 (3 2 ) 17 1 6 (2,3) 2 =         =  + −    x y x y l z p 【强调】 本例的一个要点是平面曲线的切向量的求法。 例 3． 设 n  是曲面 2 3 6 2 2 2 x + y + z = 在点 P(1,1,1) 处指向外侧的法向量，求函数 z x y u 2 2 6 + 8 = 在点 P(1,1,1) 处沿方向 n  的方向导数。 解： 曲面 2 3 6 2 2 2 x + y + z = 在点 P(1,1,1) 处的一个法向量为 = (4 ,6 ,2 ) = 2(2,3,1) P n x y z  此法向量指向曲面的外侧，其方向余弦为 14 2 cos = ， 14 3 cos  = ， 14 1 cos = 图 5 而 14 6 6 8 6 2 2 = + =   P P z x y x x u 同理可得 14 8 =   P y u ， = − 14   P z u  7 11 (6 2 8 3 14 1) 14 1 =  +  −  =   n P u 【强调】 说明什么是指向外（内）侧的法向量。 【练习】求函数 u = xy + z − xyz 2 3 在点 M (1,1,2) 处沿方向角  =  / 3, =  / 4, =  / 3 o x y 2 P −1 o x y 2 P −1

的方向的方向导数。 定义：设函数fx,y)在区域D内具有连续偏导数，则对于每一点P,(xo,o)ED可定义一 个向量 f(x0%)i+f(x,%)j 这个向量称为函数f(x,)在点D(x,o)的梯度，记作gadf(xo,%),即 几-层引。=i+儿i 【问题】可否给出三元函数梯度的概念？ 同样可以定义三元函数fx,y,)在点P(x。,。,)的梯度 n信等 由定理可知当函数可微时，方向导数可由下式计算： 哥=小csa+f小sB 由于gudn=/n),记i0=(cosa,cos),则上式可转化为 。=gad几P 7°=(cosa,cosB)是单位向量，因此 grad coad 【启发诱导】 D当7°与grad八。方向一致时，（即两向量的夹角为0，方向导数取最大值， m人)adn, 2)当7°与gadf八。方向相反时，（即两向量的夹角为π），方向导数取最小值， ml。)=gmd几 3)当7°与gadf八。垂直时，方向导数为0

的方向的方向导数。 二． 梯度(Gradient) 1. 梯度的定义 定义：设函数 f (x, y) 在区域 D 内具有连续偏导数，则对于每一点 P0 (x0 , y0 ) D 可定义一 个向量 f x y i f x y j x y   ( , ) ( , ) 0 0 + 0 0 这个向量称为函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的梯度，记作 ( , ) 0 0 grad f x y ，即 f i f j y f x f grad f P x P y P P   0 0 0 0 , = +             = 【问题】 可否给出三元函数梯度的概念? 同样可以定义三元函数 f (x, y,z) 在点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 的梯度 f i f j f z k z f y f x f grad f P y P x P y P P    0 0 0 0 0 , , = + +               = 。 由定理可知当函数可微时，方向导数可由下式计算： P0 l f   cos cos  0 P0 x P y = f + f 由于 ( , ) 0 0 0 P P x P y grad f = f f ，记 (cos ,cos ) 0 l =    ，则上式可转化为 =   P0 l f 0 0 grad f l P   (cos ,cos ) 0 l =    是单位向量，因此 =   P0 l f cos( , ) 0 0 0 grad f grad f l P P   【启发诱导】 1） 当 0 l  与 P0 grad f 方向一致时，（即两向量的夹角为 0），方向导数取最大值， =   max( ) P0 l f P0 grad f 2） 当 0 l  与 P0 grad f 方向相反时，（即两向量的夹角为  ），方向导数取最小值， =   min( ) P0 l f - P0 grad f 3） 当 0 l  与 P0 grad f 垂直时，方向导数为 0

【结论】 D梯度方向：∫变化率最大的方向 模：∫最大变化率 2)函数的方向导数为梯度在该方向上的投影。 例4求函数u=(x2+y2+z2)在点M1,2,-2)处的梯度。 -信器刽 解： (ee9e2 2y 2: 【练习】求函数u=(x2+y2)+e2在点ML0,0)处的梯度. 2.梯度的几何意义 对数：=化功：F=在心面上的影：=为质数 2=C 的等值线。 设厂，了，不同时为0，则等值线上点P处的一个法向量为 (f.f)p =grad fe 同样，对应函数u=f(x,y,)有等值面（等量面）fx,水，)=c,当各偏导数不同时为0 时，其上点P处的一个法向量为gad八p。 【结论】由上述讨论可知函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线），指向函数增大 的方向：梯度的反方向（负梯度方向）指向函数值减小的方向。 实例一的解答何为温度变化最剧烈的方向？

【结论】 1）梯度    模： 最大变化率 方向： 变化率最大的方向 f f 2） 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影。 例4 求函数 ln( ) 2 2 2 u = x + y + z 在点 M (1,2,−2) 处的梯度。 解： M M z u y u x u grad u               = , , = (1,2, 2) 9 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1,2, 2) = −         + + + + + + − x y z z x y z y x y z x 【练习】求函数 2 2 2 2 ln( ) x z u x y e + = + + 在点 M (1,0,0) 处的梯度。 2. 梯度的几何意义 对函数 z = f (x, y) ，曲线    = = z c z f (x, y) 在 xoy 面上的投影 L : f (x, y) = c * 称为函数 f 的等值线。 设 x y f , f 不同时为 0，则等值线上点 P 处的一个法向量为 x y P P ( f , f ) = grad f 同样，对应函数 u = f (x, y,z) 有等值面（等量面） f (x, y,z) = c ，当各偏导数不同时为 0 时，其上点 P 处的一个法向量为 P grad f 。 【结论】由上述讨论可知函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线），指向函数增大 的方向；梯度的反方向（负梯度方向）指向函数值减小的方向。 实例一的解答 何为温度变化最剧烈的方向？ 图 6 1 2 3 4 5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 3 X Y Z

由问题的已知条件可知，金属板上每一点的温度为T(x,y)=一 ,其中k是比 x2+y2 例常数。 由上面的结论可可知，在每占温度下降最快的方向就是负梯度方向。在金屈板上各占处祖 度的梯度为 gradT(x.y)= kx ky 2+g+y 等值线方程为x2+y2=()2,随着c的不同得到不同的等温线（即等值线）。 画出温度函数的等值线（图7）。 图7 由梯度的几何意义可知蚂蚊应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点。 【注意】通过观察图形，对比不同方向对于蚂蚊较快达到凉爽地点的作用，鼓励学生自己 找到解答，而不是老师直接将答案说出。 实例二： 西点军校地形图（本问题选自《Thomas微积分》） 图8 【问题】支流是如何流向Hudson河的？ 等高线实际上就是上面所介绍的等值线，相邻两条等高线相差的高度是相同的，在本列 中为100英尺。观察地图，会注意到支流垂直于等高线流动。支流沿着最陡峭的路径流动

由问题的已知条件可知，金属板上每一点的温度为 2 2 ( , ) x y k T x y + = ，其中 k 是比 例常数。 由上面的结论可知，在每点温度下降最快的方向就是负梯度方向。在金属板上各点处温 度的梯度为         + − + = − 2 3 2 3 ( ) , ( ) ( , ) 2 2 2 2 x y k y x y k x grad T x y 等值线方程为 2 2 2 ( )c k x + y = ，随着 c 的不同得到不同的等温线（即等值线）。 画出温度函数的等值线（图 7）。 图 7 由梯度的几何意义可知蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点。 【注意】 通过观察图形，对比不同方向对于蚂蚁较快达到凉爽地点的作用，鼓励学生自己 找到解答，而不是老师直接将答案说出。 实例二：西点军校地形图（本问题选自《Thomas 微积分》） 图 8 【问题】 支流是如何流向 Hudson 河的？ 等高线实际上就是上面所介绍的等值线，相邻两条等高线相差的高度是相同的，在本列 中为 100 英尺。观察地图，会注意到支流垂直于等高线流动。支流沿着最陡峭的路径流动， 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x y -grad f grad f

以便河水尽可能快地到达Hudson河。 【注意】鼓励学生讨论，学会观察，自己寻找答案。 【提问】可否举出其它有关梯度的例子？（如爬山时应沿哪个方向爬最快到达山顶（不考虑 是否费)0 【总结】1.方向导数的概念及几何意义（注意方向导数与一般所说的偏导数的区别.） 2。梯度的概念及几何意义 3.方向导数与梯度的关系 【思考题】讨论函数：=√x2+y2在(0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？

以便河水尽可能快地到达 Hudson 河。 【注意】 鼓励学生讨论，学会观察，自己寻找答案。 【提问】 可否举出其它有关梯度的例子?(如爬山时应沿哪个方向爬最快到达山顶(不考虑 是否费力)?) 【总结】 1. 方向导数的概念及几何意义(注意 方向导数与一般所说的偏导数的区别.) 2. 梯度的概念及几何意义 3. 方向导数与梯度的关系 【思考题】 讨论函数 2 2 z = x + y 在(0,0)点处的偏导数是否存在?方向导数是否存在?