《级性代数》第七章习墨解答 1.设a,B∈R,以下哪些函数(a,B)定义了R的一个内积？ (2)(ka.B)=(ka)'AB=k(a'AB)=k(a,B) (1)(a)=ah+a,h2+ah+2ah-2a,h·香 (3)设： (2)(a,β)=ah+4+ah-ab-a4,是 rER,(a+B,r)=(a+B)"Ay=a'Ay+BAy=(a,r)+(B,y) (3)(a,B)=a6+a6+ab (4)由A的正定性知(a,)=a4如≥0，当且仅当a=0时，a'4=0,即 (4)(a,)=ah+ab3 否 (a,a)=0,从面R"在(a,)=aAB定义下构成欧氏空间·又 2.以下哪些函数定义了C-1,]上的一个内积 a,)=zA=√a4a=√BAB·柯西--施瓦慈不等式为 (1(.)=(g( (×) Ka'AB)sa AaBAB (2)(f,g)=」fxgx达 (×) 4.在R中，求a,B之间的夹角(a,)(内积按对应分量乘积之和)。 (3)(f.g)=(g(d () (1)a=(2,1,3,2)B=1,2,-2,0 (2)a=(1,1,1,2)B=(3,1,-l,0) (4)(f,g)=-∫fxg(x)达.(x) 解1)(a,)=0.a,)= (5)(.g)=f(x)g(xd (√) 3.把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和） 《2）a角=体万a=而(8方，从商 a4=(1,1,0,0）,%2=(1,0,1,0）,a=(-1,0,0,1) 5=(h方，0,0），6=(-古0)=(-要9) u,)=rco贡 4.在向量空间R2中对任意两个向量a=(a,4),B=(伯，b),规定函数 5.在R中，求一单位向量与(1,1，-1,1)，(1，-1，-1,1)，(2,1,1,3)正交. (a,)=5ah+2a,+2a+a,h,验证：(a,)构成内积. 解：设所求向量为ú=（任，西2西），应有： 解：(1)显然(a,B)=(B,a) +2-3+x4=0 (2)对任意常数咒 --+=0解之得：=-青，五2=0,3=-x4, (ka,)=5ka)M+2(ka)%+2(ka2)6+(ka2)4=a,) 2x+x+x3+3x,=0 (3)设向量y=(9,92),a+B=(a+6,42+6) 又对+店+写+=，得：玉±匹 3 (a+B,y)=5a+)G+2(a+b92+2(a2+b)G1+(a42+2)c =5a9+2a9+2az91+a292+569+2b92+2b9+b9 a=(± 4 3 =(a,Y)+(B,Y) (4)(a,a)=5ad+2a,42+2a4+a=aG+(2a,+a,}20,当且仅当4=42=0 6.设4，乌，，g,B是欧氏空间的向量，且B可以由么，凸，…，么线性表示，证明若B 时，即a=0时，(a,a)=0,命题得证. 与每一个%正交(i-1,2,…,s),则B=0. 3.设A是正定矩阵，在R”中对任两个向量a=(,x2,…,x)了，B=(,乃2，…，： 证明：由B可以由么，乌2，…，么线性表示得知，存在一组数k,k…,k,使 定义(，)=AB,证明在此定义下，"构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西一一 B=k%+k4++k,g又B与 4正交 施瓦兹不等式 证明：(1)(B,a)=B4a=(aAB)7=(a,B) (B,B)=(k%+k4+…+kg,B=∑k(a,B)=0,从而 .l
《线性代数》第七章习题解答 -1- 1．设 3 , R ，以下哪些函数 ( , ) 定义了 3 R 的一个内积？ （1） 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 ( , ) 2 2 = + + + − a b a b a b a b a b ， 否 （2） 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 ( , ) = + + − − a b a b a b a b a b ， 是 （3） 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ( , ) = + + a b a b a b ， 否 （4） 1 1 3 3 ( , ) = + a b a b ， 否 2.以下哪些函数定义了 C[ 1,1] − 上的一个内积. （1） 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) f g f x g x dx − = （ ） （2） 1 1 ( , ) ( ) ( ) f g xf x g x dx − = （ ） （3） 1 2 1 ( , ) ( ) ( ) f g x f x g x dx − = （√） （4） 1 1 ( , ) ( ) ( ) f g xf x g x dx − = − （ ） （5） 1 1 ( , ) ( ) ( ) x f g e f x g x dx − − = （√） 3．把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 1 1 1 2 3 3 3 3 1 2 3 2 2 6 6 6 6 6 6 2 1,1,0 ,0 , 1,0 ,1,0 , 1,0 ,0 ,1 , ,0 ,0 , , , ,0 , , , , = = = − = = − = − 4 ． 在 向 量 空 间 2 R 中 对 任 意 两 个 向 量 1 2 1 2 = = ( , ) , ( , ) a a b b ，规定函数 1 1 1 2 2 1 2 2 ( , ) 5 2 2 = + + + a b a b a b a b ，验证： ( , ) 构成内积. 解：（1）显然 ( , ) ( , ) = （2）对任意常数 1 1 1 2 2 1 2 2 ( , ) 5( ) 2( ) 2 ( ) ( ) ( , ) k ka b ka b ka b ka b k = + + + = （3）设向量 1 2 = ( , ) c c ， 1 1 2 2 + = + + ( , ) a b a b 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 ( , ) 5( ) 2( ) 2( ) ( ) + = + + + + + + + a b c a b c a b c a b c = + + + + + + + 5 2 2 5 2 2 a c a c a c a c b c b c b c b c 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 = + ( , ) ( , ) （4） 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 ( , ) 5 2 2 (2 ) 0 = + + + = + + a a a a a a a a a ，当且仅当 a a 1 2 = = 0 时，即 = 0 时， ( , ) 0 = ，命题得证. 3．设 A 是正定矩阵，在 n R 中对任两个向量 1 2 ( , , , )T n = x x x ， 1 2 ( , , , )T n = y y y ， 定义 ( , ) T = A ，证明在此定义下， n R 构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西—— 施瓦兹不等式. 证明：（1） ( , ) ( ) ( , ) T T T = = = A A （2） ( , ) ( ) ( ) ( , ) T T k k A k A k = = = （3）设： ,( , ) ( ) ( , ) ( , ) n T T T + = + = + = + R A A A （4）由 A 的正定性知 ( , ) 0 T = A ，当且仅当 = 0 时， 0 T A = ，即 ( , ) 0 = ，从而 n R 在 ( , ) T = A 定 义 下 构 成 欧 氏 空 间 。 又 ( , ) T T T = = = A A A . 柯 西 — — 施瓦兹不等式为 ( ) T T T A A A 4． 在 4 R 中，求 , 之间的夹角 , （内积按对应分量乘积之和）. （1） = = − (2 ,1,3, 2) (1, 2 , 2 ,1) （2） = = − (1,1,1, 2) (3,1, 1,0) 解：（1） ( , ) 0. , 2 = = （ 2 ） ( , ) 3 ( , ) 3. 7 11 cos , 77 = = = = = ，从而 3 , cos 77 = arc 5．在 4 R 中，求一单位向量与 (1,1, 1,1 , 1, 1, 1,1 , 2 ,1,1,3 − − − ) ( ) ( ) 正交. 解：设所求向量为 1 2 3 4 = ( , , , ) x x x x ，应有： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 2 3 0 x x x x x x x x x x x x + − + = − − + = + + + = 解之得： 4 1 1 4 2 3 4 3 3 x x x x x = − = = − , 0 , ， 又 2222 xxxx 1 2 3 4 + + + = 1，得： 4 3 26 x = ， 4 1 3 ( ,0 , , ) 26 26 26 = 6．设 1 2 , , , , s 是欧氏空间的向量，且 可以由 1 2 , , , s 线性表示，证明若 与每一个 i 正交 ( 1, 2, , ) i s − ，则 = 0 . 证明：由 可以由 1 2 , , , s 线 性 表 示 得 知 ， 存 在 一 组 数 1 2 , , , s k k k 使 1 1 2 2 s s = + + + k k k 又 与 i 正交， 1 1 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 s s s i i i k k k k = = + + + = = ，从而
《级性代数)第七章习墨解答 B=0. %=(-l,1,0,10).a3=(4,-5,0,0,). 7。把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）·4=(1,1,0,0)： %=(10,1.0).%=(-1,0,0,1). 将共标准正交化6=名=(0，之，之，0,0)，取： 22 解卤4=（万万0,0，取 g=4-a,6g=l,方0 B4=%60国8石石50明 1 闪4=而匹 510-105,0: 取月=-a56-a,6=写污. 取=-a-66=等。 5555 6顶8=仁。6号宁)4品6即为所课· 肉- 8。次数不超过3的所有实系数多项式，根据： ,6,6,6即为所求 (/八x8x》=」，(x)g(x达构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基。 10。设，6,63是三维政氏空间中一组标准正交基，证明： 解：1，，口为欧氏空间的一个基，现将共标准正交化.后厅万·（此处 4=写24+26-6.凸=写26-6+26,4=写6-26-26，)他是一组标准正 交基。 f=1,=1ld=2).取： 证明：a「=色==1，%，4,4为单位向量，又 1 B=x-x·迹号·6阿A:光：·取 (a,)=分×+子×(-)+(-)×子=0，类似有： (a,心2)=(2,4)=0,4，乌2，心两两正交.从而4，乌2，心为三推政氏空间中一组标 B=r-,6g-(,6e=r- 准正交基 10.设，，，a是欧氏空间P中一组基，证明：如果B∈，使 af-e-h=最 取 (B,a)=01=12,,n,那么B=0. 4 证明：%，乌…，心。是了中一组基，故存在k,人2…，k。+使 a=66-66-,66-3, B=k4+k34+…ka。 (B,)=(B,k4+ka++ka) =回风年6-：与与巧期球 =k(B,a)+k(B,2)…+k(B,a)=0,B=0 11.在欧氏空间中，如果1,2∈'，使对任意a∈V有(，a)=(y2,a),那么=2 证明：对任意a∈r,(%1,a)=(y2,)即(-2，a)=0,由10知为-2=0，从而为= 8。求齐次线性方程组： 2x+名2-写+-3玩，=0的解空间（作为的子空间）的一 12.设W是由a,必2，…，生成子空间，则向量B垂直W充要条件为：B垂直 5+x3-3+x=0 i=1,2,k. 组标准正交基。 证明：必要性显然，只需证充分性.对任意a∈W,口可由么，必，，凸线性表示，即存 9.解：解方程组 2x+x2-3+4-3x5=0 得解空间的一组基.4=(0,1,1,0,0). 在，2，，，使 +3-3+=0 =+l2+…g(,)=(B,1%+l22++l)
《线性代数》第七章习题解答 -2- = 0。 7． 把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）. 1 = (1,1,0,0) , 2 = (1,0,1,0) , 3 = −( 1,0 ,0 ,1) 。 解： 1 1 1 1 1 1 ( , ,0 , 0) 2 2 = = ，取： 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( , ,1 ,0) 2 2 = − = − ， 2 1 1 1 1 1 6 ( , , , 0) 6 6 2 = = ， 取 3 3 3 1 1 3 2 2 111 ( , ) ( , ) ( , , ,1) 333 = − − = − ， 3 3 3 1 3 3 3 3 ( , , , ) 6 6 6 2 = = − ， 1 2 3 , , 即为所求 。 8． 次数不超过 3 的所有实系数多项式，根据： 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) f x g x f x g x dx − = 构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基。 解： 2 3 1, , , x x x 为欧氏空间的一个基，现将其标准正交化. 1 1 1 1 2 = = ，（此处 1 2 1 1 (1,1) 1 1 2 dx − = = = ），取： 2 1 1 = − = x x x ( , ) ， 1 2 2 2 1 2 3 x dx − = = ， 2 2 2 1 6 2 x = = ； 取 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 ( , ) ( , ) 3 = − − = − x x x x ， 1 2 2 2 3 1 1 8 ( ) 3 45 x dx − = − = ， 2 3 3 3 1 10 (3 1) 4 x = = − ； 取 3 3 3 3 3 4 1 1 2 2 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) 5 = − − − = − x x x x x x ， 3 4 4 4 1 14 (5 3 ) 4 x x = = − ； 1 2 3 4 , , , 即为所求. 8. 求齐次线性方程组： 1 2 3 4 5 1 2 3 5 2 3 0 0 x x x x x x x x x + − + − = + − + = 的解空间（作为 5 R 的子空间）的一 组标准正交基。 9． 解：解方程组 1 2 3 4 5 1 2 3 5 2 3 0 0 x x x x x x x x x + − + − = + − + = ，得解空间的一组基， 1 = (0,1,1,0,0) , 2 = −( 1,1,0,1 ,0), 3 = − (4 , 5,0 ,0 ,1) 。 将其标准正交化. 1 1 1 1 2 2 (0 , , ,0 ,0) 2 2 = = ，取： 2 2 2 1 1 1 1 ( , ) ( 1 , , ,1,0) 2 2 = − = − ， 2 2 2 1 10 10 10 10 ( , , , ,0) 5 10 10 5 = = − − ； 取 3 3 3 1 1 3 2 2 7 6 6 13 ( , ) ( , ) ( , , , ,1) 5 5 5 5 − = − − = ， 3 3 3 1 35 2 35 2 35 13 35 35 ( , , , , ) 15 35 35 105 21 − = = ； 1 2 3 4 , , , 即为所求. 10． 设 1 2 3 , , 是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明： 1 1 2 3 1 (2 2 ) 3 = + − , 2 1 2 3 1 (2 2 ) 3 = − + , 3 1 2 3 1 ( 2 2 ) 3 = − − 也是一组标准正 交基。 证明： 2 2 2 1 2 3 = = = 1， 1 2 3 , , 为单位向量，又： 2 2 2 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 ( , ) ( ) ( ) 0 = + − + − = ，类似有： 1 2 2 3 ( , ) ( , ) 0 = = ， 1 2 3 , , 两两正交. 从而 1 2 3 , , 为三维欧氏空间中一组标 准正交基. 10. 设 1 2 , , , n 是欧氏空间 V 中一组基，证明：如果 V ， 使 ( , ) 0. 1,2, , i = =i n ，那么 = 0 . 证明： 1 2 , , , n 是 V 中 一 组 基 ， 故 存 在 1 2 , , , n k k k ， 使 1 1 2 2 n n = + + k k k . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) n n v k k k = + + + 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) 0 n n = + + + = k k k ， = 0 11．在欧氏空间中，如果 1 2 , V ，使对任意 V 有 1 2 ( , ) ( , ) = ，那么 1 2 = 证明：对任意 V ， 1 2 ( , ) ( , ) = 即 1 2 ( , ) 0 r r − = ，由 10 知 1 2 − = 0 ，从而 1 2 = . 12. 设 W 是由 1 2 , , , 生成子空间，则向量 垂直 W 充要条件为： 垂直 . 1,2, , i i k = . 证明：必要性显然，只需证充分性.对任意 W ， 可由 1 2 , , , 线性表示，即存 在 1 2 l l l , , , ，使： 1 1 2 2 l l l = + + . 1 1 2 2 ( , ) ( , ) l l l = + + +
性代数)第七习解兰 =(B,a)+4(B乌t+(B,a)=0,∴B⊥a,从而B1W。 0.39 -1.89 13.设V是一n维数氏空间，a≠0是V中一固定向量.证明： 解：A= 0.61 -180 (1)={xx,a)=0,xer)是V的子空间：(2)的维数等于n-1. 0.93-168 4(嗣W-60副卧 证明：对任意B,y∈片，(B+y,a)=(B,a)+,a）)=0,∴B+y∈上对任意常数 1.35-1.50 k,(kB,a四=k(B,a)=0,二kB,从而为P的子空间。 二乘解 (2)由定理4知a可扩充为P的一组正交基%，函，…，a,易知： a,%,,a-1∈.对任意B∈，B可由a,乌，，a线性表示。即存在 k,k,k,…,k使B=ka+ka+k++ka,又B∈，知(B,a)=0,即： (ka+ka+ka++aa)=k(a,a)=0 ·k=0.故 B=ka+ka,++ka即B可由4，，…，g线性表示。4，g,…,g为的 一组基。 14,一相数据如下： 12 解：没所求直钱方程为y=匹+b,将玉，y值代入得： 1,3=a+b 1.8=2a+b 2.2=30+b 2.9=4a+b 1.3 (052\ 0.75 六最佳拟合直线方 2.9 程为y=0.52x+0.75. 15.求下列方程的最小二乘解 0.61x-1.80y=1 0.93x-1.68y= 1.35x-1.50y=1
《线性代数》第七章习题解答 -3- 1 1 2 2 = + + + = l l l ( , ) ( , ) ( , ) 0 ， ⊥ ，从而 ⊥ W . 13．设 V 是一 n 维欧氏空间， 0 是 V 中一固定向量。证明： （1） V x x x V 1 = = ( , ) 0 , 是 V 的子空间；（2） V1 的维数等于 n −1. 证明：对任意 1 , V ， ( , ) ( , ) ( , ) 0 + = + = ， + V1 对任意常数 k k k , ( , ) ( , ) 0 = = ， 1 k V ，从而 V1 为 V 的子空间。 （2） 由定理 4 知 可扩充为 V 的一组正交基 1 2 1 , , , n− ，易知： 1 2 1 1 , , , n− V 。 对任意 V1 ， 可 由 1 2 1 , , , n− 线性表示。 即存在 1 2 1 , , , , n k k k k − 使 1 1 2 2 1 1 n n k k k k = + + + + − − ，又 V1 ，知 ( , ) 0 = ，即： 1 1 2 2 1 1 ( , ) ( , ) 0 n n k k k k k + + + + = = − − ， = k 0. 故 1 2 1 n k k k = + + + − 即 可由 1 2 1 , , , n− 线性表示。 1 2 1 , , , n− 为 V1 的 一组基。 14．一组数据如下： 1 2 3 4 1.3 1.8 2.2 2.9 x y 在最小二乘意义下，求最佳拟合直线方程. 解：设所求直线方程为 y ax b = + ，将 x y, 值代入得： 1.3 1.8 2 2.2 3 2.9 4 a b a b a b a b = + = + = + = + ， 1 1 2 1 3 1 4 1 A = ， 1.3 1.8 2.2 2.9 B = , 30 10 10 4 T A A = 1 0.2 0.5 ( ) 0.5 1.5 T A A − − = − , 1 1.3 0.2 0.5 1 2 3 4 1.8 0.52 ( ) 0.5 1.5 1 1 1 1 2.2 0.75 2.9 T T a A A A B b − − = = = − , 最佳拟合直线方 程为 y x = + 0.52 0.75. 15．求下列方程的最小二乘解. 0.39 1.89 1 0.61 1.80 1 0.93 1.68 1 1.35 1.50 1 x y x y x y x y − = − = − = − = 解： 0.39 1.89 0.61 1.80 0.93 1.68 1.35 1.50 A − − = − − ， 3.21 5.42 5.42 11.88 T A A − = − ， 1 1.36 0.62 ( ) 0.62 0.37 T A A − = ，最小 二乘解： 1 1 1 0.20 ( ) 1 0.52 1 T T x A A A y − = = −
