第二节相似矩阵和矩阵对角化 山 本节目的利用相似变换把一个矩阵化 成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的 条件和相似变换阵的求解方法
第二节 相似矩阵和矩阵对角化 ◼ 本节目的：利用相似变换把一个矩阵化 成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的 条件和相似变换阵的求解方法
相似矩阵的定义 口定义3己知矩阵A,B是两个n阶方阵如果有 在一个满秩矩阵P使得PAP=B 口则称A,B相似，记作A一B 口相似关系满足以下性质： (1)自反性：A~A: (2)对称性：A~B→B~A: (3)传递性：AB,B~C→A~C
相似矩阵的定义 ◼ 定义3 已知矩阵 ， 是两个 阶方阵如果存 在一个满秩矩阵 使得 ◼ 则称 ， 相似，记作 ◼ 相似关系满足以下性质： ◼ （1）自反性： ； ◼ （2）对称性： ； ◼ （3）传递性： A B n P P AP = B −1 A B A B A ~ A A ~ B B ~ A A ~ B, B ~ C A ~ C
些有用的定理 口定理3相似矩阵有相同的特征多项式，从而有 相同的特征值。 口证明：因为A,B相似，所以存在可逆阵P使 得PAP=B ∴B-E=|PAP-P(E)P =|P(4-E) =P-4-REP =A-
一些有用的定理 ◼ 定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有 相同的特征值。 ◼ 证明 ：因为 相似，所以存在可逆阵 使 得 ◼ ◼ P AP = B −1 A B, P ( ) 1 1 B E P AP P E P − − − = − ( ) 1 P A E P − = − 1 P A E P − = − = − A E
推论如果n阶方阵A与对角矩阵D=diag(入，2，…，入，) 相似，则，，，见，；也是的特征值 小 若方阵A能与一个对角阵相似，则称A可对 角化 口方阵A可对角化的判定条件 口定理4n阶方阵A可以与一个对角型矩 阵D相似的充分必要条件是，A有n个 线性无关的特征向量
推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。 ◼ 若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对 角化 ◼ 方阵 可对角化的判定条件 ◼ 定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩 阵 相似的充分必要条件是， 有 个 线性无关的特征向量。 ( , , , ) D = diag 1 2 n n , , , 1 2 n A A A A n A D A n
证明假设存在可逆矩阵P,使得PAP=D 为对角阵D=diag(,22,…,n), 设P=(pP,P2,…,P)，则由PAP=D →AP=PD 即 A(p1,p2,…,Pn）=(P1,P2,…Pn）
◼ 证明 假设存在可逆矩阵 ，使得 ◼ 为对角阵 ， ◼ 设 ，则由 ◼ 即 P 1 P AP D − = 1 2 ( , , , ) P p p p = n 1 2 ( , , , ) D diag = n = AP PD 1 P AP D − = 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p =
于是Ap,=飞P?、 j=1,2,…,n 可见九，是A的特征值，向量p,就是矩阵A 关于特征值λ.的特征向量 反之， 特征向量 4恰有n个特征值，并可对产 Bp2 2，并且它们线性无尖 令 即是要找的相似变换。 P=(p,p2,…,pn) 定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条 件，而且也给出了求解相似变换阵的方法
◼ 于是 ◼ 可见 ，是 的特征值，向量 就是矩阵 关于特征值 的特征向量 ◼ 反之，设 恰有 个特征值，并可对应 个 特征向量 ，并且它们线性无关。 ◼ 令 即是要找的相似变换。 ◼ 定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条 件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。 A pj = j pj , j =1,2 , ,n j A p j A j j A n n 1 2 , , , n p p p 1 2 ( , , , ) P p p p = n
定理5如果矩阵A的特征值 几≠元，，则与它们 对应的特征向量p,和p,线性无关。 推论若n阶方阵4有n个互异的特征值A,,, 则4可对角化，直 A~diag(%,2,n） 注意上述命题的逆命题不成立，例如单 位阵 E
◼ 定理5 如果矩阵 的特征值 ，则与它们 对应的特征向量 和 线性无关。 ◼ 推论 若 阶方阵 有 个互异的特征值 ◼ 则 可对角化，且 ◼ 注意上述命题的逆命题不成立，例如单 位阵 A i j i p j p 1 2 ( , ,..., ) A diag n 1 2 , ,..., n A n n A E
定理6设入，2，，入，是A的s个互异的特征 值，p,P2,,Pm是A的属于的m,个线性无 关的特征向量，i=1,2.,3，则 pip23pimp213P2mPss.Psm 口也线性无关。 口定理6是说当A有多重特征值时，若每个特征 值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其 也可以对角化
◼ 定理6 设 是 的 个互异的特征 值， 是 的属于 的 个线性无 关的特征向量， ，则 ◼ 也线性无关。 ◼ 定理6是说当 有多重特征值时，若每个特征 值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其 也可以对角化。 1 2 , ,..., s A s 1 2 , , , i i i im p p p A i mi i s =1,2...., 1 2 11 12 1 21 2 1 , , , , ,..., ,..., ,..., m m s sms p p p p p p p A
定理7设是A的一个k重特征值，对应的 特征向量线性无关的最大个数为1，则≥( 也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其 对应的特征值的重数。 定理8n阶矩阵A可对角化的充要条件是A 的每个飞重特征值入对应有k个相形无关的 特征向量。即R(ME-A)=n-k
◼ 定理7 设 是 的一个 重特征值，对应的 特征向量线性无关的最大个数为 ，则 ◼ 也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其 对应的特征值的重数。 ◼ 定理8 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的每个 重特征值 对应有 个相形无关的 特征向量。即 A k l k l n A A i k i i k ( ) R E A n k i i − = −
例题 20 0 口例1设A= 1 2-1 试问4可否对角 1 0 ■化？若能，求出相应的矩阵P。 口解：由2E-=0可得A的特征值为 =12=2(二重) 求解特征向量，分别求解 (E-0X=0与(2E-A)X=0
例题 ◼ 例1 设 试问 可否对角 ◼ 化？若能，求出相应的矩阵 。 ◼ 解：由 可得 的特征值为 ◼ （二重） ◼ 求解特征向量，分别求解 2 0 0 1 2 1 1 0 1 A = − A P E A− = 0 A 1 2 = = 1, 2 ( ) 0 (2 ) 0 E A X E A X − = − = 与