北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第六章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间的定义与性质

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第六章 线性空间与线性变换

第一节线性空间的定义与性质 一线性空间 定义1数域P是数集合，满足以下条件称为数域 1·包含零元素、单位元素；即 0∈P,1∈P, 2.对以下运算封闭：Va,b∈P→ a+beP,a-b∈P,ab∈P, ∈P(b≠0) b 上页 这回

第一节 线性空间的定义与性质 一 线性空间 定义 1 数域 P是数集合，满足以下条件称为数域 1 ． 包含零元素、单位元素；即 0 P, 1 P; 2． 对以下运算封闭：  a,b P  +  , −  ,  ,  P (b  0) b a a b P a b P ab P

定义2线性空间 V 非空集合ax,B,y∈V,P数域2,4，y∈P, 建立两种运算 加法⊕，数乘。 对于两种运算封闭a田B∈V;元oa∈V 关于定义的两种运算满足以下8条运算规律： 1) 加法交换律 a⊕B=B⊕0 加法结合律 a田(B田Y)=(C⊕B)田 3 存在零元素 0∈V,a⊕0=a 4) 存在负元素 a⊕B=0→B=-0,-&∈V 5) 分配律 (元+l)a=人oa©uoa 6) 分配律 九(a⊕β)=1ox⊕1oB 7) 结合律 2o(uoa)=(2l）o0 8) 单位 1oa=0,1∈P

定义 2 线性空间 V 非空集合 , , V ， P 数域 , ,  P， 建立两种运算 加法 ， 数乘  对于两种运算封闭    V;   V 关于定义的两种运算满足以下 8 条运算规律： 1） 加法交换律    =   2） 加法结合律   (  ) = (  )  3） 存在零元素  V,   = 4） 存在负元素    =    = −, − V 5） 分配律 ( + ) =      6） 分配律  (  ) =       7） 结合律  ( ) = () 8） 单位 1 =, 1 P

V称为线性空间（向量空间），a,B,y∈V称为向 量 注意： 线性空间中的元素不一定是通常意义下的 向(a,a,…,a）但是 统称为向量 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通 常意义下的加法与向量的乘 法。 区回

V 称为线性空间（向量空间）， , , V 称为向 量。 注意： * 线性空间中的元素不一定是通常意义下的 向( ) T a a a n , , , 1 2  但是 统称为向量 * 定义的加法和数与向量的乘法不一定是通 常意义下的加法与向量的乘 法

例1n元有序数组构成的向量(a,a,…,an)的集 合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足 (1)-(8)条性质。这个集合构成向量空间，记为R”。 例2设V={o=(a,a2)a,a,∈R}和实数域R,定义 两种运算 Va=(a,a),B=(bb)Ev kER a®B=(a+b,a,+b)，koa=(ka,0) 显然第8条性质不满足1oa=(a,0)≠0 所以，V不能构成线性空间

例 1 n 元有序数组构成的向量( ) T a a a n , , , 1 2  的集 合，关于通常意义下的加法与向量的乘法，封闭；满足 （1）-（8）条性质。这个集合构成向量 空间，记为 n R 。 例 2 设 { ( , ) , } V =  = a1 a2 a1 a2R 和实数域R，定义 两种运算   = (a1 , a2 ),  = (b1 ,b2 )V k  R ( )   = a1 + b1，a2 + b2 ， ( ,0) 1 k  = ka 显然 第 8 条性质不满足 1 = (a1 ,0)  所以，V 不能构成线性空间

例3线性齐次微分方程的解 V={y=f(x)y'(x)+py'(x)+qy(x)=0} 在V中定义两种运算是通常函数的加法与数乘 显然齐次微分方程的解y+y,y仍然是它的解，(1)-(8) 条性质满足， 所以形成线性空间。 例4次数小于等于n的实系数多项式集合，与实数域 V={p(x)p(x)=a。+ax+a2x2+…+anx",a∈R,i=1,2, 在V中定义两种运算是通常多项式的加法与数乘。 显然，V构成线性空间，记为R[x] 上页 回

例 3 线性齐次微分方程的解 V ={y = f (x) y''(x) + py'(x) + qy(x) = 0} 在V 中定义两种运算是通常函数的加法与数乘 显然 齐次微分方程的解 1 2 1 y + y , ky 仍然是它的解，（1）-（8） 条性质满足， 所以形成线性空间。 例 4 次数小于等于n 的实系数多项式集合，与实数域 { ( ) ( ) , , 1,2, , } 2 V p x p x a0 a1 x a2 x a x ai R i n n = = + + ++ n  =  在V 中定义两种运算是通常多项式的加法与数乘。 显然，V 构成线性空间，记为 [ ] 1 R x n+

*二线性子空间 1.定义V是数域P上的线性空间，W是V的非 空子集合，对于'中定义的两种运算仍然构成一个线 性空间，称W是V的线性子空间，简称子空间。 定理W是数域P上线性空间V的非空子集合，则 W是V的线性子空间 的充分必要条件是：W对V中定义的加法和数乘运算是 封闭的。 即是V的线性子空间要满足三条： (1)W是非空集； (2)若a,B∈W→a田B∈W: (3)若k∈P,a∈W,→ka∈W

* 二 线性子空间 1．定义 V 是数域 P上的线性空间，W 是V 的非 空子集合，对于V 中定义的两种运算仍然构成一个线 性空间，称W 是V 的线性子空间，简称子空间。 定理 W 是数域P上线性空间V 的非空子集合，则 W 是V 的线性子空间 的充分必要条件是：W 对V 中定义的加法和数乘运算是 封闭的。 即是V 的线性子空间要满足三条： （1）W 是非空集； （2）若 , W    W ； （3）若 k  P, W, k W

2.子空间的交与和 子空间的交：设W,W,是V的两个子空 间，则W,W,公共元素的集合 W⌒W,={aa∈W&a∈W,} 可以证明W⌒W,也是V的子空间，称为W,W, 的交。 * 子空间的和：设W,W,是V的两个子空 间，则集合 W+W2={a,+O2a,∈W,o2∈W2} 是V的子空间，称为W,W,的和。 上页 区回

2．子空间的交与和 * 子空间的交：设 1 2 W , W 是V 的两个子空 间，则 1 2 W , W 公共元素的集合 { & } W1W2 =   W1  W2 可以证明W1W2也是V 的子空间，称为 1 2 W , W 的交。 * 子空间的和：设 1 2 W , W 是V 的两个子空 间，则集合 { , } W1 +W2 = 1 +2 1W1 2W2 是V 的子空间，称为 1 2 W , W 的和

例 V={aa=(a,a2,a)',a∈R}是线性空间 W={BB=(0,b,b)',b,∈R是V线性子 空间 W,={Yy=(c,0,0),c∈R是V线性子 空间 几何表示： V={aa=(a,a2,a)',a∈R 上页 区回

例 { ( , , ) , } V a1 a2 a3 aj R T =   =  是线性空间 { (0, , ) , } W1 b1 b2 bj R T =   =  是V 线性子 空间 { ( , 0, 0) , } W2 c c R T =   =  是V 线性子 空间 几何表示：{ ( , , ) , } V a1 a2 a3 aj R T =   =  0 Y Z

V=W+W, 0=W∩W 直和：假设两个子空间的交是 {0}空间，那么它们的和称为 直和。在上个例子中 0=W⌒W2 所以 V=W+W2,是直和，记为： V=W⊕W, 上页 返回

W1 0 V =W1 +W2 0 =W1W2 直和：假设两个子空间的交是 {0} 空间，那么它们的和称为 直和。在上个例子中 0 =W1W2 所以 V =W1 +W2 ，是直和，记为： V =W1W2