北京化工大学2008—2009学年第二学期 《高等数学》（下)期中考试试卷 课程代码MAT13901T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 总分 2 3 4 1 23 4 5 得分 一、填空(3分×12=36分) 1.设f(x,y,2)=xy2+yz2+x2yz,则f(2,0,1) 2.设=aresin(x-以，而x=-31,y=4,则a z 3.设e-xz=a(a为常数，则6x x2-2=0 4.曲线 3x+2y+1=0在点，-2，)处的切线方程为 法平面方程为 5.函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处的方向导数取得最大值的方向的方向余弦 为 第1页
第 1 页 北京化工大学 2008——2009 学年第二学期 《高等数学》（下）期中考试试卷 课程代码 M A T 1 3 9 0 1 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 总分 1 2 3 4 1 2 3 4 5 得分 一、填空（3 分×12 = 36 分） 1．设 ( ) 2 2 2 f x y z xy yz x yz , , = + + ，则 ( ) '' 2 , 0 ,1 x y f = 。 2．设 z x y = − arcsin( ) ，而 x t = 3 ， 3 y t = 4 ，则 0 d d t z t = = 。 3．设 3 e z − = x yz a （ a 为常数），则 z x = 。 4．曲线 2 0 3 2 1 0 x z x y − = + + = 在点 (1, 2 ,1 − ) 处的切线方程为 ， 法平面方程为 。 5．函数 2 3 u x y z x yz = + − 在点 (1,1, 2) 处的方向导数取得最大值的方向的方向余弦 为
6.交换=二次积分的积分顺时∫广dr一fk,dy= 7.设D是由曲线x2+y2=1及直线y=x所围成的位于y=x左上方闭区域，将二重 积分厂f(x,y)do化成极坐标系下的二次积分为_ 8.设2是由曲面x2+y2+z2=2与z=x2+y2围成的包含正半z轴的闭区域，三重 积分川f(x,y,)dr在柱坐标系下的三次积分为 9.设2是由曲面：=x2+y2与：=V2+y围成的闭区域，三重积分 ∬f(x,y,:)dr在球坐标系下的三次积分为 10.设L为沿抛物线y=x2从点(1，)到点(-1，)的弧段，将对坐标的曲线积分 JP(x,)dx+Q(,)dy化成对弧长的曲线积分为 11.设Σ为曲面z=√x2+y2介于z=0和z=3之间部分的下侧，将对坐标的曲面 积分∬P(x,y,)ddz+Q(x,y,=)ddr+Rx,y,)dxd化成对面积的曲面 积分为 第2页
第 2 页 6．交换二次积分的积分顺序 ( ) 2 2 2 1 2 d , d x x x x f x y y − − = 。 7．设 D 是由曲线 2 2 x y + =1 及直线 y x = 所围成的位于 y x = 左上方闭区域，将二重 积分 ( , d) D f x y 化成极坐标系下的二次积分为 。 8．设 是由曲面 2 2 2 x y z + + = 2 与 2 2 z x y = + 围成的包含正半 z 轴的闭区域，三重 积分 f x y z v ( , , d) 在柱坐标系下的三次积分为 。 9．设 是由曲面 2 2 z x y = + 与 2 2 z x y = + 围成的闭区域，三重积分 f x y z v ( , , d) 在球坐标系下的三次积分为 。 10．设 L 为沿抛物线 2 y x = 从点 (1,1) 到点 (−1,1) 的弧段，将对坐标的曲线积分 ( , d , d ) ( ) L P x y x Q x y y + 化成对弧长的曲线积分为 。 11．设 为曲面 2 2 z x y = + 介于 z = 0 和 z = 3 之间部分的下侧，将对坐标的曲面 积分 P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , d d , , d d ( , , )d d ) ( ) + + 化成对面积的曲面 积分为
二、解下列各题(6分×4仁24分) L设a=lnF+了，r=m子将方程(+圳层化-列号-0化成关于 自变量u,v的方程。 2.过曲面2x2+3y2+z2=6上点P(1,1,)处的指向内侧的法向量为n,求函数 M=6+8y在点P处沿方向方的方向导数。 第3页
第 3 页 二、解下列各题（6 分×4=24 分） 1．设 2 2 u x y = + ln ， arctan y v x = ，将方程 ( ) ( ) 0 z z x y x y x y + − − = 化成关于 自变量 u v, 的方程。 2．过曲面 2 2 2 2 3 6 x y z + + = 上点 P(1,1,1) 处的指向内侧的法向量为 n → ，求函数 2 2 6 8 x y u z + = 在点 P 处沿方向 n → 的方向导数
3.求由曲面：=2x2+y2与2=3-x2-2y2围成的空间体的体积。 4.验证(e'siny-2y)dr+(e*cosy-2x)dy在整个x0y面内是某个函数u(,)的 全微分，并求出(x,y)。 第4页
第 4 页 3．求由曲面 2 2 z x y = + 2 与 2 2 z x y = − − 3 2 围成的空间体的体积。 4．验证 (e sin 2 ) d e cos 2 d ( ) x x y y − x y x y + − 在整个 xO y 面内是某个函数 u x y ( , ) 的 全微分，并求出 u x y ( , )
三、解下列各题(8分×5=40分) 1设=引)其中了和g具有费连续独号数，*， 02z 2*.有=4A,02.0 第5页
第 5 页 三、解下列各题（8 分×5=40 分） 1．设 , x y z f x y g y x = + ，其中 f 和 g 具有二阶连续偏导数，求 2 z x y 。 2．求 2 2 d d L y x x y x y − + + ， L 为 2 y x = −4 从 (2 , 0) 到 (−2 , 0) 一段
3.计算曲面积分∬xddz+2 xyd-dx+-3 xydxdy,其中Σ为曲面 z=1-x2-y2(0≤z≤1)的上侧。 4.设在x0y面内有一力场户=(x+2y-3)+(2x+y+1)方，求质点在F的作用下 沿曲线+户=1的正方向，从点(2,0)移动到点(-2,0)所作的功 第6页
第 6 页 3．计算曲面积分 xz y z x y z x x y x y d d 2 d d 3 d d + + ，其中 为曲面 2 2 z x y = − − 1 （ 0 1 z ）的上侧。 4．设在 xO y 面内有一力场 F x y i x y j ( 2 3 2 1 ) ( ) → → → = + + − + + ，求质点在 F → 的作用下 沿曲线 2 2 1 4 x + = y 的正方向，从点 (2 , 0) 移动到点 (−2 , 0) 所作的功
5.求椭球面x+y+三三1在第一卦限部分上的一点，使该点处的切平面在三个坐标 轴上的截距平方和最小。 第7页
第 7 页 5．求椭球面 2 2 2 1 4 z x y + + = 在第一卦限部分上的一点，使该点处的切平面在三个坐标 轴上的截距平方和最小