前 言 近年来，由于计算机的发展和普及，矩阵理论的重要性愈加显著，应用日 益广泛.这是因为用矩阵理论和方法来解决现代工程技术中的各种问题，不仅 表述简洁，便于进行研究，而且具有适合计算机处理的特点.可以说，矩阵理论 已成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础 编者多年来在西北工业大学为理工科硕士研究生讲授矩阵论课程，并在 大学本科高年级学生中多次开设相应的选修课，本书是在使用多遍讲义的基 础上修改而成的. 本书以大学通用的工程数学《线性代数》作为预备知识，但不涉及线性空 问与线性变换等较抽象的内容.这是基于以下考虑.现有的各种矩阵论教材 无一例外将抽象的线性空间与线性变换的理论放在第一章或第二章讲授，虽 然这些内容对培养学生数学素养是不可缺少的，但工科研究生，特别是工程硕 士生一开始就学习这些内容相对来说比较困雅，加之，这部分内容（约需讲授 20学时)与后续的具体矩阵理论部分联系的不是很紧密，从课程内容的安排 来看，有头重脚轻之感，且使教师对具体的矩阵理论讲解的选择余地大为缩 小.本书的编写目的就是想为读者架设一座通向矩阵理论的桥梁，使读者在较 短的时间内尽快地得到各自需要的矩阵知识.当然，编者并不认为完全欣掉抽 象的线性空间与线性变换的理论是恰当的，只要学时许可，可以将这部分内容 放到最后去讲，这样可以使学生由浅人深，由具体到抽象，在已学习了许多矩 阵的知识后，再将其放到线性空间的框架内重新审视，以利于提高学生的数学 素养.编者在多年的矩阵论教学过程中多次尝试采用这种方法，取得了较好的 教学效果 本书共分七章：第一章、矩阵的相似变换：第二章、范数理论：第三章、矩阵 分析；第四章、矩阵分解；第五章、特征值的估计与表示；第六章、广义逆矩阵； 第七章、矩阵的直积.第一章起着承上启下的作用，对于线性代数进行加深并 为后续章节奠定必要的基础；第二章至第七章介绍近现代的矩阵理论和方法， 这也是工科研究生和科技人员在实际中直接、大量地用到的工具.除第一、二 章外，其余各章是相对独立的，不同专业可根据需要灵活选用.各章均配有 定数量的习题，书末附有习题答案与提示，讲完全书约需40~50学时. 本书第一、三、四章由徐仲编写，第二、五章由张凯院编写，第六章由陆全
前言 编写，第七章由冷国伟编写.由徐仲对全书统稿. 鉴于本书的读者是高等院校的工科研究生、工程硕士生、大学本科高年级 学生及科技工作者，因此在编写时既重视基本的理论，也注重应用.对于必要 的理论推导和分析，尽量使其清晰和简明.对个别理论则不苛求推导，侧重于 介绍方法和应用 在本书编写过程中，西北工业大学研究生院、教务处和应用数学系的领导 及同事们给我们以很大的鼓励和支持：航空T业总公司631研究所周天孝教 授详细审阅了书稿，提出了中肯的修改意见，并给予很高的评价，编者在此 并表示衷心的感谢. 由于我们水平有限，书中错误和疏漏之处难免，恳望有关专家和读者不吝 赐教 作者 2001年2月于西北工业大学
符号说明 A 矩阵A的共轭 矩阵A的转置 AH 矩阵A的共轭转置（即AT) A 矩阵A的Moore-Penrose逆 矩阵A的拉直 A…,) 矩阵A的{i,j,…,l}-逆 A{i,j,…,l 矩阵A的{i,j,…,l}-逆的集合 A-B 方阵A相似于B A☒B 矩阵A与B的直积或Kronecker积 方阵的Jordan标准形 第i个Jordan块 单位矩阵 0 零矩阵 0 零向量 e 第i个分量为1，其余分量为0的n维列向量 adjA 方阵A的伴随矩阵 detA 方阵A的行列式 cond(A) 方阵A的条件数 rankA 矩阵A的秩 trA 方阵A的迹，A的主对角元之和 P(A) 方阵A的谱半径 IAI 矩阵A的范数 R 实数域 R 实n维列向量集合，n维实向量空间 Rm×# 实m×n矩阵集合 RmX刀 秩为r的实m×n矩阵集合 复数域 复n维列向量集合，n维复向量空间
·iw 符号说明 Cmxn 复m×n矩阵集合 Cmxn 秩为r的复m×n矩阵集合 x,y] 向量x与y的内积 diag(a1,a2,…,an） 以a1,a2,…,am为对角元素的n阶对角矩阵 span(x1,x2,…,x 由向量x1,2,…,x生成的子空间 (a) 方阵A的特征多项式 ma(a) 方阵A的最小多项式 G4(A) 方阵A的第k个Gerschgorin圆（盖尔圆） g:=√ 矩阵A的第i个奇异值 Re(λ) 复数入的实部 Im() 复数入的虚部 f(a)川g(入) 多项式f(λ)整除g(A) XOY 集合X与Y的交集 XUY 集合X与Y的并集
⊙ 录 第一章矩阵的相似变换…1 S1.1特征值与特征向量…1 S1.2相似对角化… 5 S1.3 Jordan标准形介绍… 9 §1.4 Hamilton-Cayley定理… 19 S1.5向量的内积…… 23 S1.6西相似下的标准形… 28 习题一… 35 第二章范数理论… 37 21向量范数… 37 S2.2矩阵范数… 43 一、方阵的范数 43 二、与向量范数的相容性… 45 三、从属范数… 46 四、长方阵的范数 ,,,…+:49**t+t §2.3范数应用举例… 52 一、矩阵的谐半径… 二、矩阵的条件数… 53 习题二… 56 第三章矩阵分析…… 58 S3.1矩阵序列… 8 S3.2矩阵级数… 60 S3.3矩阵函数… 一、矩阵函数的定义… 61 二、矩阵函数值的计算 68 三、常用矩阵函数的性质 S3.4矩阵的微分和积分 一、函数矩阵的微分和积分… 6 二、数量函数对矩阵变量的导数 78
·i 月录 三、矩阵值函数对矩阵变量的导数 81 §3.5矩阵分析应用举例……82 一、求解一阶线性常系数微分方程组… 82 二、求解矩阵方程 84 三、最小二乘问题 85 习题三… 87 第四章矩阵分解… 0 4.1矩阵的三角分解… 90 一、三角分解及其存在椎一性问题… 90 二、三角分解的紧凑计算格式… 93 §4.2矩阵的QR分解… 97 一、Householder矩阵与Givens矩阵… 二、矩阵的QR分解 … … 104 三、矩阵酉相似于Hessenberg矩阵… 109 §4.3矩阵的满秩分解… 112 “、Hermite标准形… 113 二、矩阵的满秩分解 116 84.4矩阵的奇异值分解… 118 习题四… 123 第五章特征值的估计与表示 4+4+…… 125 S51特征值界的估计… 125 S5.2特征值的包含区域… 128 一、Gerschgorin定理 … 128 二、特征值的隔离… 131 三、05 trowski定理. 133 S5.3 Hermite矩阵特征值的表示… 135 5.4广义特征值问题… 138 一、广义特征值问题 138 二、广义特征值的表示… 140 习题五… 143 第六章广义逆矩阵…… 145 S1广义逆矩阵的概念… 145 §6.2{1-逆及其应用… 146 一、1}一逆的计算及有关性质 …146
目录 ·vi 二、1-逆的应用…149 三、由1-逆构造其他的广义逆矩阵…151 $6.3 Moore-PenroseA+ 153 一、A◆的计算及有关性质 153 二、A在解线性方程组中的应用… 155 习题六…158 第七章矩阵的直积…160 §7.1直积的定义和性质…… 160 §72直积的应用…。 164 -一、矩阵的拉直及其与直积的关系…164 二、线性矩阵方程的可解性及其求解 。 165 习题七…168 习题答案与提示… 169 参考文献… 178
第一章矩阵的相似变换 相似变换是矩阵的一种重要变换.本章研究矩阵在相似变换下的化简问 题，这是矩阵理论中的基本问题之一，本章的内容是后续各章的基础，虽然部 分概念在线性代数课程中已接触过，但更多的是新的内容.为避免篇幅过长， 对部分结论将不加证明，读者可以在高等代数教材中找到有关的证明。 §1.1特征值与特征向量 工程技术中的-一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方 阵的特征值和特征向量. 定义1.1设A∈Cm×n,如果λ∈C和0≠x∈Cm使关系式 Ax Ax (1.1) 成立，则称入为A的特征值，称x为A的对应特征值入的特征向量 将式(1.1)改写为 (λI-A）x=0 这是”个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是 系数行列式det(I-A)=0,这是以入为未知数的一元n次方程，其最高次项 A”的系数为1（称为首一的）. 定义1.2设A∈C×n,称I-A为A的特征矩阵，又称det(aI-A 为A的特征多项式. 显然，A的特征值就是特征方程的根.特征方程在复数范围内恒有解，其 个数为方程的次数（重根按重数计算），因此n阶方阵A有n个特征值.计算 n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤如下： 第一步：求det(I一A)=0的n个根入1，入2，…，入n,它们即为A的全部 特征值； 第二步：求解齐次方程组（入-A)x=0,其非零解向量即为A的对应特 征值λ：的特征向量. 例1.1求下列矩阵的特征值与特征向量： 1-22 -101 (1)A=-2-24;(2)A=120 24-2 -403
·2· 第一章矩阵的相似变换 解(1)A的特征多项式为 |-12 -2 det(I-A)= 21+2-4=(入-2)2（λ+7） -2 -4+2 所以A的特征值为入1=λ2=2，入3=-7. 当A1=2=2时，解方程组(2I-A)x=0.由 〔12-2 12-2 2I-A= 2 4-4-000 -2-44 000 得基础解系 p1=（-2,1,0),P2=(2,0,1)T 所以对应A1=入2=2的全部特征向量为k1P1+k2P2(k1,k2不同时为0)， 当A3=-7时，解方程组(-7I-A)x=0.由 -8 2-21 1012 -7I-A= 2-5-4-→011 -2-4 -5) 000 得基础解系 P3=(-1,-2,2)T 故对应A3=-7的全部特征向量为k3P3(k3≠0) (2)A的特征多项式为 +10-1 det(I-A)= -1入-20=(A-1)2(x-2) 4 0λ-3 所以A的特征值为A1-A2=1,A3=2. 当A1=入2=1时，解方程组(1-A)x=0,由 20-1110-1/2 I-A= -1-10 →0112 40 -2000 得基础解系 P1=(1,-1,2)T 所以k1P1(k1≠0)是对应入1=A2=1的全部特征向量 当A3=2时，解方程组(2I-A)x=0.由 30-1) 100 2I-A= -100 →001 40-1 000
S1.1特征值与特征向量 ·3· 得基础解系 P3=(0,1,0)T 故k3P3(k3≠0)是对应入3=2的全部特征向量 矩阵的特征值与特征向量有如下一些性质 定理1.1设入：是A∈C×n的：重特征值（称r:为特征值入，的代数重 数)，对应入，有s,个线性无关的特征向量（称s:为特征值入；的几何重数），则 1≤s,≤r:.（证明略) 对于例1.1中的第1个矩阵A,对应2重特征值2有2个线性无关的特 征向量，而第2个矩阵A对应2重特征值1只有1个线性无关的特征向量。 定义1.3设f(入)是入的多项式 f(A)=a,5+a-1X-1+…+a1入+a0 对于A∈Cmx,规定 f(A）=aA5+a,-1A-l+…+a1A+a0l 称f(A)为矩阵A的多项式. 定理1.2设A∈Cx”,A的n个特征值为入1，入2，…，入m,对应的特征向 量为x1,x2,…,xm,又设f(入)为一多项式，则f(A)的特征值为f(入)， f(2),…,f(入n),对应的特征向量仍为x1,x2,…,xn.如果f(A)=0,则A 的任一特征值入：满足f(入)=0. 证因为Ax=入x:(i=1,2,…,n),于是对正整数k,有 Ax:=A-l(A,)=入A-1x=…=Ax f(A)x:=(a,A5+a-1A-1+…+a1A+a0I)x: -a,A5x,+a,-1A5-lx:+…+a1A+a0x =(a入+a-1d1+…+a1a:+a0)x=f(a;)x 当f(A)=O时 0=f(A)x=f(λ：)x: 由x:≠0知f（入；）=0. 证毕 定理1.3设入1，入2，…，入是方阵A的互不相同的特征值，x1,x2,…,x 是分别与之对应的特征向量，则x1,x2,…,x,线性无关。 证对s用数学归纳法证明.当s=1时，因为x1十0，所以x1线性无关， 即定理成立，假定对；-1个互不相同的特征值定理成立，下证对s个互不相 同的特征值定理也成立.为此，设有常数1，k2,·,k,使 k1x1+k2x2+…+kx=0