实数和数列极限
实数和数列极限
集合定义（朴素集合论） 所谓集合，是我们直观感到或意识到的，由确定的、 彼此不同的对象联合成的整体—G.Cantor >设M为一集合，用P()表示“M是不以自己作为元素 的集”这样一种性质，考察具有性质P的集合的类 K={M|PM)},如果K是集合，那么，或者P(K)为真， 或者P(K)为假，然而，这对于K二择一是不可能的。 因此，K不是集合。—B.Russell
集合定义(朴素集合论） 所谓集合，是我们直观感到或意识到的，由确定的、 彼此不同的对象联合成的整体——G.Cantor 设M为一集合，用P(M)表示“M是不以自己作为元素 的集”这样一种性质，考察具有性质P的集合的类 K={M | P(M) }，如果K是集合，那么，或者P(K)为真， 或者P(K)为假，然而，这对于K二择一是不可能的。 因此，K不是集合。——B.Russell
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 康托(1845-1918)以集合论的创始人和对古典分析 学及拓扑学的根本性贡献而闻名的德国数学家。他创 立了实数等效于有理数的「柯西序列」类的定义，开 集和闭集的定义以及「超限数」的理论。他起初于 1869年执教于University of Halle,于1879年成为终 身教授，并一直留任在此，在长期患精神病后于1918 年去世。 Cantor223岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研 究.他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础.他 29岁(1874)时在《数学杂志》上发表了关于集合论 的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念， 引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些 概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离 散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，由于他 的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反 对，这种争辩持续了十年之久.Cantor由于经常处于 精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最后 死于精神病院。集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各 个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数 理科学中必不可少的工具
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 康托（1845─1918）以集合论的创始人和对古典分析 学及拓扑学的根本性贡献而闻名的德国数学家。他创 立了实数等效于有理数的「柯西序列」类的定义，开 集和闭集的定义以及「超限数」的理论。他起初于 1869年执教于University of Halle，于1879年成为终 身教授，并一直留任在此，在长期患精神病后于1918 年去世。 Cantor23岁获博士学位, 以后一直从事数学教学与研 究. 他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础. 他 29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论 的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念， 引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些 概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离 散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，由于他 的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反 对，这种争辩持续了十年之久. Cantor由于经常处于 精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最后 死于精神病院。集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各 个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数 理科学中必不可少的工具
Bertrand Arthur William Russell 国别：英国蒙茅斯郡 生卒年月：1872一1970 英国哲学家、数理逻辑学家，分析学的主要创始 人，世界和平运动的倡导者和组织者。 1890年考入剑桥大学三一学院学数学，后在该学 院讲逻辑和数学原理 罗素曾于1920年来华讲学，任北京大学客座教授， 时间长达一年之久，其讲稿曾在中国出版，书名 为：《罗素五大讲演》。罗素回国后写了《中国 的问题》一书，书中讨论了中国将在20世纪历史 中发挥的作用。 1950年获诺贝尔文学奖（获奖作品《婚姻与道 德》)。 50年代因积极参加世界和平运动，反对核战争而 获得世界和平奖 代表作品：《西方哲学史》、《我的哲学发展》 《幸福之路》、《自由之路》、《哲学问题》、 《数学原理》
Bertrand Arthur William Russell 国 别： 英 国 蒙茅斯郡 生卒年月： 1872－1970 英国哲学家、数理逻辑学家，分析学的主要创始 人，世界和平运动的倡导者和组织者。 1890年考入剑桥大学三一学院学数学，后在该学 院讲逻辑和数学原理 罗素曾于1920年来华讲学，任北京大学客座教授， 时间长达一年之久，其讲稿曾在中国出版，书名 为：《罗素五大讲演》。罗素回国后写了《中国 的问题》一书，书中讨论了中国将在20世纪历史 中发挥的作用。 1950年获诺贝尔文学奖（获奖作品《婚姻与道 德》）。 50年代因积极参加世界和平运动，反对核战争而 获得世界和平奖 代表作品：《西方哲学史》、《我的哲学发展》、 《幸福之路》、《自由之路》、《哲学问题》、 《数学原理》
集合的运算 交换律 》结合律 ，分配律 ，对偶原理
集合的运算 交换律 结合律 分配律 对偶原理
集合之间的等势关系 设A与B是两个集合，如果存在一个由A到B的一一映射，则称A与B有 相同的势，或者说A与B等价，记作A~B 如果集合A~N,称A为可数集，若慨不是有限集又不是可数集则叫做 不可数集
集合之间的等势关系 , A B A B A B A B A A A B A N 设 与 是两个集合，如果存在一个由 到 的 ，则称 与 有 相同的 ，或者说 与 等 一 价，记作 如果集合 称 为 ，若 既不是有限集又不是可数集则 一映射 势 可数集 叫做 不可数集
可数集合性质 任一无限集必包含一个可数集合 可数个可数集的并积仍然为可数集 当4∩A=p,(i≠)时，考虑 4={a1,42,a13,a14}4,={a21,a2,a23,a4},4={a31,a32,a3,a34} A4={a41,a42,a43,a44,…. 94={a,4e414,42,4,44…- 当4门4≠，时，构造4=4，(=A-心4 →AnA=组U4=UA
可数集合性质 任一无限集必包含一个可数集合 可数个可数集的并积仍然为可数集 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44 11 12 21 31 22 13 14 1 1 * * 1 1 1 * * * 1 1 ,( ) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , i j i i i i j i i j j i j i i i i A A i j A a a a a A a a a a A a a a a A a a a a A a a a a a a a A A A A A A A A A A A 当 时，考虑 当 时，构造 且
例 倒：自然数集 例2：有理数集合是可数集 例3：R中互不相交的开区问族是可数集 山，-0，证明：f)= (1)-实数集合，证明：)= 1/2,x=0 (0,l)~[0,l,证明：f(x)=1/n+2,x为正整数的倒数 x,x≠0，x不是正整数的倒数时
例 2 1 [ 1,1] [0,1] ( ) 2 ( 1,1) ( ) 1 1/ 2 0 (0 1) [0 1] ( ) 1/ 2 , 0, x f x x f x x x f x n x x x x ，证明： 实数集合，证明： ， ， ，，证明： ， 为正整数的倒数 不是正整数的倒数时 例1：自然数集 例2：有理数集合是可数集 例3：R中互不相交的开区间族是可数集
数轴 卜原点 )单位长度 ，开区间，内点 ，闭区间 半开半闭区间 ，绝对值，长度，三角不等式 有理数，无理数 例√2
数轴 原点 单位长度 开区间，内点 闭区间 半开半闭区间 绝对值，长度，三角不等式 有理数，无理数 例：2
有理数定义和运算法则 定义：Q-{ peZ,9∈N,p,94质 有理数的加法、减法、乘法、除法的性质 a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=a, 对每一数a存在数-a,满足a+(-a)=0,a>b→a+c>b+c ab=ba,(ab)c=a(bc,a-l=a,对于每一非零的数a,存在数上满足a.1=l a (a+b)c=ac+bc,a>b,c>0=ac>bc
有理数定义和运算法则 , , , , , 0 , , ( ) 0 1 1 , , 1 , , 1 , , 0 p Q p Z q N p q q a b b a a b c a b c a a a a a a a b a c b c ab ba ab c a bc a a a a a a a b c ac bc a b c ac bc 定义： 互质 有理数的加法、减法、乘法、除法的性质 对每一数 存在数 满足 ， 对于每一非零的数 存在数 满足