第四章 矩阵的对角化 本章安排 一，矩阵的特征值和特征向量 二。相似矩阵和矩阵对角化 三，向量的内积和施密特正交化 四.实对称矩阵的对角化
1 一. 矩阵的特征值和特征向量 二. 相似矩阵和矩阵对角化 三. 向量的内积和施密特正交化 四. 实对称矩阵的对角化 第四章 矩阵的对角化 本章安排
第一节矩阵的特征值和特征向量 一.特征值与特征向量的概念 二.特征值与特征向量的性质 三.特征值与特征向量的求法 四.小结思考题 2
2 第一节 矩阵的特征值和特征向量 一. 特征值与特征向量的概念 二. 特征值与特征向量的性质 三. 特征值与特征向量的求法 四. 小结 思考题
~,特征值与特征向量的概念 定义1 设A是n阶方阵，若数入和n维非零列向量 X使得 Ax=入x (1) 成立，则称入是方阵A的一个特征值.X为方阵A的 对应于特征值入的一个特征向量。 注 (①)A是方阵。 (2)特征向量x是非零列向量。 3
3 一. 特征值与特征向量的概念 定义1 设 A 是 n 阶方阵，若数 和 n 维非零列向量 x 使得 Ax x = (1) 成立，则称 是方阵 A 的一个特征值. x 为方阵 A 的 对应于特征值 的一个特征向量。 注： (1) A 是方阵。 （2）特征向量 x 是非零列向量
(3)方阵A的与特征值入对应的特征向量不唯一。 A比=λx→A(x)=2(x) 4 一个特征向量只能属于一个特征值。 如果设x同时是A的属于特征值人，2(21≠入) 的特征向量，即有 AK=入x,Ax=九2N →入x=22N →(2-元2)x=0 由于入-2≠0，则x=0,与定义矛盾
4 1 2 Ax x Ax x = = , = 1 2 x x − = ( 1 2 ) x 0, 由于 1 2 − 0, 则 x = 0, 与定义矛盾. （3）方阵 A 的与特征值 对应的特征向量不唯一。 Ax x A kx kx = = ( ) ( ) （4）一个特征向量只能属于一个特征值。 如果设 x 同时是 A 的属于特征值 1 2 1 2 , ( ) 的特征向量，即有
二.特征值与特征向量的求法 Ax=几x →(A-元E)x=0或(2E-A)x=0 (2 已知x≠0，所以齐次线性方程组(2)有非零解 台A-元E=0或2E-A=0 定义2Ann=（4 数入 nxn 一2 2E-A= 21 λ-22 >2n -Qn2 是关于入的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式
5 Ax x = − = ( A E x ) 0 或 (E A x − = ) 0 (2) 已知 x 0, 所以齐次线性方程组( 2 )有非零解 − = A E 0 或 E A − = 0 定义 2 ( ) , n n ij n n A a = 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵A 的特征多项式。 二. 特征值与特征向量的求法 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a E A a a a − − − − − − − = − − −
1-2 2 -入 f()=A-E= 0 =0 : 2 nn 称为矩阵A的特征方程。 求特征值、特征向量的步骤： (1)A-九E=0,求出入即为特征值； (2)Ax=x→(A-元E)x=0 把得到的特征值孔代入上式， 求齐次线性方程组(A一九E)x=0的非零解x 即为所求特征向向量。 6
6 ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a f A E a a a − − = − = = − 称为矩阵 A 的特征方程。 求特征值、特征向量的步骤： (1) 0, A E − = 求出 即为特征值; (2) Ax x = − = ( A E x ) 0 把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0 的非零解 x 即为所求特征向向量
-1 列1求矩阵A= 的特征值和全部特征向量， 1 解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值 -1-入 0 H-A6- 3-入 1 2- (2-2)(2-1)}=0 特征值为入=2，入2=入3=1 第二步：对每个特征值入代入齐次线性方程组 (A-元E)x=0,求非零解。 7
7 例1 求矩阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A − = − 的特征值和全部特征向量. 解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. A E − = 1 1 0 4 3 0 0 1 0 2 − − − − = − ( )( ) 2 2 1 0 − − = 特征值为 1 2 3 = = = 2, 1 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 ( A E x − = ) 0, 求非零解
当入=2时，齐次线性方程组为(A-2E)x=0 系数矩阵 (4-2E) = 0 自由未知量： X3 0 x1=x2=0令X3=1得基础解系：P1 .k1D1(k1≠0常数)是对应于入=2的全部特征向量。 8
8 当 1 = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = 2 0 ) 系数矩阵 ( ) 3 1 0 2 4 1 0 1 0 0 A E − − = − 1 0 0 0 1 0 000 → 自由未知量: 3 x 1 2 x x = = 0 令 x3 = 1 得基础解系: 1 0 0 1 p = 1 1 1 k p k( 0 常数)是对应于 1 = 2 的全部特征向量
当入2=入3=1时，齐次线性方程组为(A-E)x=0 X1=-X3 1 得基础解系 P2= 2 X2=-2x) 1 ·k2P2(k2≠0常数)是对应于入，=乙3=1的全部特征向量。 9
9 当 2 3 = = 1 时，齐次线性方程组为 ( A E x − = ) 0 ( ) 2 1 0 4 2 0 1 0 1 A E − − = − 1 0 1 0 1 2 0 0 0 → 1 3 2 3 2 x x x x = − = − 2 2 2 k p k( 0 常数)是对应于 2 3 = = 1 的全部特征向量。 2 1 2 1 p − = − 得基础解系
三。特征值和特征向量的性质 性质1 若A的特征值是入，x是A的对应于入的特征向量，则 (I)kA的特征值是k入.(k是任意常数 (2)Am的特征值是入m.(m是正整数) (③)若A可逆，则A1的特征值是1. A的特征值是 且X仍然是矩阵kA,Am,A1,A 分别对应于k以，，2，A 的特征向量。 (4)f(A)为A的多项式，则f(A)的特征值为f(2), o
10 三. 特征值和特征向量的性质 性质1 若 A 的特征值是 ， x 是 A 的对应于 的特征向量，则 (1) kA 的特征值是 k k . ( 是任意常数) (2) m A 的特征值是 . ( m m 是正整数) 1 A − 1 . − (3) 若 A 可逆，则 的特征值是 A 的特征值是 1 A . 1 , , , m kA A A A − 且 x 仍然是矩阵 分别对应于 1 的特征向量。 1 , , , A m k − (4) ( ) f A 为 A 的多项式，则f A( ) 的特征值为f ( ).
