北京化工大学2009一2010学年第二学期 《高等数学(II)》期末考试试卷 课程代码MAT13901T 班级： 姓名： 学号： 分数：」 题号 三 多 总分 得分 一、填空题(3分×5=15分) 1.已知函数f(x,y)=x2+xyarctan,则fx,1y)=」 y 1-cos(x2+y2) 2.极限am。(+y)e-可 3.曲线少2=4x,2=2-x在点(1,2，)处的切线方程 4.设「为曲线x=e'cost,y=e'sint,z=e'上相应于t从0变到2的弧段， j 5.微分方程y"-4y'+5y=0的通解是 二、解答题(6分×6=36分) 1.交换=次积分∫。d后f(,山的积分顺序。 第1页
第 1 页 北京化工大学 2009——2010 学年第二学期 《高等数学（II）》期末考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 1 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、填空题（3 分×5=15 分） 1．已知函数 ( ) 2 , arctan x f x y x x y y = + ，则 f tx t y ( , ) = 。 2．极限 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 , 0 , 0 2 2 1 cos lim e 1 x y x y x y x y → + − + = + − 。 3．曲线 2 y x = 4 ， 2 z x = −2 在点 (1, 2 ,1) 处的切线方程 。 4．设 为曲线 e cos t x t = ， e sin t y t = ， e t z = 上相应于 t 从 0 变到 2 的弧段， 则 3 2 2 2 1 ds x y z = + + 。 5．微分方程 y y y '' 4 ' 5 0 − + = 的通解是 。 二、解答题（6 分×6=36 分） 1．交换二次积分 ( ) 1 2 0 d , d y y y f x y x − 的积分顺序
十+可的通解。 2.求微分方程y少+上=一 3.求锥面：=√x2+少被球面x2+y2+2=8所截得的有限部分的面积。 第2页
第 2 页 2．求微分方程 ( ) 2 1 ' 1 y y x x x + = + 的通解。 3．求锥面 2 2 z x y = + 被球面 2 2 2 x y z + + = 8 所截得的有限部分的面积
4.求抛物面壳z=2-(x2+y2)(1≤z≤2)的质量，此壳的面密度为 4(x,y,z)=z+x2+y2。 5.将函数)+x一2平展成x的幂级数： 第3页
第 3 页 4．求抛物面壳 ( ) ( ) 2 2 z x y z = − + 2 1 2 的质量，此壳的面密度为 ( ) 2 2 x y z z x y , , = + + 。 5．将函数 2 ( ) 1 2 x f x x x = + − 展成 x 的幂级数
6.将函数y=1+x(0≤x≤π)展成正弦级数。 三、解下列各题(8分×5=40分) 1.求方程e+z+xy=3所确定的二元函数z=∫(x,y)在点(2，)沿曲线 。+二三1在这点的外法线方向的方向导数。 第4页
第 4 页 6．将函数 y x x = + 1 0( ) 展成正弦级数。 三、解下列各题（8 分×5=40 分） 1 ． 求方 程 e 3 z + + = z x y 所 确定 的二 元 函数 z f x y = ( , ) 在 点 (2 ,1) 沿曲线 2 2 1 8 2 x y + = 在这点的外法线方向的方向导数
2.计算曲面积分∬xz'dyd=+(x2y-z)dzdx+(2xy+y)dxdy, 其中Σ：锥面：=√x2+y2(0≤：≤)下侧。 3.设二元函数u(x,y)=f(sinx,x2-y2,e),其中f有二阶连续偏导数， 求 第5页
第 5 页 2．计算曲面积分 ( ) ( ) 2 2 3 2 xz y z x y z z x xy y z x y d d d d 2 d d + − + + ， 其中 ：锥面 ( ) 2 2 z x y z = + 0 1 下侧。 3．设二元函数 ( ) ( ) 2 2 , sin , , ex y u x y f x x y = − ，其中 f 有二阶连续偏导数， 求 2 u x y
水强要至空服金与和政 第6页
第 6 页 4．求幂级数 2 2 1 2 1 2 n n n n x − = − 的收敛域与和函数
5.质量为m的子弹以初速度'。=400米/秒的速度打入一厚度为h=20厘米的墙壁， 穿过后以100米秒的速度飞出，假定墙壁对子弹运动阻力和速度平方成正比，求子 弹穿过墙壁所需的时间。 第7页
第 7 页 5．质量为 m 的子弹以初速度 V0 = 400 米/秒的速度打入一厚度为 h = 20 厘米的墙壁， 穿过后以 100 米/秒的速度飞出，假定墙壁对子弹运动阻力和速度平方成正比，求子 弹穿过墙壁所需的时间
四、(9分)设平面力场F(x,)=2y+x)广，已知质点在该力场中移动时， 场力所作的功与路径无关。 (1)当f(0)=0时，求f(x): (2)求曲线x2+y2=3在第一象限上的点，使质点从原点出发，在该场力作用下 移动到该点所作的功最大。 第8页
第 8 页 四、（9 分）设平面力场 F x y xy i f x j ( , 2 ( ) ) → → → = + ，已知质点在该力场中移动时， 场力所作的功与路径无关。 （1）当 f (0 0 ) = 时，求 f x( ) ； （2）求曲线 2 2 x y + = 3 在第一象限上的点，使质点从原点出发，在该场力作用下 移动到该点所作的功最大