北京化工大学2008—2009学年第二学期 《线性代数(40学时)》考试试卷 班级: 姓名: 学号: 分数: 题号 三 总分 得分 一、填空题(每题4分) 1.设A是4阶方阵,列分块为A=(A,A,A,A)。令 B=(A-A,A-A,4-A,A-A),则B=0。 a,ba,b2…abn 2.设A= aba2b2…a2bn 其中a≠0,b≠0,i=1,2…,n,则矩阵A的秩R(4A) ab ab2…anbn +x2=-a 3.线性方程组有解5+名=:的充要条件是4,4,4,4,满足4+a+4+a=0: x3+x4=-43 x+x=a 101) 4.设0是矩阵A=020的特征值,则a=1,A的另一特征值为2。 10a 5.二次型f%,2,3)=-4xx+2x+2x的秩为2,则1=0一 第1页
第 1 页 北京化工大学 2008——2009 学年第二学期 《线性代数(40 学时)》考试试卷 班级: 姓名: 学号: 分数: 题号 一 二 三 总分 得分 一、填空题(每题 4 分) 1.设 A 是 4 阶方阵,列分块为 A A A A A = ( 1 2 3 4 , , , ) 。令 B A A A A A A A A = − − − − ( 1 2 2 3 3 4 4 1 ,,, ) ,则 B = 0 。 2.设 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b = ,其中 0 i a , 0 i b ,i n =1,2 , ,则矩阵 A 的秩 R A( ) = 1 。 3.线性方程组有解 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 , , , x x a x x a x x a x x a + = − + = + = − + = 的充要条件是 1 2 3 4 a a a a , , , 满足 1 2 3 4 a a a a + + + = 0。 4.设 0 是矩阵 1 0 1 0 2 0 1 0 A a = 的特征值,则 a = 1 , A 的另一特征值为 2 。 5. 二次型 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x x x x x x x tx x ( , , ) 4 2 2 = − + + 的秩为 2 ,则 t = 0
二、计算题(每题14分) 1.用克莱姆法则解线性方程组 [2x+y=5, x-3z=-14,(1,3,5) 5y-2=10. 第2页
第 2 页 二、计算题(每题 14 分) 1.用克莱姆法则解线性方程组 2 5, 3 14, 5 10. x y x z y z + = − = − − = (1,3,5)
2.设 1) -1 -2 1 -2 5 as 4 -2 - 133 (1)求向量组的秩:3(居123 (2)求向量组的一个极大线性无关组,并用它线性表示其余向量。124, g=a-aa=-高a+写a 第3页
第 3 页 2.设 1 2 3 4 5 1 1 2 2 1 2 1 3 2 1 , , , , . 3 2 5 1 3 4 2 6 1 3 − − − − = = = = = − − − − (1) 求向量组的秩;3(居 123) (2) 求向量组的一个极大线性无关组,并用它线性表示其余向量。124, 3 1 2 = − , 5 2 4 5 1 3 3 = − +
3.对线性方程组 x-x2+x3+x=1 2x+x2+4x3+5x=6, x+2x2+3x+4x4=5, (1)求导出方程组的一个基础解系: (2)求方程组的通解。 第4页
第 4 页 3.对线性方程组 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1, 2 4 5 6, 2 3 4 5, x x x x x x x x x x x x − + + = + + + = + + + = (1) 求导出方程组的一个基础解系; (2) 求方程组的通解
4.设 0 (1)求A的所有特征值与特征向量: (2)求可逆矩阵P,使P-AP为对角矩阵,并写出这个对角矩阵: (3)对任意正整数k,求A。 第5页
第 5 页 4.设 1 1 1 1 A − = − , (1) 求 A 的所有特征值与特征向量; (2) 求可逆矩阵 P ,使 1 P AP − 为对角矩阵,并写出这个对角矩阵; (3) 对任意正整数 k ,求 k A
5.用正交线性替换化二次型f3,x,x)=+2x+3x-4x-4x,x为标准形,并写 出所用正交线性替换。 第6页
第 6 页 5.用正交线性替换化二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 f x x x x x x x x x x ( , , ) 2 3 4 4 = + + − − 为标准形,并写 出所用正交线性替换
三、证明题(10分) 设A是实对称矩阵。证明:若=0,则A=0。 第7页
第 7 页 三、证明题(10 分) 设 A 是实对称矩阵。证明:若 2 A = 0 ,则 A= 0