第三节行列式的性质 口用于化简和计算行列式 」用于理论推导和证明
第三节 行列式的性质 ◼ 用于化简和计算行列式 ◼ 用于理论推导和证明
设 D 02 02 则称 d22 0n2 为D的转置行列式，记为D
设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = 则称 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a 为D的转置行列式，记为 D T
性质1行列式等于它的转置行列式，即D=D 记b=ai，1≤1，j≤n 则 b21 。。d 。。 n2 b = ∑（lw5'a4e…a. hj2In =D
性质1 行列式等于它的转置行列式，即 T D D= 证明 记 则 11 12 1 21 22 2 1 2 n T n n n nn b b b b b b D b b b = , 1 , , ij ji b a i j n = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1) ( 1) n n n n n n j j j j j j n j j j j j j j j nj j j j a a a a a a D = − = − =
由性质1，行与列的地位是对称的，对行成立 的性质对列也成立，反之亦然。以下的叙述与 证明只对行给出。 性质2两行（列）互换， 行列式值改变符号， 即 a 02 00 a n
由性质1，行与列的地位是对称的，对行成立 的性质对列也成立，反之亦然。以下的叙述与 证明只对行给出。 性质2 两行（列）互换，行列式值改变符号， 即 1 2 1 2 1 2 1 2 j j jn i i in i i in j j jn a a a a a a a a a a a a = −
证明记等式右边的行列式为D,它的第， 行互换，得到等式左边的行列式，记为D。 注意D的第i,j元素行指标依次为ji,可得 D=∑(s5'a。…a6…a…a ……… =-∑(4aa影a%…a =-D
证明 记等式右边的行列式为D,它的第 i, j 行互换，得到等式左边的行列式，记为D1。 注意D1的第 i, j 元素行指标依次为 j, i, 可得 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( 1) ( 1) i j i j n i j j i j i n j i t t t jt it nt t t t t t it jt nt t t D a a a a a a a a D = − = − − = −
性质3 两行（列）相同，行列式值为零。 证明 设行列式D的第i,两行元素对应相等。 由性质2，这两行互换，可得D=-D,所以 D=0
证明 设行列式Ｄ的第 i, j 两行元素对应相等。 由性质2，这两行互换，可得 D = – D，所以 D = 0 性质3 两行(列)相同,行列式值为零
性质4一行（列） 所有元素的公因子可提到行 列式记号之外。 ☒无法显示该图片 证明 设行列式D,的第i行元素有公因子飞，则 2 n D kai kaj2 … kain 小2…m an2 =k ∑(-l)>a…a4 …0 ij2…jn kD 推论 有零行（列）的行列式之值为零
性质4 一行（列）所有元素的公因子可提到行 列式记号之外。 证明 设行列式 D1 的第 i 行元素有公因子 k, 则 11 12 1 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a D ka ka ka a a a = 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) n i n n n i n n j j j j ij nj j j j j j j j ij nj j j j a ka a k a a a kD = − = − = 推论 有零行(列)的行列式之值为零
性质5 两行（列） 元素成比例，行列式之值为零。 证明 不妨设第j行元素分别是第行对应元素的 k倍，则 02 a2 0 =k =k×0=0 ha, in 02 ain
性质5 两行（列）元素成比例，行列式之值为零。 证明 不妨设第 j 行元素分别是第 i 行对应元素的 k 倍，则 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 i i in i i in i i in i i in a a a a a a k k ka ka ka a a a = = =
性质6 若有一行（列）是两组数之和，则行列 式可按这行（列）分解为两个行列式之和，即 a a2 b+cr b2+C2 bn+Cn an 02 ann 2 01 a2 b b, b C C2 an an2 an2
性质6 若有一行（列）是两组数之和，则行列 式可按这行（列）分解为两个行列式之和，即 11 12 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn a a a b c b c b c a a a + + + 11 12 1 11 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n nn n n nn a a a a a a b b b c c c a a a a a a = +
证明 左边 = ∑(-1)”aA…(b,+c,a 12j% = ∑(-1)a…ba hjz-In + ∑(-1-a4…c%a i2j =右边
证明 左边 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 1) n i i n n n i n n n i n n j j j j j j nj j j j j j j j j nj j j j j j j j j nj j j j a b c a a b a a c a = − + = − + − = 右边
