向量场、曲线积分、曲面积分
向量场、曲线积分、曲面积分
例 xi+yj+zk f(x,y,z）= xi+yj+zk (xy2。 Vx2+y2+2 0.5 0.5 -1 0 105 005 0.5
例 2 2 2 ( , , ) x y z x y z x y z i j k f
例 f(x,y,z)=-yi+x灯j f(x,y,z)=xi+yj+zk
例 f i j ( , , ) x y z y x f i j k ( , , ) x y z x y z
梯度向量场(gradient field)、位势函数(potential function) 设f(x)在点x可微，则称向量 af af 为函数f(x)在点x的梯度向量， 简称梯度，记作gradf或Vf,即gradf= af ⊙ 反之，f称为f的一个位势函数
梯度向量场(gradient field)、位势函数(potential function) 1 1 ( ) , , ( ) grad grad , , n n f f f f x x f f f f f x x f f x x x x 设 在点 可微，则称向量 为函数 在点 的 ， 简称梯度，记作 或 ，即 反之， 称为 的一个 梯度向量 位势函数
梯度向量场的判别 单连通区域上v=P(x,y)i+Q(x,y)j是梯度向量场台 (x,)=9 ay (x.y) 证明：（充分性）构造函数Φ(x,)=∫P(x,y)+() 00: -号rx恤+vo-en恤+von =Q(x,y)-Q(xo,y)+'(y),故Q(x,y)=w'(y)→w(y)=∫Q(x,y)d (x)=P(x,y+(,y) 验证知v= i+地
梯度向量场的判别 P x y Q x ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P Q y x y x y y x 单连通区域上v i j是梯度向量场 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ) ( , ( ) ( ) ( , ) ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ( , ) ) ( , ) x x x x x x y y x y x y x y P x y dx Q x y P x y dx y Q x y dx y P x y dx y y y y x Q x y Q x y y Q Q x x y y Q x y dy x y y d x y y v i j 证明：（充分性）构造函数 ，故 ，验证知
梯度向量场的判别 单连通区域上v=P(x,y,z)i+Q(x,y,2j+R(x,y,z)k是梯度向量场 k → 0 =0 Ox ay 0z P Q R 证明： （充分性)构造函数 x,y)=P(x2k+旷0xy+∫ R(xo2 Yo2)d 验证知v= 水 j+
梯度向量场的判别 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 P x y z Q x y z R x y z x y z P Q R v i j k i j k 单连通区域上 是梯度向量场 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z d x y z z v i j k 证明：（充分性）构造函数 ， 验证知
例 v=yi+3xy"j v=2xyzi+x2zj+x2yk v=yi+2xyj Φ=y3x=C Φ=x2yz+C -→→一 年年产产 人大→
例 3 2 3 y xy 3 y x C v i j 4 v i j y xy 2 2 2 2 2xyz x z x y x yz C v i j k
例 求解常微分方程(2 xsiny+3x2y)c+(x3+x2cosy+y2)=0 其中未知函数为y=y(x) 解：注意到'+coy+y）_a2xsny+3x) Ox 8y 2 由于P,Q在全平面连续，故取(x,)=(0,0) 构造位势函数 Φ(x,y)=(2 xsin y+3xy)c+6y少 由dΦ=0计算得到 y+xy+=C
例 2 3 2 2 2 sin 3 cos 0 ( ) x y x y dx x x y y dy y y x 求解常微分方程 其中未知函数为 3 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 3 3 cos 2 sin 3 , ( , ) (0,0) ( , ) 2 sin 3 0 1 sin 3 x y x x y y x y x y x y P Q x y x y x y x y dx y dy d x y x y y C 解：注意到 由于 在全平面连续，故取 构造位势函数 由 计算得到
例 求解常微分方程：(x2+1)(y2-1)c+灯=0 其中未知量y=y(x) 两边除以(y2-)x得到 +l本+y=0,两边积分 2-19 为=1+c 其中C为任意常数 以及特解x=0
例 2 2 1 1 0 ( ) x y dx xydy y y x 求解常微分方程： 其中未知量 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 0 1 , x y x x y dx d e y C x x y x y C 两边除以 ，得到 ，两边积分 通解为： 其中 为任意常数 以及特解
例 求解常微分方程： +上=x,(x≠0)，未知函数y=(x) dx x 解：两边乘(=e上=H,(x≠0) y=5+(*0)
例 3 0 ( ) dy y x x y y x dx x 求解常微分方程： ， ，未知函数 1 4 ( ) , 0 1 , 0 5 dx x x e x x C y x x x 解：两边乘