北京化工大学：《微积分》课程授课教案（PPT课件）经济专题——差分方程 第四节 差分方程的简单经济应用

第四节差分方程的简单经济应用 一、差分方程的简单经济应用 二、小结 经济数学 微积分

一、差分方程的简单经济应用 二、小结 第四节 差分方程的简单经济应用

一、差分方程的简单经济应用 差分方程在经济领域的应用十分广泛，下面从 具体的实例体会其应用的场合和应用的方法。 例一：（存款模型设S,为年存款总额，r为年利率， 设S1=S,+S,且初始存款额为S,求年末的 本利和 解 S+1=S,+S 即 S41-(1+rjS,=0 经济数学 微积分

一、差分方程的简单经济应用 差分方程在经济领域的应用十分广泛，下面从 具体的实例体会其应用的场合和应用的方法.   . 1 0 本利和 设 ，且初始存款额为 ，求 年末的 例一：存款模型 设 为 年存款总额， 为年利率， S S rS S t S t r t t t t    解 t t t S 1  S  rS 即 St1  1 rSt  0

这是一个一阶常系数线性齐次差分方程. 特征方程为2-(1+r)=0, 特征方程的根为2=1+”， 于是齐次方程的通解为S,=C(1+r} 代入初始条件，得C=S。 因此，年末的本利和为S,=S1+r. 这就是一笔本金S存入银行后，年利率为”， 按年复利计息，年末的本利和. 经济数学 微积分

特征方程为   1 r  0， 特征方程的根为   1 r， 这是一个一阶常系数线 性齐次差分方程 . 于是齐次方程的通解为   t t S  C 1 r 代入初始条件，得C  S0 因此，t年末的本利和为 1  . 0 t t S  S  r . 0 按年复利计息， 年末的本利和 这就是一笔本金 存入银行后，年利率为 ， t S r

例2设P,S和D,分别为某种商品在t时刻的价格、 供给量和需求量，这里t且取离散值， 例如t=0,1,2,3,…,由于t时刻的供给量S,决定于 时刻的价格，且价格越高，供给量越大，因此 常用的线性模型为 S,=-c+dP,, 同样的分析可得 D,a-bP 这里a,b,c,d均为正常数. 经济数学 微积分

. 0 1 2 3 2 , 这里 ， ， ， 均为正常数 同样的分析可得 ， 常用的线性模型为 时刻的价格，且价格越 高，供给量越大，因此 例如 ，，，， ，由于 时刻的供给量 决定于 供给量和需求量，这里 且取离散值， 例 设 和 分别为某种商品在 时刻的价格、 a b c d D a bP S c dP t t t S t P S D t t t t t t t t t       

实际情况告诉我们， t时期的价格P由t一1时期的价格P与供给量 与需求量之差S-1-D,,按下述关系 P=P-1-(S1-D-1) 而确定（其中为常数). 1求供需相等时的价格P(均衡价格)； 2.求商品的价格随时间的变化规律. 经济数学 微积分

  . 1 1 1 1 1 1 1 而确定（其中 为常数） 与需求量之差 ，按下述关系 时期的价格 由 时期的价格 与供给量 实际情况告诉我们，              t t t t t t t t P P S D S D t P t P 2. . 1. ( 求商品的价格随时间的 变化规律 求供需相等时的价格Pe 均衡价格）；

解1.由D,=S,可得，卫.= a+c b+d 2.由题意可得 P=P-1-(S,-1-D,) =P-1-(a+bP,-1-(c-dP-》 即 P,-(1-b2-d)P,-1=(a+c) 这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程. 其齐次方程的通解为 经济数学 微积分

解 由 可得， ； b d a c Dt St Pe   1.     1 1 1 2. Pt  Pt   St  Dt 由题意可得     t1    t1   t1 P  a bP c dP P  b d P a c 即 t  1    t1    这是一个一阶常系数线 性非齐次差分方程 . 其齐次方程的通解为

P,=C1-b2-d) 原方程的一个特解为 p'= a+c =P。 b+d 原方程的通解为 P,=Cl-b2-dy+P。 由于初始条件P一般已知，故由P=C+P 可得C=P-P 从而，P,=(P-P1-b2-dy+P. 经济数学 微积分

  t t P  C 1 b  d 原方程的一个特解为 t Pe b d a c P      原方程的通解为   e t Pt  C 1 b  d  P 可得 ， 由于初始条件 一般已知，故由 e e C P P P P C P     0 0 0  1  . 0 e t 从而，Pt  P  Pe  b  d  P

例3在农业生产中，种植先于产出及产品出售 一个适当的时期，时期该产品的价格P决定着 生产者在下一时期愿意提供给市场的产量S+ 还决定着本时期该产品的需求量D,因此有 D,=a-bP:S,=-c+dP 其中a,b,c,d均为正常数） 假设每一时期的价格总是确定在市场售清 的水平上，即S,=D 1求价格随时间变动的规律； 2.讨论市场价格的种种变化趋势. 经济数学 微积分

其中 ， ， ， 均为正常数  ， 还决定着本时期该产品 的需求量 ，因此有 生产者在下一时期愿意 提供给市场的产量 ， 一个适当的时期， 时期该产品的价格 决定着 例 在农业生产中，种植先 于产出及产品出售 a b c d D a bP S c dP D S t P t t t t t t t 1 1 3        . 的水平上，即St  Dt 假设每一时期的价格总是确定在市场售清 2. . 1. 讨论市场价格的种种变 化趋势 求价格随时间变动的规 律；

1.由S,=D,可得，-c+dP-1=a-bP 解 即bP,+dP-1=a+C d 即p+P1= a+c b b 这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程 其齐次方程的通解为日=c() a+c 原方程的一个特解为 b+d 原方程的通解为 经济数学 微积分

解 t t dPt a bPt 1.由S  D 可得， c  1   这是一个一阶常系数线 性非齐次差分方程 . 其齐次方程的通解为 bP dP a c 即 t  t1   b a c P b d Pt t  即  1  t t b d P C         原方程的一个特解为 b d a c Pt     原方程的通解为 . b d a c b d P C t t           

由于初始条件P,一般已知，故由P。=C+ a+c b+d 可得C=卫 a+c b+d 从-(8-6+9 2.分析市场趋向的种种形态 A<1mR= =P a+c b+d 这说明市场价格趋于平衡，且特解P*= a+c b+d 是一个平衡价格. 经济数学 微积分

可得 ， 由于初始条件 一般已知，故由 b d a c C P b d a c P P C         0 0 0 . 0 b d a c b d b d a c P P t t                   从而   2.分析市场趋向的种种形 态 1  1 b d      t  t t P b d a c lim P 是一个平衡价格 . 这说明市场价格趋于平 衡，且特解 b d a c Pt    