第二节一阶常系数线性差分方程 一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结 经济数学 微积分
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 第二节一阶常系数线性差分方程 三、小结
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式 yx+1-yx=0(a≠0为常数 () 一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 yx+I-ays=f(x) (2) (a≠0为常数，f(x)≠0) 注)为2)所对应的一阶常系数次线性差分方程 经济数学 微积分
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式 一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 (1) (2) 注：(1)为(2)所对应的一阶常系数齐次线性差分方程. 0( 0 ) yx+1 − ayx = a 为常数 ( ) y x+1 − ay x = f x (a 0为常数，f (x) 0)
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 1.迭代法 y,x+1-yx=0(a≠0为常数 () 设y为已知，由方程)依次可得， y1=y0 y2=ay =a'yo y3=y2=°y0 经济数学 微积分
一 、 一阶常系数齐次线性差分方程的求解 1.迭代法 0( 0 ) yx+1 − ayx = a 为常数 (1) 设y0 为已知，由方程（1）依次可得， 1 ay0 y = 0 2 2 1 y = ay = a y 0 3 3 2 y = ay = a y
yx=aVx-1=a*Yo 容易验证，yx=y满足差分方程，令 =C为任意常数，于是差访程)的 通解为Y.=Ca. 例1求2y+1+yx=0的通解 1 解 a= 2 卷分方程的通解州=c（ 经济数学 微积分
. 0 1 0 x x x x Y C a y C y a y = = = 通解为 为任意常数，于是差分方程（） 的 容易验证， 满足差分方程，令 1 0 y ay a y x x = x− = 1 2 0 . 例 求 yx+1 + yx = 的通解 解 2 1 a = − . 2 1 x Yx C 差分方程的通解为 = −
2.特征根法 yx+1-yx=0(a≠0为常数 ) 方程)变形为 △y.+(1-a)y=0(a≠0为常数 根据△2x=（2-1)2, 可以看出y的形式一定为某一指数涵数. 设y=2"(2≠0)，代入)得 元+1-2x=0 经济数学 微积分
2.特征根法 0( 0 ) yx+1 − ayx = a 为常数 (1) 方程（1）变形为 y + (1− a)y = 0(a 0为常数) x x ( ) . 1 可以看出 的形式一定为某一指数函 数 根 据 ， x x x y = − 设yx = x ( 0)，代入（1） 得 0 1 − = x+ x a
即λ-a=0 特征方程 2=a 特征根 于是y=是(I)的一个解， 从而y=Ca是(I)的通解 用特征根法求例的通解 解 特征方程2九+1=0特征根2=-2 若分方程的通解，=个 经济数学 微积分
即 − a = 0 ＝a 特征方程 特征根 于 是yx = a x 是 （1）的一个解， 从 而 是 （1）的通解. x yx = Ca 用特征根法求例1的通解. 解 特征方程2 +1 = 0 . 2 1 x Yx C 差分方程的通解为 = − 2 1 特征根 = −
例2求3yx-y-1=0满足y=2的特解 解原方程可改写3y+1-yx=0 特征方程为32-1=0 特征根入=3 一差分方程的通解灯- 代入y0=2,得C=2 .所求差分方程的特解=2 经济数学 微积分
2 3 0 2 . 例 求 yx − yx−1 = 满 足y0 = 的特解 解 差分方程的通解为 ； x Yx C = 3 1 原方程可改写为3yx+1 − yx = 0 特征方程为3 −1 = 0 3 1 特征根 = 代入y0 = 2，得C = 2 . 3 1 2 x Yx 所求差分方程的特解为 =
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 yx+1-ayx=f(x) (2) (a≠0为常数，f(x)≠0) 一阶常系数非齐次线差分方程的通解由两 的和组成： 一项是该方程的一个解y, 另一项是对应的齐次紛方程的通解， 即差分方程Q)的通解为=Y+y: 经济数学 微积分
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 . x x Y y 另一项是对应的齐次差分方程的通解 一项是该方程的一个特解 ， 的和组成： 一阶常系数非齐次线性差分方程的通解由两项 2 . x = x + x 即差分方程（）的通解为y Y y ( ) (2) y x+1 − ay x = f x (a 0为常数，f (x) 0)
下面讨论特解的求法： 当右端(x)是某些特殊形式的函数射， 采用待定系数法求其解*较为方便 待定系数法假定待定的特解与f(x)的形式 相同然后将它们代入差分程，求出待定系数 即可求出特解. 经济数学 微积分
即可求出特解． 相 同然后将它们代入差分方程 求出待定系数 待定系数法 假定待定的特解 与 的形式 . , y f (x) x ( ) 采用待定系数法求其特解 较为方便. 当右端 是某些特殊形式的函数时 ， x y f x 下面讨论特解 的求法: x y
1.f(x)=pn(x)型 方程(2为y+1-yx=pn(x) 即△y+(1-a)y=pn(x) 设y是它的解，代入上式倀 △y*+(1-ayx*=pn(x) 由于p（x)是多项式，因此*也应该是多项式： 且y是n次多项式，△y是(n-1)次多项式 经济数学 微积分
f (x) = pn (x)型 方程(2)为y ay p (x) x+1 − x = n y ( a)y p (x) 即 x + 1− x = n 设 是它的解，代入上式得 x y y ( a)y p (x) x + − x = n 1 ( ) 且 是 次多项式， 是( 1)次多项式. 由 于 是多项式，因此 也应该是多项式， − y n y n p x y x x n x 1