第一节差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构 一、差分的概念 二、差分方程的概念 三、常系数线性差分方程解的结构 四、小结 经济数学 微积分
一、差分的概念 二、差分方程的概念 三、常系数线性差分方程解的结构 第一节 差分与差分方程的概念 常系数线性差分方程解的结构 四、小结
一、差分的概念 1.差分的定义 设函数y=f(x).当x取非负整数时， 函数值可以排成一个颧列： f(0),f(1),…,f(x),f(x+1),. 将之简记为 Jy03y1y2,Jyx’yx+1… 称函数的改变量+1一y为函数的差分， 也称为一阶差分，记为yx=yx+1一yx 经济数学 微积分
一、差分的概念 1.差分的定义 Δ . , (0) (1) ( ) ( 1) : ( ). 1 1 0 1 2 1 x x x x x x x y y y y y y y y y y y f f f x f x y f x x = − − + = + + + 也称为一阶差分，记为 称函数的改变量 为函数 的差分， ， ， ， ， ， 将之简记为 ， ， ， ， ， 函数值可以排成一个数列 设函数 当 取非负整数时，
函数y=f(x)的二阶差分为函数的一阶差分的 差分，即 A2ys =A(Ays)=A(yx+I-yx) =(Vx+2-x+i)-(yx+-yx) =yx+2-2y+1+yx 同样可定义三阶、四阶…差分： △3y=△（△2y),△4y=△（△3yx) 高阶差分：二阶及二以上的差分 经济数学 微积分
x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y f x y = − + = − − − = = − = + + + + + + 2 1 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) Δ Δ(Δ ) Δ( ) , ( ) 差 分 即 函 数 的二阶差分为函数的一阶差分的 高阶差分：二阶及二阶以上的差分. ( ), ( ) 3 2 4 3 x x x x y = y y = y 同样可定义三阶、四阶差分：
例1求△(x2),△2(x2),△3(x2): 解 设y=x2,则 △y=△(x2)=(x+1)2-x2=2x+1 △2y.=△2(x2)=△(2x+1) =[2(x+1)+1]-(2x+1)=2 3yx=△3(x2)=2-2=0 经济数学 微积分
例 1 求 ( ), ( ), ( ) 2 2 2 3 2 x x x . 解 设y = x 2 ，则( ) ( 1) 2 1 2 2 2 yx = x = x + − x = x + 2( 1) 1 (2 1) 2 ( ) (2 1) 2 2 2 = + + − + = = = + x x yx x x ( ) 2 2 0 3 3 2 y x = x = − =
例2求下列函数的差分 (1)y=log x; (2)y sinax 解(I)Ayx=yx+1-yx log (x+1)-logx =g.u+ (2)Ay =sina(x+1)-sinax -2cosa(x+)sin 经济数学 微积分
解 例 2 求下列函数的差分 y x y ax a (1) = log ; (2) = sin); 1 log (1 log ( 1) log (1) 1 x x x y y y a a a x x x = + = + − = + − . 2 ) sin 2 1 2cos ( (2)Δ sin ( 1) sin a a x y a x ax x = + = + −
例3求y=x!的一阶差分，二阶差分 解yx=yx+1-yx =(x+1)-x! =x·x! 2y=A(Ay)=A(x·x) =(x+1)(x+-xx =(x2+x+1e: 经济数学 微积分
解 = (x + 1)!−x! 例3求y = x! 的一阶差分，二阶差分. x x x y = y − y +1 = x x! ( ) ( !) 2 yx = yx = x x = (x +1)(x +1)!−x x! ( 1) ! 2 = x + x + x
例4设y=xm)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1), x0=1,求Ay(即△(x) 解△yx=(x+1)m-xm =(x+1)x(x-1)…(x+1-n+1)-x(x-1) …(x-n+2)(x-n+1) =[(x+1)-(x-n+1]x(x-1)…(x-n+2) =nx(n-1) (公式) 经济数学 微积分
解 ( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ) − + − + = + − + − + − − = + − x n x n x x x x n x x y x x n n x = (x +1) −(x − n +1)x(x −1)(x − n + 2) ( −1) = n nx 1 Δ ( Δ( )). 4 ( 1)( 2) ( 1), (0) ( ) ( ) n x n x y x y x x x x x n ， 求 即 例 设 = = = − − − + （公式）
2.差分的四则运算法则 (I)△(Cyx)=C△y(C为常数) (2)△(yx+zx)=Ayx+△zx 3)△(yz)=yx+1Az+zAyx=yAz:+乙x+Ayx ）5: Zx乙x+1 乙x乙x+l 参照导数的四则运算法则学习 经济数学 微积分
(1) (Cy ) C y (C为常数) x = x x x x x (2)( y + z ) = y + z 2.差分的四则运算法则 ( ) ( ) x x x x x x x x x x y z = y z + z y = y z + z y 3 +1 +1 ( ) 1 1 1 1 4 + + + + − = − = x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y 参照导数的四则运算法则学习
证明（3) Av) =yx+1Zx+1-yx'Zx =Jyx+1乙x+1-yZx+1+Jyx3x+1-yx乙x =(6y1-yx)21+y(21-z） =ZxHAyx +yAzx 经济数学 微积分
( ) x x x x x x y z y z y z = − +1 +1 x x x x x x x x = y z − y z + y z − y z +1 +1 +1 +1 ( ) ( ) x x x x x x = y − y z + y z − z +1 +1 +1 x x x x z Δy y Δz = +1 + 证明（3）
又证明（3) A(v) =yx+1乙x+1-yx·Zx =yx+1x+1yx+x+y+x-yxx =ysHxm-zx)+s-ys)is yxtAZx +ZAyx 经济数学 微积分
( ) x x x x x x y z y z y z = − +1 +1 x x x x x x x x = y z − y z + y z − y z +1 +1 +1 +1 又证明（3） ( ) ( ) x x x x x x = y z − z + y − y z +1 +1 +1 x x x x y Δz z Δy = +1 +
