北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵 第五节 分块矩阵

第五节分块矩阵 一、分块矩阵的概念 定义17将矩阵A用若干条横线和纵线按 照某种需要将它化分为若个小矩阵，每 个小矩阵称为是A的一个子块或子阵， 以这些子块为元素构成的矩阵，称为分 块矩阵。 上页 区回

第五节 分块矩阵 一、分块矩阵的概念 定义17 将矩阵A用若干条横线和纵线按 照某种需要将它化分为若个小矩阵，每 个小矩阵称为是A的一个子块或子阵， 以这些子块为元素构成的矩阵，称为分 块矩阵

a11 a12 a13 a14 15 A= a21 a22a23 l24 25 a31 a32 a33 a34 a35 A1 (a a12 a14 a15 422 4:= a25 A21=(a31 a2a3) A22 (a34 ass) 上页

          = 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 a a a a a a a a a a a a a a a A         = 21 22 23 11 12 13 11 a a a a a a A         = 24 25 14 15 12 a a a a A ( ) A21 = a31 a32 a33 ( ) A22 = a34 a35         = 21 22 11 12 A A A A A

a11 a12413 414 415 A- a21 a22 423 a24 425 a431 a32 a033 a34 a35 =(4 AA A.A) ai a12 a13 a14a15 A= a21 a22 a23 024 a25 BBB a31 a32 a33 a34 a35 上页 返回

          = 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 a a a a a a a a a a a a a a a A ( ) = A1 A2 A3 A4 A5           = 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 a a a a a a a a a a a a a a a A           = 3 2 1 B B B

二、分块矩阵的运算 设A、B是两个m×n矩阵，对A、B采取相 同的分块法，将他们分块成 A41 A12 A、 A= 42 B= B月… B2 B22 A A,2 B B,2 Brs 上页

二、分块矩阵的运算 设A、B是两个m×n矩阵，对A、B采取相 同的分块法，将他们分块成               = r r r s s s A A A A A A A A A A        1 2 21 22 2 11 12 1               = r r r s s s B B B B B B B B B B        1 2 21 22 2 11 12 1

A1+B1A2+B2 Ais Bis 4+B= A21+B21A2+B22 A2、+B2 41+B,A2+B2A+B kA kA2 … kAs kA2 kA= kA kAs A= kA k42… kA、 A 上页 返回

              + + + + + + + + + + = r r r r r s r s s s s s A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1               = r r r s s s k A k A k A k A k A k A k A k A k A k A        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = T r s T s T s T r T T T r T T T A A A A A A A A A A        1 2 12 22 2 11 21 1

设A是m×矩阵，B是l×n矩阵，在A的 列的分法与B的行的分法相同的条件下， 将A,B分块成 42 8 B B21 B2 A= 42 A B= A2 A B B.2 上页

将 分块成 列的分法与 的行的分法相同的条件下， 设 是 矩阵， 是 矩阵，在 的 A,B B A ml B l n A               = r r r s s s A A A A A A A A A A        1 2 21 22 2 11 12 1               = s s s t t t B B B B B B B B B B        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1

AB= 其中 C,=∑4Bg k= (i=1,2,…,r;j=1,2,…,t) 上页 返回

              = r r r t t t C C C C C C C C C AB        1 2 21 22 2 11 12 1 ( 1,2, , ; 1,2, , ) 1 i r j t C A B s k i j i k kj =  =  == 其中

例1设 (1 0 0 0 0 -2 -1 -2 0 10 0 0 1 2 B= A= -1 2 2 0 1 10 1 00 0 求AB 解： 根据A的特点，将A分块成 1 00 0 0 10 0 A= -121 -0 1:0 1 上页

, 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0               − A =               − − − − = 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 2 1 2 B 求AB. 根据A的特点，将A分块成        =               − = A E E A 2 1 0 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 例1 设 解：

0-2 -1-2 0 1 B= 2 0 20 -1 0 B 1 0 0 1 于是 AB= E 0 0 A B21 0 B23 (0 B12 B3 B21 421B12 A21B3+B23. 返回

        =               − − − − = 2 1 2 3 1 2 1 3 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 1 2 1 0 2 1 2 B B B B B                 = 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1 0 0 0 B B B B A E E AB 于是         + = 21 21 12 21 13 23 0 12 13 B A B A B B B B

48-日-4 4=8 0 -2 -1 -2 0 1 2 1 故 AB= 2 4 3 1 -1 1

        − =       − −        − = 1 1 4 5 1 2 2 1 1 1 1 2 因A2 1B1 2         =       − +       −        − + = 0 3 1 1 1 2 1 1 1 2 A2 1B1 3 B2 3               − − − − = 1 1 1 0 2 4 5 3 0 1 2 1 0 2 1 2 故 AB