习题解答 第三章线性方程组与线性子空间 习题3-1 1.用消元法解下列线性方程组 2x1-2+4+3z4=-4 1+32-+4红4=6 21-22+34-4=3 3x1 +2x3+2红4=3 x1-2x2+3x3-x4=-6 (2) 1+2-3+工4=7 2I1-I2+工3 =1 2++x4=3 解()1=-5,2=5,3=8,4=1 (2)x1=4,2=7,3=0,4=-4. 2.分别用矩阵的初等行变换和列变换将下列矩阵化为行阶梯矩阵和列阶梯矩阵 2 y 2 4 2031-2 23-12 5 /1 59 0 -54 四 -51 021-12 1-13-17 /3 2 /300 0 0 24 0 解() 18 21 032 0 0 22 0 /1520 1 000 021-12 3 -2000 (②)004-412 与1-1000 00000 01 -800 1-1600/ 3.证明：线性方程组的第二类，第三类初等变换把线性方程组化成与它同解的线性方程组。 证明：（略） 4.证明推论1.4 证明：对矩阵AT应用推论1.3，则AT可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯矩阵将上述变 换施行于矩阵A的列上，就将A化成简化列阶梯矩阵 1
3–1 1. D- t&@AB: (1) 2x1 − x2 + x3 + 3x4 = −4 x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 6 2x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 3 3x1 + 2x3 + 2x4 = 3 (2) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −6 x1 + x2 − x3 + x4 = 7 2x1 − x2 + x3 = 1 x2 + x3 + x4 = 3 : (1) x1 = −5, x2 = 5, x3 = 8, x4 = 1. (2) x1 = 4, x2 = 7, x3 = 0, x4 = −4. 2. ]^\V =J: =Jv ]^L" yp]^: yp]^: (1) 3 2 1 0 4 2 1 4 4 −3 2 0 3 1 −2 2 3 −1 2 5 ; (2) 1 5 2 0 1 3 −5 4 2 7 1 −5 1 1 3 0 2 1 −1 2 1 −1 3 −1 7 . : (1) 3 2 1 0 4 0 − 1 3 10 3 4 − 17 3 0 0 −11 −15 18 0 0 0 17 11 − 16 11 B 3 0 0 0 0 2 4 0 0 0 2 1 3 2 0 0 2 2 − 10 3 − 17 18 0 . (2) 1 5 2 0 1 0 2 1 −1 2 0 0 4 −4 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 1 0 0 0 0 3 −2 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 −8 0 0 1 1 −16 0 0 . 3. ST: t&@AB=bk, =4k\V=JNt&@ABL*B8C-t&@AB. : (i) 4. ST^# 1.4. : ]^ AT ,^# 1.3, J AT >$jNHj \V =JL*kL yp]^. vyS= Jl <]^ A y, ov A L*kL yp]^. · 1 ·
5.思考题： (但)线性方程与的解集可以看作是梯间的一个点集.那么，线性梯间中任一点集是否一下是某个线 性方程与的解集明呢如果是这样，那么，梯集，单点集{0,0…，0)}与两点集{0,0，…，0)(1,1，…，1)门 分别是怎样的线性方程与的解集明呢？如果不是这样那么，怎样的点集才是某个线性方程与的解集明 呢 (②)线性方程与的初等变换把线性方程与变成同解的线性方程与.那么，两个同解的线性方程与是 否一下可以通过初等变换互化呢？ 解：(1)除了梯集与单点集外线性方程与的解集明一下是应限集.梯集是三盾方程与的解集，单 点集{0,0，…，0}可以是以下方程与 1=0 2=0 的解集线性方程与的解集明 一个线性流形，解柴明的性质可参看2，$，$7的讨论. (②)在允许添加或删去平凡方程0-0”的前提下，此为论是正确的. 习题3-2 1.用消元法解下列线性方程与： x1-2x2+3x3-r4-r5=2 1+2-+4-26=1 2E1-x2+r3 -2x%=2 2z1+2x2-5x4+2x4-5=5 x1-2E2+3红3-T4-T5=4 9 五1+x2-x3+x4-2x6=1 2x1-2+ -26=3 21+22-54+24-6=-4 1-22++4=1 (3) 了1-22+-4=- x1-2x2+x3+5r4=5 2x1+2+3=2 x1+2x2+x3=3 1++53=-7 21+22-34=12 2z1-22+ -4十=0 1-4+23-2红1+36=0 】4红1-102+5cg-5r4+75=0 、1+22-x+4-26=0 解()应解 (2)4-1-x1+2x2,x4=-4z1+5r2,E6=-1-x1+2x2,x1,x2为自由未知量 (3)x1=2r2-x3,x4=1,2,g为自由未知量 .2
5. m a: (1) t&@AB- >$h/pqHf . 0, t&pqH )H nft &@AB- To? wn, 0, p , {(0, 0, · · · , 0)}B7 {(0, 0, · · · , 0),(1, 1, · · · , 1)} pnt&@AB- To? Uwn, 0, pn qnft&@AB- T o? (2) t&@AB\V=JNt&@AB=*C-t&@AB. 0, 7fC-t&@AB )H >$rN\V=JdLo? : (1) rp B 0, t&@AB- TH ,s . p 45@AB- , {(0, 0, · · · , 0)} >$$ @AB x1 = 0 x2 = 0 . . . xn = 0 - . t&@AB- THft&t6. - T&'>^h §2, §6, §7 U#. (2) kuvTDw x@A “0 = 0” Oy , O"#rd. 3–2 1. D- t&@AB: (1) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 − x5 = 2 x1 + x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1 2x1 − x2 + x3 − 2x5 = 2 2x1 + 2x2 − 5x3 + 2x4 − x5 = 5 (2) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 − x5 = 4 x1 + x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1 2x1 − x2 + x3 − 2x5 = 3 2x1 + 2x2 − 5x3 + 2x4 − x5 = −4 (3) x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1 x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1 x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5 (4) 2x1 + x2 + x3 = 2 x1 + 2x2 + x3 = 3 x1 + x2 + 5x3 = −7 2x1 + 2x2 − 3x3 = 12 (5) 2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0 x1 − 4x2 + 2x3 − 2x4 + 3x5 = 0 4x1 − 10x2 + 5x3 − 5x4 + 7x5 = 0 x1 + 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0 : (1) ,-. (2) x3 = 1 − x1 + 2x2, x4 = −4x1 + 5x2, x5 = −1 − x1 + 2x2, x1, x2 "gNz . (3) x1 = 2x2 − x3, x4 = 1, x2, x3 "gNz . · 2 ·
(④1=1,2=2，g=-2. (⑤)1=,2=合(3-3x4+5s)3,4,x5为自由未知量 2.选择入，使方程组 21-2+3+4=1 1+2红2-x3+4红4=2 x1+7x2-4xg+11x4=入 有解，并求它的一般解 解：仅当入=5时有无穷多解，其一般解为工1=(4-xg-6x4,工2=(3+3-7x4,3,玉4为 自由未知量 3.a,b取何值时，线性方程组 x1+x2+x3+x4+x5=1 31+2r2+x+x4-36=a x2+2r3+2x4+6x5=3 5r1+4x2+3x3+3z4-x5=b 有解在有解的情况下，求一般解 解：仅当a=0,b=2时有解，其一般解为1=-2+x3+x4+5r,2=3-23-2红4-6r5 3,4,5为自由未知量 4.证明方程组 /1-2=a1 工2-工3=02 3-4=03 I4-I5=44 t5-x1=05 有解的充分必要条件是 a1+a2+ag+a4+a5=0. 在有解的情况下，求它的一般解 证明：（→）如线性方程组有解，设(，c2,,4,s)为其一个解，将它代入原方程组并将各式相加 即得a1+2+ag+a4+a5=0. (←)如a1+a2+ag+a4+a5-0,则由最后一个方程得%-x1+a5,依次代入前一个方程得 x4=a4+a5+x1,x3=a+a4+a5+1,2=a2+a3+4+a6+1,将2,3，x4,代入第一个方程 1-(a2+ag+a4+a5+1)=-a2-a3-a4-a5=a 所以原方程组的一般解为 2=a2+a3+a4+as+1 x3=a3+a4+a5+x1 1为自由未知量 r4=a4+5+x1 5=a5+x1 5.求一多项式fc)=a0x3+a1x2+a2x+a4,使f1)=-3,f(-1)=-7,f(2)=-1,f(-2)=-21 解f)-r3-2x2+x-3. .3
(4) x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2. (5) x1 = 1 3 x5, x2 = 1 6 (3x3 − 3x4 + 5x5), x3, x4, x5 "gNz . 2. {| λ, '@AB 2x1 − x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = λ G-, Ws8H}-. : cb λ = 5 RG,~ -, <H}-" x1 = 1 5 (4 − x3 − 6x4), x2 = 1 5 (3 + 3x3 − 7x4), x3, x4 " gNz . 3. a, b zR, t&@AB x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = a x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 3 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = b G-? kG-! , sH}-. : cb a = 0, b = 2 RG-, <H}-" x1 = −2 + x3 + x4 + 5x5, x2 = 3 − 2x3 − 2x4 − 6x5, x3, x4, x5 "gNz . 4. ST@AB x1 − x2 = a1 x2 − x3 = a2 x3 − x4 = a3 x4 − x5 = a4 x5 − x1 = a5 G-0@&12 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0. kG-! , s8H}-. : (⇒) t&@ABG-, (c1, c2, c3, c4, c5) "<Hf-, v8QRK@AB, Wv()e, P a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0. (⇐) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0, JNHf@AP x5 = x1 + a5, GHQROHf@A, P x4 = a4 + a5 + x1, x3 = a3 + a4 + a5 + x1, x2 = a2 + a3 + a4 + a5 + x1, v x2, x3, x4, x5 QR=Hf@A, P x1 − (a2 + a3 + a4 + a5 + x1) = −a2 − a3 − a4 − a5 = a1. #$K@ABH}-" x2 = a2 + a3 + a4 + a5 + x1 x3 = a3 + a4 + a5 + x1 x4 = a4 + a5 + x1 x5 = a5 + x1 x1 "gNz . 5. sH :)f(x) = a0x 3 +a1x 2 +a2x+a3, 'f(1) = −3, f(−1) = −7, f(2) = −1, f(−2) = −21. : f(x) = x 3 − 2x 2 + x − 3. · 3 ·
习题3-3 1.设a1-(2,5,1,3),a2-(10,1,5,10,ag-(4,1,-1,1).求一向量a,使3(a1-a)+2(a2+a)- 5(a3+a). 解a=(1,2,34). 2.已知3a+46=-(2,1,1,2),2a-30=(-1,2,3.1.求a与6. 解a=立(2,11,15,10)，3-(，-4，-7,1 3.把向量3表成向量a1,a2,ag的线性组合 (1)1=(1,1,1),a2=(1,1,-1),ag=(1,-1,-1),3=(1,2.10月 (2)=(1,3,5),a2=(6,3.-2),ag=(3,1,0),3=(5,8,8: 解()3-a1+2-g (②)3=2a1+a2-ag 4.判别下列向量组是否线性相关 (1)a1=(1.1,1),a2=(1,2.3),03=(1,3.6) (2)m1=(3,2,-5,42=(2,1,-3-5),3=3,5-13,1),4=(4,5,-14,-3 (3)m=(1,-1,2,4a2=(0,3,1,2),a3=(1,7,8,9),a4=(3,2,1,2 (4)m1=(1,2,-1,4,a2=(9,1,2,-3)a3=(3,5,0,2,a4=(3,2,2,1),a5=(1,3,3,2). 解()否：(2)是：(3)否（④是 5.设a1,a2,…,am是互不相同的数，令 am=(1,1,a1…,a-), a2=(1,a2,,…,-1) am=(1,an,a2,…,a-） 证明任一n维向量都可以由向量组a1,a2,·,an线性表示。 证明：向量组a1,2,…,an构成的行列式 1a…a- 4= 1a2…a}-1 Π(a4-a)≠0， 16)<i6n 1am…a-1 所以01,2，…，0n线性无关 又对任意的n维向量向量组,1，…，an线性相关从而向量3可由向量组a1,a2,…,线 性表示. 6.设向量组a1,2,ag线性无关.证明：向量组a1+02,a2+ag,ag+a1也线性无关 证明：设 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0, (1+kg)a1+(1+k2)a2+(2+)ag=0 4
3–3 1. α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1). sH α, ' 3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α). : α = (1, 2, 3, 4). 2. 3α + 4β = (2, 1, 1, 2), 2α − 3β = (−1, 2, 3, 1). s α B β. : α = 1 17 (2, 11, 15, 10), β = 1 17 (7, −4, −7, 1). 3. N β * α1, α2, α3 t&BT: (1) α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1), α3 = (1, −1, −1), β = (1, 2, 1); (2) α1 = (1, 3, 5), α2 = (6, 3, −2), α3 = (3, 1, 0), β = (5, 8, 8); : (1) β = α1 + 1 2 α2 − 1 2 α3. (2) β = 2α1 + α2 − α3. 4. | B)t&e*: (1) α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 2, 3), α3 = (1, 3, 6); (2) α1 = (3, 2, −5, 4), α2 = (2, 1, −3, −5), α3 = (3, 5, −13, 11), α4 = (4, 5, −14, −3); (3) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (1, 7, 8, 9), α4 = (3, 2, 1, 2); (4) α1 = (1, 2, −1, 4), α2 = (9, 1, 2, −3), α3 = (3, 5, 0, 2), α4 = (3, 2, 2, 1), α5 = (1, 3, 3, 2). : (1) ); (2) ; (3) ); (4) . 5. a1, a2, · · · , an dUeC, I α1 = (1, a1, a2 1 , · · · , an−1 1 ), α2 = (1, a2, a2 2 , · · · , an−1 2 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . αn = (1, an, a2 n, · · · , an−1 n ). ST: H n F m>$N B α1, α2, · · · , αn t& . : B α1, α2, · · · , αn u* ) |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a1 · · · a n−1 1 1 a2 · · · a n−1 2 · · · · · · · · · · · · 1 an · · · a n−1 n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Y 16jN B α1, α2, · · · , αn t & . 6. B α1, α2, α3 t&,*. ST: B α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 gt&,*. : k1(α1 + α2) + k2(α2 + α3) + k3(α3 + α1) = 0, J (k1 + k3)α1 + (k1 + k2)α2 + (k2 + k3)α3 = 0. · 4 ·
因为a1,a2,ag流性无成，所以 +=0 k1+应2=0 人k2+岛三0 解得1=k2==0,所以1+a2,a2+ag,ag+1流性无成 7.证漆：a1,a2,·,0。(其中m1≠0)流性相成的么要条件是至少有一个a:(11.故 k1a1+…+k-1ai-1=-ka, =-01- 8.证添：如果果量与的一个延伸与流性相成，换此果量与自流性相成 证明设果量与（仙四）为四的延伸与，如果量与（④）流性无成，换过例3.9元（仙四）自流性无成。与已元 矛盾，故此果量与流性无成. 9.下列论断是否成立？题的，点以证添任的，习出反例 (1)列α1,2，…，a.流性相成，换其中每一个思可过其余果量流性表示： (2列果量与a1,2,…,a,流性无成，果量与1,2，…，，流性无成，换果量与1，a2,…,0r, 2,…,3自流性无成 (3)列果量与a1,a2,…,a流性无成，果量与1,2…，。流性无成，换果量与a1+3,2+ ,··,a。+3。自流性无成： (④列果量与a1,a2,…,ar流性相成，换一下存在r个讨等于呢的数，2，…，，使 k11+k2a2+…+k,=0: (⑤)列果量与1,2，…，r流性无成，换它的任何流性与合思讨等于呢 解(1)任.如a1=(0,0),a2=(1,1)流性相成，才a2讨可过a1流性表示 (②)任.如1=(1,1),2=(1,2)流性无成=(2,2)，=(0,1)流性无成，才a1,2,,流性 相成 (③)任.如1=(1,1,2=(0,1)，=(1，-1)，=(1,2)流性无成，才a1+=(00) a2+五=(1,3)流性相成. (4任.如a1-(0,0),2-(0.1)流性相成，才题任习的1≠0，k2≠0思有1a1+2a2≠0. (⑤)任.a1,a2,·,,的呢流性与合就等于呢 习题3-4 1.在三维几何空间R3中，下列集合W是否允成R3的流性子空间？ ()W={a,b,ceR31(a,bc）1(1,1, (②W是题点在某直流提的全体果量所允成的集合： (3)W是与空间中某固下某呢果量(x0,0,0)的夹角等于下值的全体果量所允成的集合. 解：()是：（②）如直流过原点，是：否换讨是（③）夹角等于交，是：否换讨是 5
!" α1, α2, α3 t&,*, #$ k1 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 k2 + k3 = 0 -P k1 = k2 = k3 = 0, #$ α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 t&,*. 7. ST: α1, α2, · · · , αs (I α1, α2, · · · , αi−1 t& . : !" α1, α2, · · · , αs t&e*, #$1kU3"o k1, k2, · · · , ks, ' k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0. k1, k2, · · · , ks HfU"o" ki , J i 6= 1 ()J α1 = 0 B145), C% i > 1. ! k1α1 + · · · + ki−1αi−1 = −kiαi , αi = − k1 ki α1 − k2 ki α2 − · · · − ki−1 ki αi−1. 8. ST: BHf:Bt&e*, JO Bgt&e*. : B (II) " (I) :B, B (I) t&,*, JNj 3.9 , (II) gt&,*, B 45, !O Bt&,*. 9. #})*+? , $ST; , %Mj. (1) α1, α2, · · · , αs t&e*, JNN α1 t& . (2) . α1 = (1, 1), α2 = (1, 2) t&,*, β1 = (2, 2), β2 = (0, 1) t&,*, q α1, α2, β1, β2 t& e*. (3) . α1 = (1, 1), α2 = (0, 1), β1 = (1, −1), β2 = (1, 2) t&,*, q α1 + β1 = (0, 0), α2 + β2 = (1, 3) t&e*. (4) . α1 = (0, 0), α2 = (0, 1) t&e*, q k1 6= 0, k2 6= 0 mG k1α1 + k2α2 6= 0. (5) . α1, α2, · · · , αr ot&BToV<o. 3–4 1. k4F'pq R 3 , T W )u* R 3 t&pq? (1) W = {(a, b, c) ∈ R 3 | (a, b, c) ⊥ (1, 1, 1)}; (2) W kn.ty3 #u* T; (3) W BpqnI no (x0, y0, z0) 5V< 3 #u* T. : (1) ; (2) .tNK, ; )J, U; (3) 5V< π 2 , ; )J, U. · 5 ·
2.设V为数域K上n维向量空间，判断V的下列子集W是否构成V的线性子空间， (1)设a1,2,…,ar为V中给定的r个向量 W={BeV|a1,a2,…,ar,3线性相关 (2)设a1,a2,·,ar为V中给定的r个向量W是V中不能由a1,a2,…,ar线性表示的全体向量 所构成的集合 解()是（②）不是 3.设a1,a2,…,a为K"中给定的r个向量。证明 W={c1,2,…,4)lca1+2a2+…+4a,=0} 组成的子空间 证明：显然WSK且(0,0，…，0)∈W,从而W非空 对任意的(a1,…,ar小(，…，br)∈W以及k∈K,有 (a1+b1)a1+…+(ar+br)ar=a1a+…+arar+b1a1+…+bror=0+0=0. 所以 (a1·,ar）+(1,…,br)ew (ka1)a1+(ka2)a2+…+(kar)ar=k(a1a1+a2a2+…+a,ar)=k,0=0. 所以 k(a,…,ar)∈w W成为K的子空间。 *4.设W,W…,W为K的s个线性子空间。W=形UWU...UW。.证明：W为K”的线性 子空间的充分必要条件是，存在i(1≤i≤s,使W=W. 证明充分性是显然的.下面证必要性对s用归纳法.当s=1时结论显然成立。假定结论对s一1 成立，考家W=形UW形2UUW。.如果W≠W,则可取3∈W\W.对于任意的a∈W。,必有 B+ka∈W八W,(从3+ka∈W,以及a∈W,可以推得B∈W,矛盾).当k=1,…,s时，s个向量中必 有两个向量属于同一个W:(1≤i≤s-1).这两个向量相减后可得a∈W.因此W。CWU...UW-1, 于是W=W1UUW,-1.利用归纳假设，可得一个i,1≤i≤s-1使得W=W.结论成立 习题3-5 1.求由下列向量所张成的线性子间的基与维数： (1)1=(2,1,11,2),a2=(1,0,4,-1),0g=(1,4,16,15),a4=(2,-1,5.-6),as=(1,6,22,23: (2)a1=(1,-4,15,5,-4),a2=(0,7,29,-8,7),ag=(2,-1,1,1,-3),a4=(1,-4,3,5,-4). 解：（1)维数2，基01,02. (②)维数4，基4,2，ag,a4 2.设W为向量空间V的子空间，1，…，a,为W的一个基=名ay@,i=12,n 证明，32，…，品，也是W的基的充分必要条件是 411a1 … dr1 ar2…ar 6…
2. V " K y n F pq, |} V W )u* V t&pq. (1) α1, α2, · · · , αr " V r f , W = {β ∈ V | α1, α2, · · · , αr, β t&e*}; (2) α1, α2, · · · , αr " V r f , W V UcN α1, α2, · · · , αr t& 3 #u* T. : (1) ; (2) U. 3. α1, α2, · · · , αr " Kn r f , ST: W = {(c1, c2, · · · , cr) | c1α1 + c2α2 + · · · + crαr = 0} B* Kr pq. : W ⊆ Kr ? (0, 0, · · · , 0) ∈ W, C% W np. (a1, · · · , ar),(b1, · · · , br) ∈ W $h k ∈ K, G (a1 + b1)α1 + · · · + (ar + br)αr = a1α1 + · · · + arαr + b1α1 + · · · + brαr = 0 + 0 = 0. #$ (a1, · · · , ar) + (b1, · · · , br) ∈ W. (ka1)α1 + (ka2)α2 + · · · + (kar)αr = k(a1α1 + a2α2 + · · · + arαr) = k · 0 = 0. #$ k(a1, · · · , ar) ∈ W. W *" Kr pq. ∗4. W1, W2, · · · , Ws " Kn s ft&pq. W = W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws. ST: W " Kn t& pq0@&12, 1k i (1 6 i 6 s), ' W = Wi . : 0&. S@&&. s PD. b s = 1 R"#*+. 1 "# s − 1 *+, W = W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws. W 6= Ws, J>z β ∈ W \ Ws. $^P β ∈ Ws, 45). b k = 1, · · · , s R, s f @ G7f P α ∈ Wi . !O Ws ⊆ W1 ∪ · · · ∪Ws−1, PHf i, 1 6 i 6 s − 1 'P W = Wi . "#*+. 3–5 1. sN #.*t&pqzBF: (1) α1 = (2, 1, 11, 2), α2 = (1, 0, 4, −1), α3 = (1, 4, 16, 15), α4 = (2, −1, 5, −6), α5 = (1, 6, 22, 23); (2) α1 = (1, −4, 15, 5, −4), α2 = (0, 7, 29, −8, 7), α3 = (2, −1, 1, 1, −3), α4 = (1, −4, 3, 5, −4). : (1) F 2, z α1, α2. (2) F 4, z α1, α2, α3, α4. 2. W " pq V pq, α1, α2, · · · , αr " W Hfz, βi = Pr j=1 aijαj , i = 1, 2, · · · , r. ST: β1, β2, · · · , βr g W z0@&12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 · · · a1r a21 a22 · · · a2r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 · · · arr ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. · 6 ·
证明：（今）设月，…，月也是W的未，设矩阵A=(a),(,应…，k)是证一线要方程与 XA=0的一个解，明 (2…k,)A=0 乡 /a1 1+k232+…+k=(…k)4 =0 故为，2，…，3，线要无成，论以1==…=，=0，明XA=0只有就解论以A≠0. ()设 M+k2+…+k,，=0， =0 ar 故为1，a2,…,ar线要无成，论以 (k2…k)A=0. 由其4卡0，因证一线要方程与只有就解明k1=2=…=k,=0.其是，，…，线要无成又 故dimV=r、论以，3.··，3，是W的未. 3.设V为数域K上的n少向量怎才.证合：题任何大其n的自除数m,一下条在由V的m个向量 与成的向量与，使于中任何n个向量都构成V的未 证明由习题3-4.4的为果可以知道，V不可能表示成它的有限多个真线要任怎才的并行.题 m≥n施行数前题纳法，当m=n时为所成立。假设已经找如解直存件的m一1≥n个向量的向量与 a1,…,am-1过于中任习n-1的向量生成的线要任怎才果为W(《=1,…,,则故V≠UW,条在 向量W(i=1.,,,s).则向量与a.,·,.am也解有存件 习题3-6 1.入取何明时，方程与 (+3)1+ 23=入 入x1+(入-1)x2+ x3=2入 3A+1)1+ Xx2+(+3)x3=3入 有解？在有解的情况下，每而一般解 解例数行列否等其2（公一1）.当入≠0,1时，方程与有应一解 +3 （=二A 当入=0时，一般解为：1=-3,2=3,3是自由未知量 当入=1时，原方程与无解 7
: (⇒) β1, β2, · · · , βr g W z, ]^ A = (aij ), (k1, k2, · · · , kr) Ht&@AB XA = 0 Hf-, (k1 k2 · · · kr)A = 0. J k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = (k1 · · · kr)A α1 . . . αr = 0. !" β1, β2, · · · , βr t&,*, #$ k1 = k2 = · · · = kr = 0, XA = 0 {Go-. #$ |A| 6= 0. (⇐) k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = 0, J (k1 · · · kr)A α1 . . . αr = 0, !" α1, α2, · · · , αr t&,*, #$ (k1 k2 · · · kr)A = 0. N$ `, V U>c *8Gs ft&pqW . m > n l OPD. b m = n R"#*+. 1 j-.12 m − 1 > n f B α1, · · · , αm−1. N< n − 1 *t&pq " Wi (i = 1, · · · , s), J! V 6= S Wi , 1k αm 6∈ S Wi (i = 1, · · · , s). J B α1, · · · , αm g-.12. 3–6 1. λ zR, @AB (λ + 3)x1 + x2 + 2x3 = λ λx1 + (λ − 1)x2 + x3 = 2λ 3(λ + 1)x1 + λx2 + (λ + 3)x3 = 3λ G-? kG-! , s%H}-. : j )V< λ 2 (λ − 1). b λ 6= 0, 1 R, @ABG,H-: x1 = λ − 3 λ − 1 x2 = λ + 3 λ − 1 x3 = 3 − λ λ − 1 , b λ = 0 R, H}-": x1 = −x3, x2 = x3, x3 gNz ; b λ = 1 R, K@AB,-. · 7 ·
2.a,b取何值时，方程组 a1+2+xg=4 x1+b证2+x%=3 1+20z2+23=4 有解在有解的情况下，求出一般解 解(a)当a≠1且b≠0时，方程组有唯一 b-1 (=a-可 =6 =2 (b)当6=0时，或当a=1,b≠号时，原方程组无解 (C)当a=1,b=号时，一般解为：x1=2-x3,2=2,x3是自由未知量 3.求下列齐次线性方程组的基础解系 x1+工2+工3+工4+T5=0 3知1+22+x3+x4-6=0 51+42+33+34+6=0 2+2x3+2x4+4红5-0 3x1+2x2-53+4z4=0 (2){3x1-x2+3g-3z4=0 3z1+5r2-13rg+11z4=0 1+++4+=0 2x1+22+3+x4-2=0 5z1+4红2-33+4红4+5=0 x2+6-4-45=0 [x1-2x2+3z3-4z4=0 2-3+4=0 x1+3x2 -3z4=0 x1-4z2+3x3-2z4=0 解(1)(1，-2,1,0,0，(1，-2,0,1,0)(3，-4,0,0,1 (2(-1,24,9,0).(2,-21,0,9). (3)(-7,7,-1,1,0),(-25,28,-4,0,1) (4)(0,1,2,1). 4.证明：如果齐次线性方程组 a111+a122十…+a1nn=0 a211+a222+…+a2mn=0 +=0 的系数矩阵A的行列式|4=0，方程组的秩是n-1,并且矩阵A中au的代数余子式A知≠0，那么 (41,Ak2,…,A)是此齐次线性方程组的一个基础解系。 8
2. a, b zR, @AB ax1 + x2 + x3 = 4 x1 + bx2 + x3 = 3 x1 + 2bx2 + x3 = 4 G-? kG-! , s%H}-. : (a) b a 6= 1 ? b 6= 0 R, @ABG,H-: x1 = 2b − 1 b(a − 1) x2 = 1 b x3 = 2ab − 4b + 1 b(a − 1) ; (b) b b = 0 R, Db a = 1, b 6= 1 2 R, K@AB,-; (c) b a = 1, b = 1 2 R, H}-": x1 = 2 − x3, x2 = 2, x3 gNz . 3. s Ht&@ABz-j: (1) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − x5 = 0 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 + x5 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 + 4x5 = 0 (2) 3x1 + 2x2 − 5x3 + 4x4 = 0 3x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 − 13x3 + 11x4 = 0 (3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 2x1 + 2x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0 5x1 + 4x2 − 3x3 + 4x4 + x5 = 0 x2 + 6x3 − x4 − 4x5 = 0 (4) x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 x1 + 3x2 − 3x4 = 0 x1 − 4x2 + 3x3 − 2x4 = 0 : (1) (1, −2, 1, 0, 0), (1, −2, 0, 1, 0), (3, −4, 0, 0, 1). (2) (−1, 24, 9, 0), (2, −21, 0, 9). (3) (−7, 7, −1, 1, 0), (−25, 28, −4, 0, 1). (4) (0, 1, 2, 1). 4. ST: Ht&@AB a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0 j]^ A ) |A| = 0, @AB n − 1, W?]^ A akl Q$) Akl 6= 0, 0 (Ak1, Ak2, · · · , Akn) OHt&@ABHfz-j. · 8 ·
证明由于 ak1Ak1+ak2A2十…+dknAkn=4=0, a14k1+a2A2+…+anAn=0,当i≠k时： 因此(Ak1,A2,…,Akm)是题设齐次线性方程组的解又因Ak1≠0，这是一个非零解.由假设知道方程 组的秩是n一1，所以此齐次线性方程组的其部解系由一个非零解构成.因此(A1,A2,·,Am)是此 齐次线性方程组的一个基础解系 5.设齐次线性方程组 a11+a12x2+…+a1nn=0 a21x1+a222+…+a2mn=0 1+dn- 1,222+…+an 1.n =0 的系数矩阵为A,M是矩阵A中划去第i列所得的(n一1)×(-1)矩阵的行列式.证明 (1)(M.-1.,,.(-1)m-1M)是方程组的一个解： (②)如果这个线性方程组的秩为n-1,某个M,≠0，证明方程组的解全是(M1,-M2,·,(-1)m-)Mn) 的倍数 证明(1)作齐次线性方程组 a11z1+a122+…+a1nn=0 an-l.11+an-1,22+…+an-1,nn=0 a.1x1+a2x+..+ax。=0 其中am1=a2=…=ann=0,则此线性方程组与原方程组同解，且系数矩阵等于0.故由上题，最后一 行的代数余子式(An1,An2,…,Anm)为原方程组的解又Ani=(-1)+M,所以(M,-,…,(-1)m-1Mn)= (-1)n+1(4n1,An2,…,Anm)为原方程组的解 (②)因原方程组的秩为n一1，且有一个M,≠0.因此原方程组的基础解系由一个非零解向量构成 从而非零解(M1,-M2,·,(一1)-1Mn)构成原线性方程组的一个基础解系.故原方程组的每一个解都 是(M1,-M2,…,(-1)n-1n)的倍数. 6.给出平面上3个点（红1，h),(2,2),(3,g)共线的充分必要条件。 解：若点(1，h),(2,h,(3,)共线，不妨设此直线的方程为A红+Bg+C=0,则 (A1+Bh+C=0 Ar2+B2+C=0 、Az3+Bg+C=0 ÷齐次线性方程组 (x1t1+1t2+t3=0 2t+t2+t=0 rat1+y3t2+t3=0 有非零解(A,B.C) ÷其系数矩阵 (0 9
: N< ak1Ak1 + ak2Ak2 + · · · + aknAkn = |A| = 0, ai1Ak1 + ai2Ak2 + · · · + ainAkn = 0, b i 6= k R, !O (Ak1, Ak2, · · · , Akn) aHt&@AB-. Q! Akl 6= 0, wHfno-. N1 `@A B n − 1, #$OHt&@ABz-jNHfno-u*. !O (Ak1, Ak2, · · · , Akn) O Ht&@ABHfz-j. 5. Ht&@AB a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an−1,1x1 + an−1,2x2 + · · · + an−1,nxn = 0 j]^" A, Mi ]^ A = i #P (n − 1) × (n − 1) ]^ ). ST: (1) (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) @ABHf-; (2) wft&@AB "n−1, nfMi 6= 0, ST@AB-3(M1, −M2, · · · ,(−1)(n−1)Mn) . : (1) /Ht&@AB a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an−1,1x1 + an−1,2x2 + · · · + an−1,nxn = 0 an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0 <an1 = an2 = · · · = ann = 0, JOt&@ABBK@ABC-, ?j]^V<0. !Nya, H Q$)(An1, An2, · · · , Ann)"K@AB-. QAni = (−1)n+iMi , #$(M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) = (−1)n+1(An1, An2, · · · , Ann) "K@AB-. (2) !K@AB " n − 1, ?GHf Mi 6= 0. !OK@ABz-jNHfno- u*. C%no- (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) u*Kt&@ABHfz-j. !K@ABsHf-m (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) . 6. % y 3 f (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) (t0@&12. : (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) (t, U?O.t@A" Ax + By + C = 0, J Ax1 + By1 + C = 0 Ax2 + By2 + C = 0 Ax3 + By3 + C = 0 ⇔ Ht&@AB x1t1 + y1t2 + t3 = 0 x2t1 + y2t2 + t3 = 0 x3t1 + y3t2 + t3 = 0 Gno- (A, B, C) ⇔ <j]^ A = x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 = 0. · 9 ·
7.给出平面上3条直线 a1x+61y+c=0 ant+624+C2=0, a3x+b3u+C3=0 共点的充分必要条件 解：此3条直线共点的充分必要条件是相应的齐次线性方程组 41x+b1y+G12=0, a2x+b2y+e22=0, a3r+b的g+C32=0 有非零解，当且仅当系数矩阵等于0，即 a1 b C a2b2c2=0. az ba cl 8.写出通过三点(1,2)，(1，-2)，(0，-1)的圆方程 解(-22+2=5. 9.求习题3-4.3中所定义的线性子空间的维数 解设 A=(a1,a2,…,ar (1,…,c-)∈W台ca=0 9 ÷A =0÷W为AX=0的解空间 c 所以 dim W =r-rank A=r-rank(o,...,o} 习题3-7 1.求下列线性方程组的全部解 2x1-T2+5x3+7x4=0 4x1-2x2+7x4+54=0 21-I2+Ig- 54=0 2x1-x2+6x3+10z4=0 2x1+2-x3+x4=1 (2) x1+2x2+x3-x4=2 1+2+23+x4=3 10
7. % y 3 1.t a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = 0 (0@&12. : O 3 1.t(0@&12e,Ht&@AB a1x + b1y + c1z = 0, a2x + b2y + c2z = 0, a3x + b3y + c3z = 0 Gno-, b?cbj]^V< 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. 8. ~%rN4 (1, 2), (1, −2), (0, −1) @A. : (x − 2)2 + y 2 = 5. 9. s`a 3–4.3 # Mt&pqF. : αi = a1i a2i . . . ani , A = (α1, α2, · · · , αr). J (c1, · · · , cr) ∈ W ⇔ Xciαi = 0 ⇔ A c1 . . . cr = 0 ⇔ W " AX = 0 -pq #$ dim W = r − rank A = r − rank{α1, · · · , αr}. 3–7 1. s t&@AB3|-: (1) 2x1 − x2 + 5x3 + 7x4 = 0 4x1 − 2x2 + 7x3 + 5x4 = 0 2x1 − x2 + x3 − 5x4 = 0 2x1 − x2 + 6x3 + 10x4 = 0 (2) 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 + x3 − x4 = 2 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3 · 10 ·
