北京化工大学2008—2009学年第一学期 《高等数学》（上）期中考试试卷 课程代码MAT13900T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 2 3 总分 得分 一、填空（每空3分，3分×27=81分） 1.设f(x)的定义域D,=[0,1],f(x-a),(a>0)的定义域D2=_ 2.lim(1+3x)= 3.已知f)= aog x-1 4.若数列{x}有1imlx=0,则1imx。 5.arecot x ecx-cosx1+x2）-emx 6.lim- In(1+x2) 7.若数列{x}满足对n,x>≥0且limx=a,则a的取值范围 &给何新点分类：点一号是痛致y立的 间断点。 9.无穷小量阶的比较：当x→0时，f(x)=2+3-2与x比较是 无穷小。 第1页
第 1 页 北京化工大学 2008——2009 学年第一学期 《高等数学》（上）期中考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 0 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 总分 1 2 3 得分 一、填空（每空 3 分，3 分×27=81 分） 1．设 f x( ) 的定义域 D1 =0 ,1， f x a ( ) − ，（ a 0 ）的定义域 D2 = 。 2． ( ) 1 0 lim 1 3 x x x → + = 。 3．已知 ( ) 1 x f x x = − （ x 0 ,1 ），则 1 ( ) f f x = 。 4．若数列 xn 有 lim 0 n n x → = ，则 lim n n x → 。 5． 1 ln 1 lim arccot x x →+ x + = 。 6． ( )( ) ( ) 1 2 1 cos 0 2 sec cos 1 lim ln 1 x x x x x x − → − + = + 。 7．若数列 xn 满足对 n， 0 n x 且 lim n n x a → = ，则 a 的取值范围 。 8．给间断点分类：点 2 x = 是函数 tan x y x = 的 间断点。 9．无穷小量阶的比较：当 x →0时， ( ) 2 3 2 x x f x = + − 与 x 比较是 无穷小
10.曲线y=e*在点(0,1)处的切线方程 11.设xy+1=e'确定y是x的函数，则 d dx 2=0 x=2e 12.设 在t=0处法线方程 (y=e 1以.设了存在J=则票 r 15.设y=tan2(1+2x2),则dy=」 16.设函数)在x=%处可导，m)- 2h =-1,则f(x)= 17.设点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点，则a=_ ,b= 18.函数y=2x3-3x2在区间-1,4上的最大值是 19.函数y=x2在x>0范围内的极小点是 20.函数fx)=n二按(x-2)的幂展开的二阶泰勒公式中的拉格朗日余项 R(x)= 21.函数y=(2x-a(a-x)2(a>0)在区间 上单调减小。 22.曲线y=ecmr在区间 上是凸的。 第2页
第 2 页 10．曲线 e x y = 在点(0 , 1)处的切线方程 。 11．设 1 e y xy + = 确定 y 是 x 的函数，则 0 d d x y x = = 。 12．设 2e e t t x y − = = 在 t = 0 处法线方程 。 13．设 f x ''( ) 存在， y f x = ln ( ) ，则 2 2 d d y x = 。 14．设 1 ( ) 1 2 x f x x = + ，则 1 '( ) x f x = = 。 15．设 ( ) 2 2 y = tan 1 2 + x ，则 d y = 。 16．设函数 f x( ) 在 0 x x = 处可导， ( 0 0 ) ( ) 0 lim 1 h 2 f x f x h → h − − = − ，则 f x '( 0 ) = 。 17．设点(1 , 3)是曲线 3 2 y ax bx = + 的拐点，则 a = ，b = 。 18．函数 3 2 y x x = − 2 3 在区间 −1, 4 上的最大值是 。 19．函数 2x y x = 在 x 0 范围内的极小点是 。 20．函数 1 f x( ) ln x = 按 ( x − 2) 的幂展开的二阶泰勒公式中的拉格朗日余项 2 R x( ) = 。 21．函数 ( )( ) 3 2 y x a a x = − − 2 （ a 0 ）在区间 上单调减小。 22．曲线 arctan e x y = 在区间 上是凸的
x=Inv1+2 23.曲线 在1=1处曲率是】 y=arctant 24.函数fx)=2x+1及F(x)=4x2-5x+1在区间[0，】上满足柯西中值定理的 5= 25.函数y=a+cos3x,则y= 二、解下列各题 1.(6分)证明当x>0时，1+xlnx+√1+x)>√1+。 第3页
第 3 页 23．曲线 2 ln 1 arctan x t y t = + = 在 t =1 处曲率是 。 24．函数 f x x ( ) 2 1 = + 及 2 F x x x ( ) 4 5 1 = − + 在区间 0 ,1 上满足柯西中值定理的 = 。 25．函数 4 cos3 x y a x = + ，则 ( ) n y = 。 26． 2 2 2 1 lim cos x x→ x x + = 。 二、解下列各题 1．（6 分）证明当 x 0 时， ( ) 2 2 1 ln + x x x x + + + 1 1
--x 2.(7分)已知f(x) ，x<0处处连续且可导，求a,6值。 a+bx,x≥0 3.(6分)设f(x)在[0，a上连续，在(0，a)上可导，f(0)=1,f(a=e°，证明至 少存在一点∈(0，)，使f'(⑤)=f(⑤)。 第4页
第 4 页 2．（7 分）已知 1 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x a bx x − − = + 处处连续且可导，求 a ，b 值。 3．（6 分）设 f x( ) 在 0, a 上连续，在 (0, a) 上可导， f (0 1 ) = ， ( ) e a f a = ，证明至 少存在一点 (0, a) ，使 ( ) ( ) f f ' =