《线性代数》第三章习愿解答 1.已知向量：4=5-1,32,4,3g-44,=3-717,-2,8,求2g+3g, 解： 线性表 4=-28-7,17,-2,8-15-9.6,12 B=k+k乌+k,则表示 --2-48-8=-22 解：不正确.例如：B=0.0.0,=L0,0,a=0.L,0. 24+3=10,-2,6,48y+9,3-663 2,=0.0.1,B=0a+0a,+02,,表示系数全为0. =9,1,0,10,1可 (6)若向量☑，凸，线性相关，A,民线性无关，则4,4，B,A线性相关 解：正确。因4，心，线性相关，即存在不全为零的数k,人使 2设4=2.513,4=0,1510 kg+k马=0，从而k%+kg+0A+0g=0.因k,k.0.,0不全为零，所以 =4,1-l,,并且3a-a)+2%+a)-5a+a)=0 心，a,B.及线性相关. 。 4.判断向量B能香由向量组，乌，，a,线性表示，着能，写出它的一种表示方式. 6a=3a+2a,-5a a)B=ll,22,a=l,l0,0,4,=2,2,0,0,a=0,0,1 =61539r+12m210,20-0.5-55 a,=0.0-l-f =6121824. 解，是搭月=4+2%=+- a=l,234 2)B=l-2,,a=l1,=1,23,=2-,,a=0,00 解：设B=%+马+x,得到方程组 馬++2马3=1 x2+2x3-高1=5 x,+3,+x,=5 解：不正确.如：4=l,242=34,虽然04+0%2=0，但4，a线性无关. 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： (2)如果存在m个不全为零的数人人，…，人，使 「11217 11211 k名+k乌+…+ka。≠0，则向量组，，，a.线性无关. a12-1-20 01-3-3 -60054 01-3-3 服==2 b5i55-0245-2400;10 )如果向量组4,4，…，&线性无关，则其中任何一个向量都 不能由共余向量线性表出 B3-8 01-3-31 解：正确。《反证)如果组中有一个向量可由其余向量线性表示。则向量组 0012+[0012 4,乌，…，C线性相关，与题没矛盾。 (4)如果向量组4，凸，乌线性相关，则a一定可由4，心，线性表示。 故=-62=3x=2,B=-6g+3g+2a+0a
《线性代数》第三章习题解答 -1- 1．已知向量： 1 1 2 [5, 1,3,2,4] ,3 4 [3, 7,17, 2,8] , T T = − − = − − 求 2 3 1 2 + 解: ∵ 2 1 {[3, 7,17, 2,8] [15, 3,9,6,12] } 4 T T = − − − − − 1 [ 12, 4,8, 8, 4] [3,1, 2, 2,1] 4 T T = − − − − − = − ∴ 2 3 [10, 2,6,4,8] [9,3, 6,6,3] 1 2 [19,1,0,10,11] T T T + = − + − = 2.设 1 2 [2,5,1,3] , [10,1,5,10] , T T = = 3 1 2 3 [4,1, 1,1] , 3( ) 2( ) 5( ) 0 T = − − + + − + = 并且 求 解: ∵ 6 3 2 5 = + − 1 2 3 [6,15,3,9] [20,2,10,20] [20,5, 5,5] [6,12,18,24] , T T T T = + − − = ∴ [1,2,3,4] . T = 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 k k k 1 2 = = = = m 0时， k k k 1 1 2 2 + + + = m m 0 成立， 则向量组 1 2 , , m 线性相关 解：不正确.如： 1 2 1,2 , 3,4 T T = = ，虽然 0 0 0, 1 2 + = 但 1 2 , 线性无关。 (2) 如果存在 m 个不全为零的数 1 2 , , , , m k k k 使 1 1 2 2 0, m m k k k + + + 则向量组 1 2 , , , m 线性无关。 解： 不正确. 如 1 1 1 2 1,2 , 2,4 , 1, 2, T T = = = = 存在k 使 k 1 2 1 2 + 2 0, , . 但显然 线性相关 (3) 如果向量组 1 2 , , , m线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 1 2 , , , m 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组 1 2 3 , , 线性相关，则 3 一定可由 1 2 , 线性表示。 解：不正确。例如： 1 2 3 0,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 , T T T = = = 向量组 1 2 3 , , 线 性相关，但 3 不能由 1 2 , 线性表示。 (5) 如果向量 可由向量 1 2 3 , , 线性表示，即： 1 1 2 2 3 3 = + + k k k , 则表示 系数 1 2 3 k k k , , 不全为零。 解：不正确。例如： 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , 1 2 T T T = = = 3 1 2 3 0,0,1 , 0 0 0 T = = + + ，表示系数全为 0。 (6) 若向量 1 2 , 线性相关， 1 2 , 线性无关，则 1 2 1 2 , , , 线性相关. 解：正确。因 1 2 , 线性相关，即存在不全为零的数 1 2 k k, , 使 k k k 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 + = + + + = 0, 0 0 0 从而k . 因 1 2 k k, ,0,0 不 全 为 零 ， 所 以 1 2 1 2 , , , 线性相关。 4.判断向量 能否由向量组 1 2 3 4 , , , 线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) 1,1,2,2 , 1,1,0,0 , 2,2,0,0 , 1 2 T T T = = = 3 0,0,1,1 T = ， 4 0,0, 1, 1 T = − − 解：显然 = + = + − 1 3 1 3 4 2 (2) 1, 2,5 , 1,1,1 , 1,2,3 , 1 2 T T T = − = = 3 2, 1,1 T = − ， 4 0,0,0 . T = 解： 设 1 1 2 2 3 3 = + + , 得到方程组 1 2 3 2 2 3 3 2 3 2 1 2 5 3 5 x x x x x x x x x + + = + − = + + = 对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到： 2 1 1 2 3 1 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 5 4 1 2 1 2 0 1 3 3 0 1 3 3 2 1 3 1 5 0 2 1 4 0 0 5 10 r r r r A r r r r − − = − − − − − − − − − 2 3 1 5 3 2 3 1 0 5 4 1 0 0 6 5 0 1 3 3 0 1 0 3 3 0 0 1 2 0 0 1 2 r r r r r − − − − + 故 x x x 1 2 3 = − = = 6, 3, 2, = − + + + 6 3 2 0 . 1 2 3 4
《线性代数》第三章习愿解答 (3)B=[12,34,a=[l,1,2,2,a2=[1,0,0,0 k+k(a1+凸)+k(a+色2+4)=0 43=[-1,-2,-2,-2],44=[2,0,0,0 即(k+k2+k34+(k1+k)a2+k必1=0 解：设B=X么+X心+龙43+X,心，对该方程组的增广矩阵作初等 行变 4,,a线性无关，k+k3+k=0, 换得到： k+k=0, 「11-1217 「0112-17 k3=0, 万-5 1- 10-202 10-202 :系数行列式 5-2 20=203 00201 11 20-204 4-200200 4=011=1≠0，：上方程组只有零解 「0112-17 00 10-202 =B k=k=k=0,从而向量组4,4+必，4++4线性无关. 4-00201 7,判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可 0000-1 由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 因阶梯形矩阵B所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 (1a=1,-2,4,8,=1,39,27, B不能由a以，，4，a,线性表示 43=[1,4,1664,&=[1,-1,l,- 4B=[5,-2,-2,0,%=[1,1,2,3,42=[1,2,-3, 解：以a,乌2，，a为列向量作矩阵A=[4,C乌2,4，心]，作初等行变换得到： 4=[1,-l,-l,2a4=[1,4,-5,1. [1111 「1111] 「0561] 解：设B=X1+X2凸2+X3+Xa:,对该方程组的增广矩阵作初等变换得到 -234-1 5+ -1450 A= -1450+5 「11115]「10001] 49161 5-385o+ 020300 12-14-2 01002 -82764-1+-728650-7@00300 2-3-1-5-2 →00103 显然R()=4,向量a4,2,4,心线性无关 312110」0001-1 ②)a4=-210,342=[1-324, =1,32=2,3=3,x4=-1,B=4+2%+33-4 a4=[3,0,2.-l,a=[2,-2,4,6 5.证明：如果n维单位坐标向量组6,62，…，6n可由n维向量组4，乌，"，线性表 解：令A=[凸，，心，心对A作初等行变换，得到： 示，则向量组4，凸，…，a,线性相关. 「-21327 「0-5 3 -2 To 34 0 34 证：向量组a,乌，，a也可由6,6，，6线性表示 0 5+2r .向量组%，a2,…,gn与向量组6,52，，6n等价，所以向量组a,乌2，…，心n的秩为n, M= 1-30-25+251-3 -2 0 0224-302 2 5+3r 0 28 0 28 所以线性无关。 34-16 013 -1 12 13 -1 12 6.若向量组，2，3线性无关，证明：向量组，么+心2,+乌+也线性无 关 证：设有常数k,k2,k,使
《线性代数》第三章习题解答 -2- (3) 1,2,3,4 , 1,1,2,2 , 1,0,0,0 , 1 2 T T T = = = 3 4 1, 2, 2, 2 , 2,0,0,0 . T T = − − − − = 解: 设 = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等 行变 换得到： 1 2 3 2 4 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 0 2 0 2 1 0 2 0 2 2 2 0 2 0 3 0 0 2 0 1 2 2 0 2 0 4 0 0 2 0 0 r r A r r r r − − − − − = − − − − 4 3 0 1 1 2 1 1 0 2 0 2 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 r r B − − − = − 因阶梯形矩阵 B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 1 2 3 4 不能由 线性表示 , , , . (4) 5, 2, 2,0 , 1,1,2,3 , 1,2, 3,1 , 1 2 T T T = − − = = − 3 4 1, 1, 1,2 , 1,4, 5,11 . T T = − − = − 解： 设 = + + + 1 1 2 2 3 3 4 4 ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到： 1 1 1 1 5 1 0 0 0 1 1 2 1 4 2 0 1 0 0 2 2 3 1 5 2 0 0 1 0 3 3 1 2 11 0 0 0 0 1 1 A − − = → − − − − − = = = = − = + + − x x x x 1 2 3 4 1 2 3 4 1, 2 , 3, 1, 2 3 5. 证明： 如果 n 维单位坐标向量组 1 2 , , , n 可由 n 维向量组 1 2 , , , n 线性表 示，则向量组 1 2 , , , n 线性相关。 证： 1 2 1 2 , , , , , , 向量组 也可由 线性表示 n n , 向量组 1 2 , , , n 与向量组 1 2 , , , n 等价，所以向量组 1 2 , , , n 的秩为 n， 所以线性无关。 6. 若向量组 1 2 3 , , 线性无关，证明：向量组 1 1 2 1 2 3 , , + + + 也线性无 关。 证： 设有常数 1 2 3 k k k , , , 使 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 3 3 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 , , 0, 0, 0, 1 1 1 0 1 1 1 0, . 0 0 1 k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + = + + + + + = + + = + = = = = 即 线性无关， 系数行列式 上方程组只有零解 k k k 1 2 3 1 1 2 1 2 3 = = = + + + 0, , , 从而向量组 线性无关. 7. 判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可 由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。 (1) 1 2 1, 2,4,8 , 1,3,9,27 , T T = − = 3 4 1,4,16,64 , 1, 1,1, 1 . T T = = − − 解：以 1 2 3 4 , , , 为列向量作矩阵 A = 1 2 3 4 , , , , 作初等行变换得到： 2 1 1 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 5 6 1 2 3 4 1 1 4 5 0 1 4 5 0 3 4 9 16 1 3 8 15 0 0 20 30 0 7 8 27 64 1 7 28 65 0 0 0 30 0 r r r r A r r r r r r r r + + − − − − = − + + − − − − 显然 1 2 3 4 R A( ) 4, , , , = 向量 线性无关. (2) 1 2 2,1,0,3 , 1, 3,2,4 , T T = − = − 3 4 3,0,2, 1 , 2, 2,4,6 . T T = − = − 解：令 A = 1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 1 2 3 4 4 2 1 3 2 1 3 2 0 5 3 2 0 34 0 34 1 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 2 4 3 0 2 2 4 3 0 28 0 28 3 4 1 6 0 13 1 12 0 13 1 12 r r r r A r r r r − − − − − − − − − + + = − + − − −
《线性代数》第三章习愿解答 0101 0101 a4=[2,1,-1,0 -30-25+3新1001 R 解 令A=a,a:aa小，对A作初等行变换，得到： 0 -131-125+13折0011 [41127 「67-301「67-30 0 000 0000 -1-3215-25-1-321 -1-321 =B -541-5+5-6-730 0000 故RA)=RB=3.a,凸，a,线性相关。 -6-730 6-7300000 且由B可知，心，=+C42+ R(A=R(B=2,向量组的秩为2，么，是一个极大无关组. (3)4=[3,-1,24=[1,5-7,a3=[7,-13,20. (2)4=[1,0,0,0,=[3,0,0,0,a=[01,0,0, 解：令A=【a,%,a],解方程组AX=0,其中X=x,X2,X]了，对系数矩阵A作初等行 4=0,01, 变换得到： 解：么，山2线性相关，.4，心，么3，心线性相关。而以，心心线性无关.向量 组的秩是3.4，，a,是一个极大无关组. 「3171 「016-3215「01-21 =-15-13+3 -15-13kr1-513 8a=[0,,%=21,0,%=01,旷a=,1 27205+240361xl61-2 解：令A=[4,乌，心，a],对A作初等行变换，得到 「1201 「12011 A=01II5-40111=B 5-5000] 10110-210 显然RMA=RB=3.向量组的秩是3，并且4，，a,是向量组的一个极大无关组。 由B得同解方程组名=-3X,取x3=1,得X=[-3,2,,名2=2X -30+6+4=0,4=34-20,4,,a,a线性相关. (3)4=[1,23,4,2=[234,5,4=[3,4,5,6, a4=[4,5,6,7 4)4=[1,21,%2=112,-1,4=[34,5, 解：令A=[,a2,,a],对A作初等行变换，得到： 「1234 「1234] 「12341 解：令A=4,么，a】对A作初等行变换得到： 24-2012-3 0123 4= 「113] 「1131 5456-0-242600008 -2 45675-0-3-6-90000 A= i5-2137 0-1-25+50-1 =B 0125-2000 显然RA=R(B=2.。向量组的秩是2，并且a,a2是一个极大无关组。 -11-0-2-2 1002 9.投向量组白，42,4线性无关，阝=4++4，证明： ,RA=R(B=3,∴a,a2,线性无关. ()当=0时，%，心2，B线性相关： 8.求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (2)当入≠0时，4,2，B线性无关 04=4-l,-5,-6,%=1-34,-7,4=1,2,13 证明：(1)当元=0时，B=%+4,∴4,2，B线性相关， (3)当方≠0时，设有常数，2，x,使
《线性代数》第三章习题解答 -3- 2 1 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 0 2 1 0 0 1 3 0 13 1 12 0 0 1 1 13 0 0 0 0 0 0 0 0 r r B r r − − + → = − − + 故 R(A)=R(B)=3. 1 2 3 4 , , , 线性相关。 且由 4 1 2 3 B可知， = + + . (3) 1 2 3 3, 1,2 , 1,5, 7 , 7, 13,20 . T T T = − = − = − 解： 令 A = 1 2 3 , , , 解方程组 AX=0，其中 X= 1 2 3 , , T ,对系数矩阵 A 作初等行 变换得到： 1 2 3 1 2 1 16 1 3 2 2 3 1 7 0 16 32 0 1 2 3 1 5 13 1 5 13 1 5 13 2 2 7 20 0 3 6 0 1 2 1 r r r A r r r r − − + = − − − − − + − − − − 2 1 3 1 0 1 2 5 1 0 3 0 0 0 r r B r r − + = − 由 B 得同解方程组 1 3 3 2 3 3 , 1 , 3,2,1 , 2 T = − = = − = 取 得X − + + = = − 3 0, 3 2 1 2 3 3 1 2 , 1 2 3 4 , , , 线性相关。 (4) 1 2 3 1,2,1,1 , 1,1,2, 1 , 3,4,5,1 . T T T = = − = 解：令 A = 1 2 3 , , , 对 A 作初等行变换得到： 2 1 3 2 3 1 4 2 4 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 2 2 1 4 0 1 2 0 1 2 1 2 5 0 1 2 0 0 0 2 1 1 1 0 2 2 0 0 2 r r r r A r r B r r r r − − − − − + = − = − − − − − ∴R(A)=R(B)=3 , 1 2 3 , , 线性无关。 8. 求下列向量组的秩，并求出一个极大无关组。 (1) 1 2 3 4, 1, 5, 6 , 1, 3, 4, 7 , 1,2,1,3 , T T T = − − − = − − − = 4 2,1, 1,0 T = − 解 ： 令 A = 1 2 3 4 , , , , 对 A 作 初 等 行 变 换 ， 得 到 ： 1 2 3 2 4 1 1 2 6 7 3 0 6 7 3 0 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 5 4 1 1 6 7 3 0 0 0 0 0 6 7 3 0 6 7 3 0 0 0 0 0 r r A B r r − − − − − − − − − = → = − − − − − + − − − ∴ R(A)=R(B)=2 , 向量组的秩为 2, 1 2 , 是一个极大无关组。 (2) 1 2 3 1,0,0,0 , 3,0,0,0 , 0,1,0,0 , T T T = = = 4 0,0,1,1 . T = 解： 1 2 , 线性相关， 1 2 3 4 , , , 线性相关。而 1 3 4 , , 线性无关。∴向量 组的秩是 3。 1 3 4 , , 是一个极大无关组。 (3) 1 2 3 4 1,0,1 , 2,1,0 , 0,1,1 , 1,1,1 T T T T = = = = 解：令 A = 1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 3 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 2 1 0 A r r B = − = − 显然 R(A)=R(B)=3. 向量组的秩是 3,并且 1 2 3 , , 是向量组的一个极大无关组。 (3) 1 2 3 1,2,3,4 , 2,3,4,5 , 3,4,5,6 , T T T = = = 4 4,5,6,7 . T = 解 ： 令 A = 1 2 3 4 , , , , 对 A 作初等行变换，得到： 2 1 3 1 4 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 3 4 5 0 1 2 3 0 1 2 3 3 3 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0 4 4 5 6 7 0 3 6 9 0 0 0 0 r r A r r B r r − − − − = − → = − − − − − − − 显然 R(A)=R(B)=2. 向量组的秩是 2 , 并且 1 2 , 是一个极大无关组。 9. 设向量组 1 2 3 , , 线性无关， = + + 1 1 2 2 3 3 ，证明： (1) 当 3 = 0 时， 1 2 , , 线性相关； (2) 当 3 0 时， 1 2 , , 线性无关 证明： (1)当 3 = 0 时， = + 1 1 2 2 ， 1 2 , , 线性相关。 (3) 当 3 0 时，设有常数 1 2 3 x x x , , ，使
《线性代数》第三章习愿解答 %+%+xB=0, 向量组4，凸2，…，a,B线性相关，故B一定可由必，凸，…， 即+xa+(3+2x)吗2+r43=0. 线性表示。 a1a2,43线性无关，二 充分性：若任一n维向量均可由向量组4,2，…，a。线性表示，则n维单位坐标 出+2x3=0 向量组6,62，…，6n可由么，，…，an线性表示，又a,心2，，an可由马，，…，6n线性表 x2+2x3=0, 示，向量组a,必2，…，么与向量组6,62,6n等价，“向量组a,42,…,么的秩是n, x323=0. 么，必，…，a线性无关。 ,≠0.3=0，进而x=2=0∴4，a2,线性无关 13.试证：若向量组%，凸，，a,与向量组凸，凸2，…，么，B有相同的秩 10.设月=0%+2， 则B可由%，，，区线性表示。 月=4-2， 证明：向量组月，月，B,线性相关 证：设向量组4,2，…，心，的秩为「，不失一般性，设4，，…，a,(1≤)为向量组 月=24-42， 4,凸，，a的极大无关组，则a4,2,,,与4，凸，a,等价，依圈设向量组 证：们若凸1，，线性无关，设有常数，2，， 4,,,心，B的秩也为片，故a,心，…，，也是4，凸，…，心，B的极大无关组，B可 使x月+x民+xB=0,即 由么，4，，，线性表示，进而，可由4，马，…，a,线性表示. (角+为+23)4+（年--x)2=0 14设1,2，，4是互不相同的r个非零实数，r≤n,证明： 因a,%线性无关，5+书+2=0 因方程组一定有非零 )向量组么=[，了 x-2-x3=0 解，二B,民，B线性相关。 4=[4…4], (的若4,2线性相关，不妨设%=k%,于是 线性无关。 「民=(1+k)8, a,=[42,4, 月=1-k)4，由此可知，月，B,B线性相关。 (2)任一r维向量都可由a,必，，a,线性表示. B=(2-k)a, 证：令A=[a,必，…，a],则A的前r行元素组成的r阶子式 a1=[l0,…,0,a' h3… 111…1 42=0,l…,0a 26… 44…, 1.n个叶1维向量 是否线性相关？ =6…… a,=0,0,la, 2… =44,(g-,)≠0故RA片，4，凸，，&线性无关 解：？维单位坐标向量组6,62，…，6，线性无关，而无关组增添分量 仍无关，∴向量组a,心2，…，位n线性无关。 (②对任一r维向量B,向量组a,凸，，4，B线性相关.而4，a,,a线性无关，一B 可由%，心2，…，C线性表示 12.设心，，"，心，是一组n维向量，证明：它们线性无关的充分必要条 15.设A为n阶方阵，%，必，，a为n维列向量， 件是：任一n维向量都可由它们线性表示， ()证明：若4,4，，a线性相关，则4红，A红，，c也线惟相关 证：必要性：若向量组么，，，C线性无关，则对任一n维向量B, (2) 间：若4，凸，，4线性无关，4,4奶4血，是香也线性无关，为什么？
《线性代数》第三章习题解答 -4- x x x 1 1 2 2 3 + + = 0, 1 1 3 1 2 2 3 2 3 3 3 即(x x x x x + + + + = ) ( ) 0. 1 2 3 , , 线性无关， 1 1 3 2 2 3 3 3 0, 0, 0. x x x x x + = + = = 3 3 1 2 1 2 = = = 0, 0, 0, , , . x x x 进而 线性无关 10. 设 1 1 2 = + , 2 1 2 1 2 3 3 1 2 , , , 2 , = − = − 证明：向量组 线性相关. 证： (i) 若 1 2 , 线性无关，设有常数 1 2 3 x x x , , , 使 即 x x x 1 1 2 2 3 3 + + = 0 , 1 2 3 1 1 2 3 2 ( 2 ) ( ) 0 , x x x x x x + + + − − = 因 1 2 , 线性无关， 1 2 3 1 2 3 2 0 0 x x x x x x + + = − − = 因方程组一定有非零 解， 1 2 3 , , 线性相关。 (ii) 若 1 2 , 线性相关，不妨设 2 1 = k ，于是： 1 1 2 1 3 1 (1 ) , (1 ) , (2 ) , k k k = + = − = − 由此可知， 1 2 3 , , 线性相关。 11．n 个 n+1 维向量 1 1 2 2 1,0, ,0, , 0,1, ,0, , , 0,0, ,1, , T T T n n a a a = = = 是否线性相关？ 解：∵n 维单位坐标向量组 1 2 , , , n 线性无关，而无关组增添分量 仍无关，∴向量组 1 2 , , , n 线性无关。 12. 设 1 2 , , , n 是一组 n 维向量，证明：它们线性无关的充分必要条 件是：任一 n 维向量都可由它们线性表示。 证：必要性：若向量组 1 2 , , , n 线性无关，则对任一 n 维向量 ， 向量组 1 2 , , , , n 线性相关，故 一定可由 1 2 , , , n 线性表示。 充分性：若任一 n 维向量均可由向量组 1 2 , , , n 线性表示，则 n 维单位坐标 向量组 1 2 , , , n 可由 1 2 , , , n 线性表示，又 1 2 , , , n 可由 1 2 , , , n 线性表 示，∴向量组 1 2 , , , n 与向量组 1 2 , , , n 等价，∴向量组 1 2 , , , n 的秩是 n， ∴ 1 2 , , , n 线性无关。 13. 试证：若向量组 1 2 , , , r 与向量组 1 2 , , , , r 有相同的秩， 则 可由 1 2 , , , r 线性表示。 证： 设向量组 1 2 , , , r 的秩为 r，不失一般性，设 1 2 1 , , , r (r1 r)为向量组 1 2 , , , r 的极大无关组，则 1 2 1 , , , r 与 1 2 , , , r 等价，依题设向量组 1 2 , , , , r 的秩也为 1 r ,故 1 2 1 , , , r 也是 1 2 , , , , r 的极大无关组， 可 由 1 2 1 , , , r 线性表示，进而，可由 1 2 , , , r 线性表示。 14. 设 1 2 , , , r t t t 是互不相同的 r 个非零实数， r n ，证明： (1) 向量组 2 1 1 1 1 , , , , T n = t t t 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , T n T n r r r r t t t t t t = = 线性无关. (2) 任一 r 维向量都可由 1 2 , , , r 线性表示. 证： 令 A = 1 2 , , , , r 则 A 的前 r 行元素组成的 r 阶子式 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 r 1 1 1 r r r r r r r r r r r t t t t t t t t t t t t t t t t t t − − − = 1 2 1 r i j ( ) 0 j i r t t t t t = − 故 R(A)=r, 1 2 , , , r 线性无关. (2) 对任一r 维向量 ，向量组 1 2 , , , , r 线性相关.而 1 2 , , , r 线性无关， 可由 1 2 , , , r 线性表示. 15. 设 A 为 n 阶方阵， 1 2 , , , r 为 n 维列向量， (1) 证明： 若 1 2 , , , r 线性相关，则 1 2 , , , A A A r 也线性相关； (2) 问：若 1 2 , , , r 线性无关， 1 2 , , , A A A r 是否也线性无关，为什么 ？
《线性代数》第三章习愿解答咨 ()证明：若a,凸2，，心，线性相关，即存在不全为零的常数k1,人2，，人·使 和为 0) k%+k2++k,a,=0.从面有： [2-a 2 4[k+k3+…+k,a]=k4+k242+…+k,4拉=0.，k,k2,…,k不全 (3)设a为实数，如果齐次线性方程组 X=0有非零解，则a=(1或 2-a 为零，4虹，红2，，缸，线性相关。 (2)红，，，A血，不一定线性无关。如当A=E,则血，42，，线性无关，若 3) A=0,则，A,,AC,线性相关。 (4)设A为n阶方阵，如果方程组AX=b有唯一解，则A一定(b,d) 16.试证：设A是n阶方阵(n≥2)，则 a.奇异b,非奇异 c.a,b都有可能d满秩 n,R(A)=n, 19.求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解。 )=1, R(40=n-1, ()+5x-x3-x4=0, 0,R(A)<n-. -2x3+53+3x=0 证：0若Am,则4≠0，由fA=4E,得到r=4。 3x+82-+x=0, x1-9x2+3x1+7x4=0, r=40,f)=n- 解：对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 (间如果R(An-1,则A的列向量组a,凸，，a,线性相关，其中必有一列向量是 「15-1 -17 15-1-17 组中其余向量的线性组合，不妨设： 1-213-50-724 A= 4=k,凸+k必+…+k么据行列式的性质可知，A的第2列至第n列元素的代数余 38-115-3 0-724 子式全为0，R(A)=m1,:,A的第1列元素的代数余子式中至少有一个不为0.由此得到 1-937-0-1448 的第1行元素不全为零，而第2行至第n行元素全为0，.()=1. 「15-1-1] 「1是01] (i而若AKn-,则A的m-1阶子式全为零，“A=0,R()=0. 5-5 0-子12 0-子12 (17)设有线性方程组： 5-25 00005+g0000 a+x+o=d, 若口 ≠0，问： 哲0000」 0000 a+2+c,=d2 同解方程组： =-3-4 (1)系数矩阵A秩是多少？ 3=子2-2x (2)增广矩阵A的秩是多少 -] -1 (3)方程组是否有解，有多少解？ (4方程组的导出组是否有基础解系？基磁解系中含有多少个解向量？ 得基础解系 方程组的通解！ 解：()RA=2.(2)R(4)=2.(3)方程组有解，有无穷多解. (4)方程组的 0 1 导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 X=k及+k及，其中k,k为任意实数 18.选择和填空 (1)设A是n阶方阵，方程组AX=0有无穷多解，则方程组A4X=0, (2)-3+2x3+x4=0, (c) 2-x2+3+2x4=0 a,只有零解b有n个解c.有无穷多解d.无解 x-x3+x4=0, (2)设A,B均为n阶方阵，且A=1,则方程组AX=0与BX=0的非零解的个数之 3-+3x=0
《线性代数》第三章习题解答 -5- (1) 证明：若 1 2 , , , r 线性相关，即存在不全为零的常数 1 2 , , , r k k k ，使 1 1 2 2 0. r r k k k + + + = 从而有： 1 1 2 2 1 1 2 2 0. A k k k k A k A k A + + + = + + + = r r r r 1 2 , , , r k k k 不 全 为零， 1 2 , , , A A A r 线性相关。 (2) 1 2 , , , A A A r 不一定线性无关。如当 A=E，则 1 2 , , , A A A r 线性无关，若 A=0，则 1 2 , , , A A A r 线性相关。 16. 试证： 设 A 是 n 阶方阵 ( 2) n ，则 , ( ) , ( ) 1 , ( ) 1, 0 , ( ) 1. n R A n R A R A n R A n = = = − − 证： (i) 若 R(A)=n，则 A 0 ，由 A A A E = ，得到 n A A A = ， 1 0 n A A − = ， R A n ( ) = . (ii) 如果 R(A)=n-1，则 A 的列向量组 1 2 , , , n 线性相关，其中必有一列向量是 组中其余向量的线性组合，不妨设： 1 2 2 3 3 . n n = + + + k k k 据行列式的性质可知，A 的第 2 列至第 n 列元素的代数余 子式全为 0，R(A) =n-1，∴A 的第 1 列元素的代数余子式中至少有一个不为 0.由此得到 A 的第 1 行元素不全为零，而第 2 行至第 n 行元素全为 0， R A( ) 1. = (iii) 若 R(A)<n-1，则 A 的 n-1 阶子式全为零， A 0 = ， R A( ) 0. = (17) 设有线性方程组： 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 , , a x b x c x d a x b x c x d + + = + + = 若 1 1 2 2 0 a b a b ，问： (1) 系数矩阵 A 秩是多少？ (2) 增广矩阵 A 的秩是多少？ (3) 方程组是否有解，有多少解？ (4) 方程组的导出组是否有基础解系？基础解系中含有多少个解向量？ 解： (1) R(A)=2. (2) R A( ) 2. = (3) 方程组有解，有无穷多解. (4) 方程组的 导出组有基础解系，基础解系中有一个解向量。 18. 选择和填空 (1) 设 A 是 n 阶方阵，方程组 AX=0 有无穷多解，则方程组 0 T AA X = . (c) a . 只有零解 b .有 n 个解 c .有无穷多解 d .无解 (2) 设 A,B 均为 n 阶方阵，且 AB =1 ，则方程组 AX=0 与 BX=0 的非零解的个数之 和为 (0) (3) 设 a 为实数，如果齐次线性方程组 2 2 1 0 2 2 a X a − = − 有非零解，则 a = (1 或 3) (4) 设 A 为 n 阶方阵，如果方程组 AX=b 有唯一解，则 A 一定(b，d) a . 奇异 b . 非奇异 c . a，b 都有可能 d .满秩 19. 求下列方程组的一个基础解系，并用基础解系表示其通解. (1) x x x x 1 2 3 4 + − − = 5 0 , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 0 , 3 8 0 , 9 3 7 0 , x x x x x x x x x x x x − + + = + − + = − + + = 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到 2 1 3 1 4 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 2 1 3 0 7 2 4 3 3 8 1 1 0 7 2 4 1 9 3 7 0 14 4 8 r r A r r r r − − − − − − − = − − − − − − 3 2 3 2 7 7 2 2 4 2 1 2 1 2 2 1 5 1 1 1 0 1 0 1 2 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r r r r r r − − − − − − + 故 同解方程组： 3 1 2 4 2 x x x = − − 7 3 2 4 2 x x x = − 2 依次取 2 4 1 0 , , 0 1 x x = 得基础解系 3 2 1 2 7 2 1 1 0 , 2 0 1 − − = = − . 方程组的通解： X k k = + 1 1 2 2 ，其中 1 2 k k, 为任意实数. (2) x x x x 1 2 3 4 − + + = 2 0 , 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 2 2 0 , 0 , 3 3 0 , x x x x x x x x x x − + + = − + = − + =
《线性代数》第三章习愿解答 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到 -21 1 -121 -2 -1 217 1 0 0 -112 01-3 0 A= 0-115- -305-5 =k 0 +k-1+k1其中，k,k,k3为任意实数。 1 01 000 0 3-103-3 02 -605- 0 1 000 o] 0 同解方程组x=一x4 -2 「-4 x2=3x3 ,依次取自由未知量的值 得方程组的基础 1 0 基础解系片= 0 ,= 「1 「- 0 0 3 0 0 0 解系：乃= = 方程组的通解为： 0 (4)x+2x2-x3+3x4-6x3=0, 0 1 2x1+4x2-2x3-x+5x5=0, X=k仍+k乃，其中k,k为任意实数 2x1+4x3-2x3+4x-2x3=0 (3)x1+2x2-2x3+2x4-x3=0, 解：对方程组的系数矩阵作初等行变换得到： x+2x2-x3+3x-2x3=0 「12-13-61 「12-13-6 2x1+4x2-7x3+x+x5=0. 1=24-2155-2 000-717 解：对方程组的系数矩阵A作初等行变换得到： 24-24-25-24000-210 12-22-17 12-22 -1 4i2-325-5001i 「12-13-6 「12-10 9 -2 -1 -000-717 5+7 0000 -18 124-711」 400-3-33 -5 +20204 0001-5-0001 「12-1097 0011-1 一5 5+300000] 0001-5 500001J 故同解方程组：x1=-2x2-4x4+3x 同解方程组=-2x2+x-9x 2=2, =X3 X3= -4+x5 考= 4= , = 5x5 = x=0 取与=k,x4=k,x5=3,得到方程组的通解 取=k,高=2,得到方程组的通解 6
《线性代数》第三章习题解答 -6- 解：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到 2 1 1 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 2 1 1 2 0 1 3 0 0 1 3 0 1 0 1 1 0 1 3 0 0 0 0 0 3 3 1 0 3 0 2 6 0 0 0 0 0 r r r r A r r r r r r r r − − − − + − − − = − − − − − − − − ∴ 同解方程组 1 3 4 x x x = − ， x x 2 3 = 3 . 依次取自由未知量的值 3 4 1 0 , 0 1 x x = 得方程组的基础 解系： 1 2 1 1 3 0 , 1 0 0 1 − = = ，方程组的通解为： X k k = + 1 1 2 2 ，其中 1 2 k k, 为任意实数. (3) x x x x x 1 2 3 4 5 + − + − = 2 2 2 0 , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 3 2 0 , 2 4 7 0. x x x x x x x x x x + − + − = + − + + = 解：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 3 2 0 0 1 1 1 2 2 4 7 1 1 0 0 3 3 3 r r A r r − − − − − = − − − − − − − 故同解方程组： x x x x 1 2 4 5 = − − + 2 4 3 , 2 2 3 4 5 4 4 5 5 , , , x x x x x x x x x = = − + = = 取 2 1 4 2 5 3 x k x k x k = = = , , , 得到方程组的通解： 1 2 3 1 2 3 4 5 2 4 3 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 x x x k k k x x − − − = + + 其中， 1 2 3 k k k , , 为任意实数。 基础解系 1 2 3 2 4 3 1 0 0 0 1 1 , , . 0 1 0 0 0 1 − − = = = − (4) x x x x x 1 2 3 4 5 + − + − = 2 3 6 0 , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 2 4 2 5 0 , 2 4 2 4 2 0 , x x x x x x x x x x + − − + = + − + − = 解： 对方程组的系数矩阵作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 2 1 3 6 1 2 1 3 6 2 2 4 2 1 5 0 0 0 7 17 2 2 4 2 4 2 0 0 0 2 10 r r A r r − − − − − = − − − − − − − 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 3 6 1 2 1 0 9 7 0 0 0 7 17 0 0 0 0 18 3 0 0 0 1 5 0 0 0 1 5 r r r r r − − − + − − − − − − 1 18 2 2 3 1 2 1 0 9 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 r r r − − − ∴同解方程组 x x x x 1 2 3 5 = − + − 2 9 2 2 3 3 4 5 5 , , 5 , 0 x x x x x x x = = = = 取 2 1 3 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 3 2 1 2 0 4 3 2 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 r r r r − + − +
《线性代数》第三章习愿解答 -2 5-5「120-13 0 5-+500101 所以原方程组的同解方程组为（取七2，x,为自由 =k0 +k,1,基磁解系： -500000 0 0 未知量) 0 =-2x2 +x,+3, -21 2=2 0 Y:= 1, %=0= 4= 0 取=k,x=名，得到方程组的通解： 0 Lo -2 T1「3] 1 =k +k 0 ,其中k,为任意实数。 20.设A= 证明：A的行向量组一定线性相关。 0 x 0 2L.设A是n×m矩阵，B是m×n矩阵，其中n<m,若AB=E,证明：B的列向量组 (2)x +x3-x=-3 线性无关。 2x-x2+4x3-3x4=-4, 22.设A是n矩阵，且4=0，证明：A中必有一列向量是共余列向量的线性组合。 31+3+3 =1 23.设向量组4,4，，4线性无关，月=∑a,4,=l2,,证明：向量组 7x1 +7x3-3x=3 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 月，月，，月线性无关的充分必要条件是： 「101-1-3] 「101 -2 -1-31 a…a 2-14-3-4 0-1 2-12 1- 3110 5-3 1-23 10 ……… 07-33-2400 0 4 na…an 5+01- 24 -3+4 10 10 3 24.判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 01-21 2 0 -2 0 -5 (1)+22+x3-x=4, 0002 125-2 10 0 0 6 3x1+6x2-x3-3x=8, -0001 65L00 0 0 5x+10x2+1-5x=16, 取x,为自由未知量，得原方程组的同解方程组： 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到 = -3+3, 「121-147 「121-141 a=36-1-385-3 2= 2x3-8 00-40-4 5101-5165-5 5= 0040-4 X= 6
《线性代数》第三章习题解答 -7- 1 2 3 1 2 4 5 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 x x x k k x x − = + ，基础解系： 1 2 2 1 1 0 0 1 , . 0 0 0 0 − = = 20. 设 11 12 21 22 31 32 a a A a a a a = ，证明：A 的行向量组一定线性相关。 21. 设 A 是 n m 矩阵，B 是 m n 矩阵，其中 n m 。若 AB=E，证明：B 的列向量组 线性无关。 22. 设 A 是 n 矩阵，且 A = 0 ，证明： A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。 23. 设向量组 1 2 , , , r 线性无关， 1 ( 1,2, , ) r i ij j j a i j = = = ，证明：向量组 1 2 , , , r 线性无关的充分必要条件是: 11 12 1 21 22 2 1 2 0 r r r r rr a a a a a a a a a 24. 判断下列非齐次方程组是否有解，若有解，用导出组的基础解系表示其通解。 (1) x x x x 1 2 3 4 + + − = 2 4 , 1 2 3 4 1 2 3 4 3 6 3 8 , 5 10 5 16 , x x x x x x x x + − − = + + − = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到 2 1 3 1 1 2 1 1 4 1 2 1 1 4 3 3 6 1 3 8 0 0 4 0 4 5 5 10 1 5 16 0 0 4 0 4 r r A r r − − − = − − − − − − − − 3 2 1 1 2 4 1 4 2 1 2 0 1 3 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 r r r r r − − − − ，所以原方程组的同解方程组为（取 2 4 x x , 为自由 未知量） x x x 1 2 4 = − + + 2 3 , 2 2 3 4 4 , 1 , , x x x x x = = = 取 2 1 4 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 1 2 3 4 2 1 3 1 0 0 , 0 0 1 0 1 0 x x k k x x − = + + 其中 1 2 k k, 为任意实数. (2) x x x 1 3 4 + − = −3 , 1 2 3 4 1 2 3 1 3 4 2 4 3 4 , 3 1 , 7 7 3 3 . x x x x x x x x x x − + − = − + + = + − = 解：对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 2 1 3 1 4 1 1 0 1 1 3 1 0 1 1 3 2 2 1 4 3 4 0 1 2 1 2 3 3 1 1 0 1 0 1 2 3 10 2 7 0 7 3 3 0 0 0 4 24 r r A r r r r − − − − − − − − − − = − − − − 1 4 3 2 2 4 2 3 4 1 4 4 3 4 1 0 1 1 3 1 0 1 0 3 0 1 2 1 2 0 1 2 0 8 0 0 0 2 12 0 0 0 1 6 2 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 r r r r r r r r r r r r − − + + − − − − − − − . 取 3 x 为自由未知量，得原方程组的同解方程组： 1 3 2 3 3 3 4 3 , 2 8 , , 6 . x x x x x x x = − + = − = =
《线性代数》第三章习愿解答 取x3=k,得到方程组的通解： 取x3=k1,x4=k2,得到方程组的通解： -1 3 2 -8 其中k为任意实数 =k -k3 0 0 其中k,k为任意实数 0 0 6 0 (3)x+5x+4-13x,=3, 25.证明：线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是其导出AX=0只有零解。 3x-x3+2x3+5x4=2, 证：必罢性：若方程组AX=b有唯一解，则R(A)=R(石=n(未知量个数)， 2x1+2x2+3x1-4x4=1 导出组AX=0只有零解。 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 充分性：如果导出组AX=0只有零解，则R(A)=n(未知量个数)，从而 「154-133] -06 5 4 -13 31 n之R(A)之R(4)=n,即R)=R(A)=n.方程组AX=b有唯一解。 A=3-125 -7 26.入取何值时，下列非其次线性方程组(i)有唯一解：()无解：（出）有无穷多解： 224-20 -8 -522 -5 当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示共通解。 (1)x+2+x3=1, (2)2x1-2+x3+x4=1 「154-133 5-20-8-5 22 ++=1, 3+22-x3+4x4=2, -5 5000 1+7x2-4x3+11x4=1 0 3 x1+2+x3=入2 解：计算系数行列式 :R()=2≠3=R(A)∴原方程组无解。 (4x+2y-3:+2p=2 2r+5y-8:+6r=5 3x+4y-5:+2w=4 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： [12-322] -2r 12 -3221 -=(2+21+12 ()当入本-2，元≠1时，方程组有唯一解（克莱姆法则）， A=25-865 01 -22 1 54524-0-2 ()当1=一2时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到 4 -4-2 「-21111 0-33-3] 「101-20 5+201-221 12i-25*2 1-21-2 5-20000 i124]5-503-36 「0-33-3] ∴原方程组的同解方程组： 5+51-21-2 = -x3+2x4 l0003] = 2x-2x4+1, ,R()=2本(A)=3方程组无解。 3= (ⅷ)当入-1时，对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 4 8
《线性代数》第三章习题解答 -8- 取 3 x k = ，得到方程组的通解： 1 2 3 4 1 3 2 8 , 1 0 0 6 x x k x x − − = + 其中 k 为任意实数. (3) x x x x 1 2 3 4 + + − = 5 4 13 3 , 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 5 2 , 2 2 3 4 1 . x x x x x x x x − + + = + + − = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 5 4 13 3 1 5 4 13 3 3 3 1 2 5 2 0 16 10 44 7 2 2 2 3 4 1 0 8 5 22 5 r r A r r − − − = − − − − − − − − − 2 3 2 3 1 5 4 13 3 2 0 8 5 22 5 0 0 0 0 3 r r r r − − − − − . ∵ R A R A ( ) 2 3 ( ) = = ∴原方程组无解。 (4) x y z w + − + = 2 3 2 2 , 2 5 8 6 5 , 3 4 5 2 4 . x y z w x y z w + − + = + − + = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2 2 2 5 8 6 5 0 1 2 2 1 3 3 4 5 2 4 0 2 4 4 2 r r A r r − − − = − − − − − − − 3 2 3 2 1 0 1 2 0 2 0 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 r r r r − + − − . ∴原方程组的同解方程组： 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 2 , 2 2 1 , , . x x x x x x x x x x = − + = − + = = 取 3 1 4 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 1 2 3 4 1 2 0 2 2 1 1 0 0 0 1 0 x x k k x x − − = + + ， 其中 1 2 k k, 为任意实数. 25. 证明：线性方程组 AX b = 有唯一解的充分必要条件是其导出 AX = 0 只有零解。 证： 必要性： 若方程组 AX b = 有唯一解，则 R A R A n ( ) ( ) = = （未知量个数），∴ 导出组 AX = 0 只有零解。 充分性： 如果导出组 AX = 0 只有零解，则 R A n ( ) = （未知量个数），从而 n R A R A n = ( ) ( ) ，即 R A R A n ( ) ( ) = = 。∴方程组 AX b = 有唯一解。 26. 取何值时，下列非其次线性方程组 （i）有唯一解；（ii）无解；（iii）有无穷多解； 当有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其通解。 （1） x x x 1 2 3 + + =1 , （2） 2 1 , 1 2 3 4 x x x x − + + = 1 2 3 2 1 2 3 , . x x x x x x + + = + + = 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 , 7 4 11 . x x x x x x x x + − + = + − + = 解：计算系数行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2) 1 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = + = + − − 2 = + + ( 2)( 1) （i）当 − 2, 1 时，方程组有唯一解（克莱姆法则）. （ii）当 =−2 时，对方程组的增广矩阵作初等行变换得到： 1 2 3 2 2 1 1 1 0 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 4 0 3 3 6 r r A r r − − − + = − − − − − − − 3 1 0 3 3 3 1 2 1 2 0 0 0 3 r r − − + − − ∵ R A R A ( ) 2 ( ) 3 = = ∴方程组无解。 （iii）当 =1 时，对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到：
《线性代数》第三章习愿解答 「11111「1111] 斯1=-x3-x4+青， a=1115-0000 2=3-+}: b115-40000 X3= ,原方程组的同解方程组： r,三 =-x2-x3+1, 令=5流1，x=5头2，得到方程组的通解： 3=2 -1 -67 3 =k 取=k,=k·得到方程组的通解 5 +k2 0 0 其中k,k为任意实数 「-11 「-1「11 x 0 5 ( =k1+无0 +0 其中k,k为任意实数 27.证明：方程组 -3=4 x 10 11o -=4: (2)对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 3-4=43, 「2-11117 「0-53-7 3 =12-142 -212-14 x4-X5=a4, 2 7415-05-37a- -x6=45. 有解的充分必要条件是：4+4+a3+a4+as=0 「0-53-7 -31 证明：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： 5+512-14 2 「1-10004 「1-1000 00%002-5 01-10042 01-100 ()元+5，(A)=2≠3=，，方程组无解. a=001-1045+r001-10 0 (i)当2=5时， 0001-14 0001-1a4 -100014 0-1001 ds+a 「10-100 4+4 01-100 5+5 「01-子] 001-10 as 5+5 5-2r10 0001-1 l00000] 00-101a5+a1+42」 「0-53-7 -3] 01 「100-10 a+a+a →12-1 4 2 -12-142 5+5010-10 a2+a3 0000 00000 5+5001-10 ∴原方程组的同解方程组： 5+50001-1 000-l1a+a+a+a3」
《线性代数》第三章习题解答 -9- 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 r r A r r − = − ∴原方程组的同解方程组： 1 2 3 2 2 3 3 1 , , . x x x x x x x = − − + = = 取 2 1 3 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 1 2 3 1 1 1 1 0 0 , 0 1 0 x x k k x − − = + + 其中 1 2 k k, 为任意实数. （2）对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 1 2 3 2 2 1 1 1 1 0 5 3 7 3 2 1 2 1 4 2 1 2 1 4 2 1 7 4 11 0 5 3 7 2 r r A r r − − − − − = − − − − − − 3 1 0 5 3 7 3 1 2 1 4 2 0 0 0 0 5 r r − − − + − − . （i） 5 ∵ R A R A ( ) 2 3 ( ) = = ， ∴方程组无解。 （iii）当 = 5 时， 3 7 3 5 5 5 1 5 1 0 5 3 7 3 0 1 1 2 1 4 2 1 2 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A r − − − − → − − − ∴原方程组的同解方程组： 1 4 6 1 3 4 5 5 5 3 7 3 2 3 4 5 5 5 3 3 4 4 , , , . x x x x x x x x x x = − − + = − + = = 令 x k x k 3 1 4 2 = = 5 , 5 ，得到方程组的通解： 4 1 5 3 2 5 1 2 3 4 1 6 3 7 , 5 0 0 0 5 0 x x k k x x − − − = + + 其中 1 2 k k, 为任意实数. 27. 证明： 方程组 1 2 1 x x a − = , 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 , , , . x x a x x a x x a x x a − = − = − = − = 有解的充分必要条件是： a a a a a 1 2 3 4 5 + + + + = 0 . 证明：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 1 1 2 2 3 3 5 1 4 4 5 5 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 a a a a A r r a a a a a a a − − − − = + − − − − − − + 1 2 2 1 2 3 5 2 4 5 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 a a a r r a r r a a a a − + − + − + − − + + 1 2 3 1 3 2 3 2 3 3 5 3 4 5 1 2 3 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 a a a r r a a r r a r r a a a a a − + + + − + + − + − − + + + 3 7 3 5 5 5 1 4 6 2 1 5 5 5 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 r r − −
《线性代数》第三章习愿解答 5+500001 +a+a+a 4 -17 0100-1 5+0010-1 az+a+a =ky +k 0 0 其中k,k为任意实数 a3+a4 *00011 X3 0 5t000004+a+a+a+a 2当a≠-8时， 显然当且仅当4=42=a3=a=a5=0时，(A)=)=4,即方程组有解. [10 41-1 T1001 -1 28.讨论：当参数a,b取何值时，下列方程组有解：无解：当有解时，用导出组的基 础解系表示其通解。 A→B点 01221 5+40102 001005-200100 +x2-2x3+3x4=0 00000 00000 2x+2-6x3+4x4=-】, “原方程组的同解方程组： 3x+22+m+7x=-1, 1=--1 -2-6x1-x=b 2=-2x4+1, 解：对方程组的增广矩阵A作初等行变换得到： x3= 0 「11-230 5-2 「11 2 301 A- 21-64 -1 0-1 -2 -2 -1 令X,=k,得到方程组的通解： 32a7 -1 5-3新 0-1a+6-2 -1 「-1 1-1-6-1 P4- -2 -4 -4 b 2 -2 [10-41 17 3 0 其中k为任意实数 0 0122 1 1 0 =B 00a+80 0 29.设A为n阶方阵，试证：存在非零方阵B,使AB=0的充分必要条件是4=0. 0000b+2 证：将n阶方阵B按列分块成B=[月月…B],则AB=0,即 显然(i)当b≠-2时，R()≠R(A),方程组无解： [ABAB·AB】=00…0],于是，存在非零方阵B,使AB=0白方 (ii)当b=-2时，方程组有解， 程组AX=0有非零解。一4=0. 1°当a=-8时，原方程组的网解方程组： 4x3-x4-1, 30.元取何值时，向量组： 2= -2x1-2x4+1, a=[-1,0,,4=【4,2,3,43=[1,-3,+. 3= (1)线性相关， (2)线性无关 X= 令3=k,x=人，得到方程组的通解 解·以4，凸，4为列向量，构造矩阵A=[4西]， -1-411-1-41 4=0-3=02-3=- 2-3 131+10-12+2 1a+2 =-(2+2-3)
《线性代数》第三章习题解答 -10- 1 2 3 4 1 4 2 3 4 2 4 3 4 3 4 4 5 4 5 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 a a a a r r a a a r r a a r r a r r a a a a a − + + + + − + + + − + + − + + + + + . 显然当且仅当 a a a a a 1 2 3 4 5 = = = = = 0 时， R A R A ( ) ( ) 4 = = ，即方程组有解。 28．讨论： 当参数 a b, 取何值时，下列方程组有解；无解；当有解时，用导出组的基 础解系表示其通解。 x x x x 1 2 3 4 + − + = 2 3 0 , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 6 4 1 , 3 2 7 1 , 6 , x x x x x x ax x x x x x b + − + = − + + + = − − − − = 解：对方程组的增广矩阵 A 作初等行变换得到： 2 1 3 1 1 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0 2 2 1 6 4 1 0 1 2 2 1 3 3 2 7 1 0 1 6 2 1 4 1 1 6 1 0 2 4 4 r r A r r a a r r b b − − − − − − − − − = − − − + − − − − − − − − − 1 0 4 1 1 0 1 2 2 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 2 B a b − − → = + + . 显然（i）当 b −2 时， R A R A ( ) ( ) ，方程组无解； (ii）当 b =−2 时，方程组有解， 1 当 a =−8 时，原方程组的同解方程组： 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 4 1 , 2 2 1 , , . x x x x x x x x x x = − − = − − + = = 令 3 1 4 2 x k x k = = , ，得到方程组的通解： 1 2 1 2 3 4 4 1 1 2 2 1 , 1 0 0 0 1 0 x x k k x x − − − − = + + 其中 1 2 k k, 为任意实数. 2 当 a −8 时， 1 3 1 8 3 2 3 1 0 4 1 1 1 0 0 1 1 0 1 2 2 1 0 1 0 2 1 4 0 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a r r A B r r r + − − − + → − ， ∴原方程组的同解方程组： 1 4 2 4 3 4 4 1 , 2 1 , 0 , . x x x x x x x = − − = − + = = 令 4 x k = ，得到方程组的通解： 1 2 3 4 1 1 2 1 0 0 1 0 x x k x x − − − = + ，其中 k 为任意实数. 29．设 A 为 n 阶方阵，试证：存在非零方阵 B ，使 AB = 0 的充分必要条件是 A = 0。 证：将 n 阶方阵 B 按列分块成 B = 1 2 n ， 则 AB = 0 ， 即 A A A 1 2 n = 0 0 0 ，于是，存在非零方阵 B ，使 AB = 0 方 程组 AX = 0 有非零解。 = A 0 。 30. 取何值时，向量组： 1 2 3 1, 0 ,1 , 4, , 3 , 1, 3, 1 T T T = − = − = − + . （1）线性相关 ， （2）线性无关 . 解：以 1 2 3 , , 为列向量，构造矩阵 A = 1 2 3 ， 2 1 4 1 1 4 1 3 0 3 0 3 ( 2 3) 1 2 1 3 1 0 1 2 A − − − − − = − = − = − = − + − − + + − +
