北京化工大学2008一2009学年第一学期 《线性代数》期末考试试卷 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 三 总分 得分 一、选择题（每题3分） b+cc+aa+b 1.设a,b,c两两互异，则abc =0的充要条件是 3 b2 c2 (A)abc=0: (B)a+b+c=0: (C)a=1,b=-1,c=0:D)ad2=b2,c=0。 2.设A,B是同阶方阵，则下面命题中成立。 (A)若A或B可逆，则AB可逆；(B)若A或B不可逆，则AB不可逆： (C)若A且B可逆，则A+B可逆；(D)若A且B不可逆，则A+B不可逆。 3.n阶方阵可逆的充要条件是一。 (A)任一行向量都是非零向量：B)任一列向量都是非零向量： (C)存在一个维列向量b,使得A红=b有解： (D)当x=(x,x2,…,x)了≠0时，总有Ar≠0。 4.若A与B相似，则 第1页
第 1 页 北京化工大学 2008——2009 学年第一学期 《线性代数》期末考试试卷 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（每题 3 分） 1．设 abc , , 两两互异，则 2 2 2 0 b c c a a b a b c a b c + + + = 的充要条件是 。 （A） abc = 0 ； (B) abc + + = 0 ； (C) a b c = = − = 1, 1, 0 ；(D) 2 2 a b c = = , 0。 2．设 A B, 是同阶方阵，则下面命题中 成立。 (A) 若 A 或 B 可逆，则 AB 可逆；(B) 若 A 或 B 不可逆，则 AB 不可逆； (C) 若 A 且 B 可逆，则 A B+ 可逆；(D) 若 A 且 B 不可逆，则 A B+ 不可逆。 3． n 阶方阵可逆的充要条件是 。 (A) 任一行向量都是非零向量；(B) 任一列向量都是非零向量； (C) 存在一个维列向量 b ，使得 Ax b = 有解； (D) 当 1 2 ( , , , ) 0 T n x x x x = 时，总有 Ax 0。 4．若 A 与 B 相似，则
(A)1E-A=元E-B: (B)E-A=E-B: (C)对相同的特征值，A,B有相同的特征向量： (D)AB都与同一个对角矩阵相似。 5.设线性变换T在基5,5下的矩阵为。0》，则T在基5,5十6，下的矩阵为一 00 二、计算题（每题15分） 1.解方程 1111 248 =0 -24-8 第2页
第 2 页 (A) E A E B − = − ； (B) E A E B − = − ； (C) 对相同的特征值， A B, 有相同的特征向量； (D) A B, 都与同一个对角矩阵相似。 5．设线性变换 T 在基 1 2 , 下的矩阵为 1 0 0 0 ，则 T 在基 1 1 2 , + 下的矩阵为 。 (A) 1 1 0 0 − ；(B) 1 0 1 0 − ；(C) 1 1 0 0 ；(D) 1 0 1 0 。 二、计算题 （每题 15 分） 1．解方程 2 3 1 1 1 1 1 2 4 8 0 1 2 4 8 1 x x x = − −
2.设 12-3-2 1201 B- 012-3 0120 C= 001 2 0012 0001 0001 求满足条件(2E-CB)4=C的矩阵A,其中E是四阶单位矩阵。 第3页
第 3 页 2．设 1 2 3 2 0 1 2 3 , 0 0 1 2 0 0 0 1 B − − − = 1 2 0 1 0 1 2 0 , 0 0 1 2 0 0 0 1 C = 求满足条件 1 1 (2 ) T E C B A C − − − = 的矩阵 A ，其中 E 是四阶单位矩阵
3.己知线性方程组 +x3+53+x4+x=a, 3x+2x2+x+x-3x=0, x2+2x3+2x4+6x6=b, 5x+4x3+3x3+3x-x=2 (1)a,b为何值时，方程组有解？ (2)求导出方程组的一个基础解系： (3)方程组有解时，求通解。 第4页
第 4 页 3．已知线性方程组 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 4 6 1 2 3 4 5 , 3 2 3 0, 2 2 6 , 5 4 3 3 2 . x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x + + + + = + + + − = + + + = + + + − = （1） a b, 为何值时，方程组有解？ （2）求导出方程组的一个基础解系； （3）方程组有解时，求通解
4.设 311 A=120 102 (1)求A的所有特征值和特征向量； (2)求正交矩阵P,使PAP为对角矩阵，并写出这个对角矩阵。 第5页
第 5 页 4．设 3 1 1 1 2 0 1 0 2 A = ， （1）求 A 的所有特征值和特征向量； （2）求正交矩阵 P ，使 T P AP 为对角矩阵，并写出这个对角矩阵
5.己知R2的线性变换T在基8，=1,0)'，8，=(0,1)了下的矩阵为 46》 求T在基G-62,36,+462下的矩阵。 第6页
第 6 页 5．己知 2 R 的线性变换 T 在基 1 2 (1,0) , (0,1) T T = = 下的矩阵为 2 3 , 4 3 A = 求 T 在基 1 2 1 2 − + , 3 4 下的矩阵
三、证明题（每题5分） 已知m个向量a,a,,an线性相关，但其中任意m-1个都线性无关。 1.证明：如果存在数k,k2,…,kn,使得k%+ka2++kgn=0,则或 k,k2,…,km全为0，或k,k2,…,kn全不为0。 2证明：如果ka+ka++kan=0,1a+l,4+…+1an=0，且≠0，则 -k==。 第7页
第 7 页 三、证明题（每题 5 分） 已知 m 个向量 1 2 , , , m 线性相关，但其中任意 m−1 个都线性无关。 1．证明：如果存在数 1 2 , , , m k k k ，使得 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = ，则或 1 2 , , , m k k k 全为 0，或 1 2 , , , m k k k 全不为 0。 2 证 明 : 如 果 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = ， 1 1 2 2 0 m m l l l + + + = ， 且 1 l 0 ， 则 1 2 1 2 m m k k k l l l = = =