第一章行列式 本章安排 二（三）阶行列式 二 排列与逆序 行列式概念的形成（定义） 三 n阶行列式的定义 四 行列式的性质 行列式的基本性质及计算方法 五 行列式按行（列） 展开 六 Cramer法则 利用行列式求解线性方程组
第一章 行列式 一. 二（三）阶行列式 二. 排列与逆序 三. n 阶行列式的定义 四. 行列式的性质 五. 行列式按行（列）展开 六. Cramer 法则 行列式概念的形成 行列式的基本性质及计算方法 （定义） 利用行列式求解线性方程组 本章安排
本章主要讨论以上三个问题。 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 分析二、三元线性方程组求解过程 乳出 二阶、三阶行列式的概念
本章主要讨论以上三个问题。 首先来看行列式概念的形成 问题的提出： 分析二、三元线性方程组求解过程 二阶、三阶行列式的概念 引出
第一节二阶与三阶行列式 1.二阶行列式 二元线性方程组： 4火1+42S2=b 02X1+022S2=b, 由消元法，得 a021x1+L1,021x2=b421 01m0211+41m422X2=01b2 得 (a,z-04i)X2=4b-b, 同理，得 (a1422-a421)x1=b022-0b 于是，当4,2一4241≠0时，方程组有唯一解
第一节 二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式 二元线性方程组： + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 由消元法，得 + = + = 11 21 1 11 22 2 11 2 11 21 1 12 21 2 1 21 a a x a a x a b a a x a a x b a 得 11 22 12 21 2 11 2 1 21 (a a − a a )x = a b − b a 同理，得 11 22 12 21 1 1 22 12 2 (a a − a a )x = b a − a b 于是，当 a11a22 − a12a21 0 时，方程组有唯一解
b,a2-41b2 0b2-b021 01022-0z2 01,022-221 为便于记忆，采用记号 022 称 D 为二阶行列式 其中，数0(i=1,2;j=1,2) 称为二阶行列式元素 i为行标，表明元素位于第i行 j为列标，表明元素位于第列
11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 为便于记忆，采用记号 21 22 11 12 a a a a D = = a11a22 − a12a21 称 21 22 11 12 a a a a D = 为二阶行列式 其中 ，数 a (i = 1,2; j = 1,2) ij 称为二阶行列式元素 i 为行标，表明元素位于第 i 行 j 为列标，表明元素位于第 j 列
注： (1) 二阶行列式 02 算出来是一个数。 02 022 (2)运算方法：对角线法则 主对角线上元素之积一副对角线上元素之积 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 b42-4,b2=1 01022-01202i Db, 2 4b,-b4= 01L22-12421 D b
注： (1) 二阶行列式 算出来是一个数。 21 22 11 12 a a a a (2) 运算方法：对角线法则 主对角线上元素之积 － 副对角线上元素之积 因此，上述二元线性方程组的解可表示为 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a a b x − − = 2 22 1 1 12 b a b a D = 11 22 12 21 11 2 1 21 2 a a a a a b b a x − − = 21 2 1 11 1 a b a b D =
综上，令D 02 02 022 b D 么 D b 则， D D D 称D为方程组的系数行列式
综上，令 21 22 11 12 a a a a D = 2 22 1 12 1 b a b a D = 21 2 11 1 2 a b a b D = 则， D D x 1 1 = D D x 2 2 = 称 D 为方程组的系数行列式
例1： 解方程组 3x1-2x=12 2x+x2=1 3-2 解： 因为 D= 2 =3-(-4)=7≠0 12 -2 D、 =12-(-2)=14 D2= =3-24=-21 所以飞 D =2, -21 =-3
例1： 解方程组 + = − = 2 1 3 2 12 1 2 1 2 x x x x 解： 因为 2 1 3 − 2 D = = 3 − (−4) = 7 0 12 ( 2) 14 1 1 12 2 1 = − − = − D = 3 24 21 2 1 3 12 D2 = = − = − 所以 2 , 7 1 14 1 = = = D D x 3 7 2 21 2 = − − = = D D x
2,三阶行列式 类似地，为讨论三元线性方程组 01'1+42X2+013火3=b L21+022X2+L23X3=b 01X1+032X2+033少3=b, 记 0 m 03 D 0 022 03 01022L33+012L23031+L1302L32 031 032 U38 -L1302z031-1221L33-010230z 称为三阶行列式 其中，数0(i=1,2,3j=1,2,3)称为元素 i为行标，j为列标
2. 三阶行列式 类似地，为讨论三元线性方程组 + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 记 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = = 13 22 31 12 21 33 11 23 32 11 22 33 12 23 31 13 21 32 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + + 称为三阶行列式 其中 ，数 a (i = 1,2,3; j = 1,2,3) ij 称为元素 i 为行标， j 为列标
注： (1)三阶行列式算出来也是一个数。 (2)运算方法：对角线法则 例： 4 8 3 =2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8 -1×(-4)×(仁-1)-0×1×3-2×(-1)×8 =-24+8-4+16=-4
注： (1) 三阶行列式算出来也是一个数。 (2) 运算方法：对角线法则 例： 1 8 3 1 4 1 2 0 1 − − − 24 8 4 16 4 1 ( 4) ( 1) 0 1 3 2 ( 1) 8 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 = − + − + = − − − − − − − = − + − − +
对于三元线性方程组，若其系数行列式 01 03 D 02 ≠0 03 032 033 可以验证，方程组有唯一解 D = D X2= D 3 D 其中： b 03 b 013 02 b D 02z D, 02I b L23 D, b b L32 03 031 b. 033 03 03 b
对于三元线性方程组，若其系数行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 0 可以验证，方程组有唯一解: D D x 1 1 = D D x 2 2 = D D x 3 3 = 其中: 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = 31 3 33 21 2 23 11 1 13 2 a b a a b a a b a D = 31 32 3 21 22 2 11 12 1 3 a a b a a b a a b D =