北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 矩阵的对角化 第四节 实对称矩阵的对角化

第四节实对称矩阵的对角化 一、 对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化

第四节 实对称矩阵的对角化 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化

对称矩阵的性质 定理 实对称矩阵的特征值必为实数： 证明： 设为实对称矩阵A=(a,)n的特征值， X= 为对应的特征向量，即AX=几X，X≠0

定理 实对称矩阵的特征值必为实数. 证明: 1 ( ) , , , 0. ij n n n A a x X AX X X x   =      = =        设 为实对称矩阵 的特征值 为对应的特征向量 即 一、对称矩阵的性质

入表示2的共轭复数， X-= : 表示X的共轭复向量， A 表示A的共轭复矩阵， 由于A是实对称矩阵，所以AP=A=A

 表示 的共轭复数,  ( ) n T ij n A A A A A a A  = = = 表示 的共轭复矩阵, 由于 是实对称矩阵,所以 1 n x X X x     =       表示 的共轭复向量

于是由AX=九X, 取共轭可得 AX=X,即AX=X 取转置可得 X'A'=AX'. 所以 X'A'X=AX X

于是由AX X =  , , T T T X A X X X =  所以 AX X AX X = =   , , 可得 即 取共轭 . T T T X A X =  取转置可得

A=AT=A. 即得 XAX=元XX, 故 XAX=AX'X. 所以 (-)XX=0

( ) 0. T   − = X X 所以 , T A A A = = 由 , T T X AX =  X X 即得 , T T X X X X =  故

由X≠0，可知X至少有一个分量不等于0 不放设x≠0，则xx>0,因此 X= =x1+…+xnxn>0 Xn 所以 九-九=0， 因此九=几，即九是实数

0, ,      − = = 所以 因此 即 是实数 由 可知 有 X X  0, . 至少 不 一 量 个分 等于0 1 1 1 1 1 1 1 0, 0, ( , , ) 0 T n n n n x x x x X X x x x x x x x       = = + +        不放设 则 因此

定理 设)，入是实对称矩阵A的两个特征值，P,P 分别是对应的特征向量，若入≠2，则P,与P2正交 证明P1=p1,九2P2=Ap2,九≠入 A对称，A=AI, .n,=(ap)Y=(p)'=p,7A=p,TA, 于是 1p1p2=pp2=p(P2)=2p1p2 → (亿-2)p1p2=0., 元≠人2，p1P2=0.即p1与p2正交

1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , . A p p p p      设 是实对称矩阵 的两个特征值 分别是对应的特征向量若 则 与 正交 定理 证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) 0.  1 − 2 p1 p2 = T   , 1  2 .  p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T

定理 设A为n阶实对称矩阵，入是A的k重特征值， 则 (1)入必有k个线性无关的特征向量， 2)将它们正交化，单位化后，得到入的k个相互正交的 单位特征向量， 定理 设A为阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P 使 P-AP=P'AP=D. 其中D是对角形矩阵，且D的主对角线上的元素 是A的全部特征值

1 , , , , . T A n P P AP P AP D D D A − = = 正交矩阵 是对 设 为 阶实对称矩阵 则必有 使 其中 且 的主对角线上的元素 是 的全部 角形矩阵 特征值 定理 , , 设 为 阶实对称矩阵 是 的 重特征值 A n A k  则: 定理(2) 将它们 , 后,得到 的 个相互正交的  k 单位 正交 特 化 单位化 征向量. (1) ;  必有 个线性无关的特征向量 k

利用正交矩阵将实对称矩阵对 角化 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值： fE-4作门- 其中 几≠九，（位≠ù 而且 =n. i=

根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 二、利用正交矩阵将实对称矩阵对 角化 1. 1 1 ( ) | | ( ) , ( ), . i s k i i i j s i i A f E A i j k n       = = = − = −   =   求 的特征值: 其中 而且

2.对每个见求正交单位特征向量， 即求 (2E-A4)X=0 的基础解系 C102…,0k(i=1,2,…,S月 然后再将 01,023…,Ck 正交化，单位化，得到个相互正交的单位特征向量 Y1Y2,…,k

, 对每个 求 特 i 正交单位 征向量 1 2 1 2 , , , , , , , i i i i ik i i i ik k       然后再将 正交化 单位化,得到 个相互正交的单位特征向量 2. ( ) 1 2 0 , , , ( 1, 2, , ); i i i i ik E A X i s     − = = 即求 的基础解系