第七节矩阵的秩 定义19在m×n矩阵A中任取r行、r列 (r<min{m,n}),位于这些行与列交叉处的 元素所构成的r阶行列式，称为矩阵A的r 阶子式。 定义20当A0时，A中非零最高阶子 式的阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A) (或秩A);当A=0时，规定R(A)=0
第七节 矩阵的秩 定义19 在m×n矩阵A中任取r行、r列 (r≤min{m,n}),位于这些行与列交叉处的 元素所构成的r阶行列式，称为矩阵A的r 阶子式。 定义20 当A≠0时，A中非零最高阶子 式的阶数，称为矩阵A的秩，记为R(A) (或秩A);当A=0时,规定R(A)=0
定理5矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 设 A=(aj)mxn R(A)=r a11 a12 a+kaj an kaj A itkr, an aj2 回
A a R A r 设 = ( i j) mn ( ) = + + + ⎯⎯⎯→ + m m m n j j j n i j i j i n j n n r kr a a a a a a a k a a k a a k a a a a A i j 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 定理5 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩
如果r=0,则A为零矩阵，B也为零矩 阵，R(B)=0.定理得证 如果r>0,由R(A)=r知，A中所有的 ”+阶子式全为0。在B中任取一个 ”+阶子式D,讨论如下： (I)如果D中不含有第i行，则D是A的 r+1阶子式，于是D=0。 上页
阵， 定理得证 如果 则 为零矩阵， 也为零矩 ( ) 0. r 0, = = R B A B 阶子式 讨论如下： 阶子式全为 。在 中任取一个 如果 由 知， 中所有的 1 , 1 0 r 0, R(A) r r D r B A + + = 阶子式，于是 。 如果 中不含有第 行，则 是 的 1 D 0 (1) i D r + = D A
(2)如果D中同时含有i,j两行，则D 与A中对应位置的r+阶子式相等， 故仍有D=0。 (3)如果D中包含第行，不包含第行， D-an+kan dn+kap.am+kam 上页 返回
故仍有 。 与 中对应位置的 阶子式相等， 如果 中同时含有 ， 两行，则 D 0 1 (2) i j D = A r + D (3)如果D中包含第i行，不包含第j行， i j i j i n j n D = a 1 + k a 1 a 2 + k a 2 a + k a
=D+kD 上页 下页 回
= ai1 ai2 ai n aj aj aj n k + 1 2 1 2 = D + kD
123-1 例1A=24 求R(A) 解：A的子式的最高阶数是3，A的所有3 阶子式都为零，即 12312 -1 3 -123-1 24 6, 4 -2 30 0 1 23 6 -2 6-2 21 0 21 都为零 上页 下页 返回
R(A). 3 0 2 1 2 4 6 2 1 2 3 1 求 − − A = 0 2 1 4 6 2 2 3 1 , 3 2 1 2 6 2 1 3 1 , 3 0 1 2 4 2 1 2 1 , 3 0 2 2 4 6 1 2 3 − − − − − − 都为零 例1 解：A的子式的最高阶数是3，A的所有3 阶子式都为零，即
故R(A)<3.又A中有一个二阶子式 所以 R(A)=2 01-1 3 0 1 -2 0 2 A= 0 0 0 1 0 000 00 上页
( ) 2 6 0 3 0 1 2 R(A) 3. A = = − 所以 R A 故 又 中有一个二阶子式 − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 2 1 0 1 1 3 A
因D,是A的r+1阶子式，故D=0,而D2 中无重行，故D,与A中的某一个r+阶 子式仅行的次序可能不同，故仅可能 差一个符号，于是D2=0;故D=0。 综上所述，B的所有r+1阶子式全为0， 故R(B)≤r=R(A) 同样，B也可经过消法变换化为A,故 又有R(A)≤R(B).由此得R(A)=R(B) 上页 区回
差一个符号，于是 故 。 子式仅行的次序可能不同，故仅可能 中无重行，故 与 中的某一个 阶 因 是 的 阶子式，故 而 D 0; 0 D A 1 D 1 0; D 2 2 1 1 2 = = + + = D r A r D R(B) ( ) B 1 0 r R A r = + 故 综上所述， 的所有 阶子式全为 ， ( ) ( ). R(A) ( ) B A 又有R A R B 由此得 = R B 同样， 也可经过消法变换化为 ，故
第一节定理1告诉我们：任一m×n矩阵A 经有限次初等行变换 A 和列的换法变换 定理的推论进一步指出： 因初等变换不改变矩阵的秩，故 R(A)=R(B)=R(1)=r 上页
型阵） 第一节定理 告诉我们：任一 矩阵 和列的换法变换 经有限次初等行变换 B B E C A m n A r ( 0 0 1 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ) 0 0 0 1 标准型 定理 的推论进一步指出： 经有限次初等变换 I E A r = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ R(A) = R(B) = R(I) = r 因初等变换不改变矩阵的秩，故
定义21 设A为m×n矩阵，如果 R(A)=min{m,n},称A为满秩矩阵；如 果R(A)<min{m,n},称A为降秩矩阵。 定理6用满秩方阵乘矩阵不会改变矩 阵的秩。 推论两个满秩方阵的乘积仍为满秩 方阵。 上页 这回
定义21 设A为m×n矩阵，如果 R(A)=min{m,n},称A为满秩矩阵；如 果R(A)<min{m,n},称A为降秩矩阵。 定理6 用满秩方阵乘矩阵不会改变矩 阵的秩。 推论 两个满秩方阵的乘积仍为满秩 方阵
