北京化工大学2010—2011学年第二学期 《高等数学（下)》期中考试试卷 课程代码MAT13901T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 四 总分 2 3 得分 一、填空(3分×26=78分) 1.已知函数f(x,y)=xy, 则心，小 2.函数z=arcsin +的定义规为 3.极限.lim。 2-xy+4 (x,)→0，o)sinxy 4.设u=x,则du= 5.设函数2= 年有价连续偏导数，则} 6.设方程 x+少2+：2=a确定的函数之一为y=y(曰)，则= x+y+z=0 dz 7设：=/y,),其中∫具有二阶连续偏导数，则 xOy t 8.曲线x=sin1,y=2,2=C在对应于1=0处的切线方程 法平面方程 第1页
第 1 页 北京化工大学 2010——2011 学年第二学期 《高等数学（下）》期中考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 1 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 四 总分 1 2 3 得分 一、填空（3 分×26=78 分） 1．已知函数 f x y x y ( , ) = ，则 , , ( ) u f f x v y = 。 2．函数 arcsin 3 x z x y = + 的定义域为 。 3．极限 ( , 0 , 0 ) ( ) 2 4 lim x y sin x y → x y − + = 。 4．设 yz u x = ，则 du = 。 5．设函数 , x z f z y = ， f 具有一阶连续偏导数，则 z y = 。 6．设方程 2 2 2 2 x y z 0 x y z a + + = + + = 确定的函数之一为 y y z = ( ) ，则 d d y z = 。 7．设 ( , e ) x z f x y = ，其中 f 具有二阶连续偏导数，则 2 z x y = 。 8．曲线 x t = sin ， 2 t y = ， e t z = 在对应于 t = 0 处的切线方程 ， 法平面方程
9.函数u=x+y+z在曲面2x2+3y2+z2=6上的点(1,1,1)处的外法线方向的方 向导数为 10.函数u=xy2z在任一点P(x,y,)处的梯度为 该梯度向量场的散度为 1山.设二重积分区域D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域，则 ∬(3x+2y)do= 12.设D为2+y2≤1，则sinx++产)dg 13.设二重积分区域D={(x,y)2+y2≤2y,二重积分∬f(x,ydo在极坐标 系下的二次积分为 14·设f(x,y)为连续函数，则将极坐标系下的二次积分 ∫d0。f(rcos8,rsin0)r山化为直角坐标系下的二次积分为 15.设空间物体所占有的空间区域2是由锥面：= F可与平面 z=h(R>0,h>0)所围成，该物体的体密度p(x,y,)=z,则该物体质心 的竖坐标2= 第2页
第 2 页 9．函数 u x y z = + + 在曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 上的点 (1,1,1) 处的外法线方向的方 向导数为 。 10．函数 2 u x y z = 在任一点 P x y z ( , , ) 处的梯度为 ， 该梯度向量场的散度为 。 11．设二重积分区域 D 是由两坐标轴及直线 x y + = 2 所围成的闭区域，则 (3 2 d) D x y + = 。 12．设 D 为 2 2 x y + 1 ，则 ( ) 2 2 2 sin d D y x x y + + = 。 13．设二重积分区域 ( ) 2 2 D x y x y y = + , 2 ，二重积分 ( , d) D f x y 在极坐标 系下的二次积分为 。 14 ． 设 f x y ( , ) 为 连 续 函 数 ， 则 将 极 坐 标 系 下 的 二 次 积 分 ( ) 1 4 0 0 d cos , sin d f r r r r 化为直角坐标系下的二次积分为 。 15 ． 设空间物体所占有的空间区域 是由锥面 h 2 2 z x y R = + 与平面 z h R h = ( 0 , 0) 所围成，该物体的体密度 ( x y z z , , ) = ，则该物体质心 的竖坐标 z =
16.设三重积分的积分区域2是由：=√4-x2-少，：=√2+少产和：=1所围成 (满足≥√+少)，函数f(x2+y2,)在2上连续，则三重积分 ∬/(：+八，：小d在柱坐标系下的三次积分为 在球坐标系下的三次积分为 :在 直角坐标系下先对x,y积分，后对：积分的三次积分 为 1.平面。+方+。=1(a>0,6>0,c>0)技三个坐标面所俊出的有限部分的面 积为 18,设上为格圆至苦-1，其周长为。，则对蒸长的自线积分 ∮(2y+5x2+4y2)d= 19.设L为上半圆x2+y2=从点(0,0)到点(a,0)的有向弧段，则对坐标的曲 线积分∫(esiny-2y)dr+e'cosydy= 20.设L为y=1-x2从点(1,0)到点(0，)的有向弧段，对坐标的曲线积分 ∫P(x,y)dr+Q(x,y)少化成对弧长的曲线积分为 21.设Σ为球面：=√R2-x2-y被圆柱面x2+y2=Rx所截得的部分，则对面积 的曲面积分dS= 22.设有向曲面Σ为锥面：=√R2+少(0≤：≤M)的外侧，对坐标的曲面积分 ∬P(x,yd止+Q(x,y,)dd+R(x,y)dd化成对面积的曲面积分 第3页
第 3 页 16．设三重积分的积分区域 是由 2 2 z x y = − − 4 ， 2 2 z x y = + 和 z =1 所围成 （满足 2 2 z x y + ）， 函 数 ( ) 2 2 f x y z + , 在 上 连 续 ， 则 三 重 积 分 ( ) 2 2 f x y z v , d + 在柱坐标系下的三次积分为 ； 在球坐标系下的三次积分为 ；在 直 角 坐 标 系 下 先 对 x y, 积 分 ， 后 对 z 积 分 的 三 次 积 分 为 。 17．平面 1 0 , 0 , 0 ( ) x y z abc a b c + + = 被三个坐标面所截出的有限部分的面 积为 。 18 ． 设 L 为椭圆 2 2 1 4 5 x y + = ，其周长为 a ， 则 对 弧 长 的 曲 线 积 分 ( ) 2 2 2 5 4 d L xy x y s + + = 。 19．设 L 为上半圆 2 2 x y ax + = 从点 (0 , 0) 到点 (a ,0) 的有向弧段，则对坐标的曲 线积分 (e sin 2 d e cos d ) x x L y y x y y − + = 。 20．设 L 为 2 y x = −1 从点 (1,0) 到点 (0,1) 的有向弧段，对坐标的曲线积分 ( , d , d ) ( ) L P x y x Q x y y + 化成对弧长的曲线积分为 。 21．设 为球面 2 2 2 z R x y = − − 被圆柱面 2 2 x y Rx + = 所截得的部分，则对面积 的曲面积分 z Sd = 。 22．设有向曲面 为锥面 ( ) 2 2 z x y z h = + 0 的外侧，对坐标的曲面积分 P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , d d , , d d , , d d ) ( ) ( ) + + 化成对面积的曲面积分 为
二、解下列各题 1.(7分)设有向曲面Σ为旋转抛物面：=2-x2-y2位于xOy面上方部分的下侧， 计算曲面积分： ∬2-rt+8td+4x(x-dd 第4页
第 4 页 二、解下列各题 1．（7 分）设有向曲面 为旋转抛物面 2 2 z x y = − − 2 位于 xOy 面上方部分的下侧， 计算曲面积分： ( ) ( ) 2 2 1 x d d 8 d d 4 d d y z xy z x x x z x y − + + −
2.(7分)计算曲线积分重，迪，其中L为圆周亡+0-1=4，L的方向 x2+y2 为逆时针方向。 第5页
第 5 页 2．（7 分）计算曲线积分 2 2 d d L y x x y x y − + ，其中 L 为圆周 ( ) 2 2 x y + − = 1 4 ，L 的方向 为逆时针方向
3.(8分)己知函数z=f(x,y)的全微分是d止=(4x+2y)dr+(2x+8y)dy,并 且f(1,1)=2。 求：(1)函数z=f(x,y)的表达式： (2)∫(x,y)在满足条件x+y=1下的极值，判断极值是极大值或极小值，并 求出极值。 第6页
第 6 页 3．（8 分）已知函数 z f x y = ( , ) 的全微分是 d 4 2 d 2 8 d z x y x x y y = + + + ( ) ( ) ，并 且 f (1,1 2 ) = 。 求：（1）函数 z f x y = ( , ) 的表达式； （2） f x y ( , ) 在满足条件 x y + =1 下的极值，判断极值是极大值或极小值，并 求出极值
