北京化工大学2009—2010学年第一学期 《高等数学（上）》期中考试试卷 课程代码MAT13800T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 总分 得分 一、填空（每空3分，3分×26=78分） 1.设f(x)的定义域D=[0,,函数f(x2)+f(x-a)(00f)= x2,x<0 -x,x≥0'则8fx= 4设=lacs,0cr}则d以 5.设y=arctan(e),则y"(0)= 6.已知方程y=1+e确定函数y=.则。 dy 7.设f(x)可导，y=f(tanx2),则y'=」 8.设y=cos2x,则ym)= [x cos2t 9.曲线 y=sint在1 4处的切线方程 x=nV-r 10.设 y=arcsint 1.设f)=an ,=x2,则 f du 第1页
第 1 页 北京化工大学 2009——2010 学年第一学期 《高等数学（上）》期中考试试卷 课程代码 M A T 1 3 8 0 0 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 总分 1 2 3 得分 一、填空（每空 3 分，3 分×26=78 分） 1．设 f x( ) 的定义域 D = 0 ,1 ，函数 ( ) ( ) 2 f f x + x a − (0 1 a ) 的定义域为 。 2．设 3 ( ) ex f x = ， f x x ( ) 1 = − ，则 ( ) x = 。 3．设 2 , 0 ( ) 2 , 0 x x g x x x − = + ， 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x x = − ，则 g f x ( ) = 。 4．设 y x = ln cos ， 0 2 x ，则 4 d x y = = 。 5．设 arctan (e ) x y = ，则 y''(0) = 。 6．已知方程 1 e y y x = + 确定函数 y y x = ( ) ，则 0 d d x y x = = 。 7．设 f x( ) 可导， ( ) 2 y f = tan x ，则 y ' = 。 8．设 2 y x = cos ，则 ( ) n y = 。 9．曲线 cos 2 sin x t y t = = 在 4 t = 处的切线方程 。 10．设 2 ln 1 arcsin x t y t = − = ，则 2 2 d d y x = 。 11．设 tan ( ) x f x x = ， 2 u x = ，则 d d f u =
12.极限limsinx·arctan 1 13.极限1im(2-x)子= 1+x)y-1 14.极限lim 1-cosx x-sinx 15.极限明1n（0+x)-tanx 16.设y=f)在x=0处可导.f0)=0,则m国 x 17.极限ma 11 18.极限nxx) 19.函数间断点分类，fx)=e的间断点x=0的类型是 20.函数y=x2-5x+6在x=1处曲率为 21.设y=ax3+x2在拐点处的切线过点(1,0)，则a= 22.函数y=x·e在区间 上是单调下降的，并且在区间 上是凸的 23.函数f(x)=ln二按(x-2)的幂展开的带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式为 24.d[sin(lnx)]=」 d (v1+tanx-/1+sinx)sinx 25.极限lim x.sinx-x2 第2页
第 2 页 12．极限 0 1 limsin arctan x x → x = 。 13．极限 ( ) tan 2 1 lim 2 x x x → − = 。 14．极限 ( ) 1 2 0 1 1 lim 1 cos n x x → x + − = − 。 15．极限 ( ) 2 0 sin lim ln tan 1 x x x → x x − = + 。 16．设 y f x = ( ) 在 x = 0 处可导， f (0 0 ) = ，则 0 ( ) lim x f x → x = 。 17．极限 2 lim arctan x x x → + = 。 18．极限 1 1 1 lim x→ ln 1 x x − = − 。 19．函数间断点分类， 1 ( ) e x x f x + = 的间断点 x = 0 的类型是 。 20．函数 2 y x x = − + 5 6 在 x =1 处曲率为 。 21．设 3 2 y ax x = + 在拐点处的切线过点 (1, 0) ，则 a = 。 22．函数 e x y x − = 在区间 上是单调下降的，并且在区间 上是凸的。 23．函数 1 f x( ) ln x = 按 ( x − 2) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的二阶泰勒公式为 。 24． d ln sin ( x) = d( x ) 。 25．极限 ( ) 2 0 1 tan 1 sin sin lim x sin x x x → x x x + − + = −
二、解下列各题 1.(7分)当x>0时，证明不等式lh(1+x)>arctan 1+x [asinx+secx+b,x20 2.（8分)函数八)={e-1,X<0间a,b为何值时，f)处处可 导，并写出f'(x)的表达式。 第3页
第 3 页 二、解下列各题 1．（7 分）当 x 0 时，证明不等式 ( ) arctan ln 1 1 x x x + + 。 2．（8 分）函数 3sin sin sec , 0 ( ) e 1 , 0 x a x x b x f x x + + = − ，问 a b, 为何值时， f x( ) 处处可 导，并写出 f x '( ) 的表达式
3.7分)设通数倒在0，引上连续，在0到}内可导。证明：在0，引内至少 存在一点5，有： f=f(6)+f(6)m5 第4页
第 4 页 3．（7 分）设函数 f x( ) 在 0, 2 上连续，在 0, 2 内可导。证明：在 0, 2 内至少 存在一点 ，有： ( ) ( ) ' tan 2 f f f = +