北京化工大学2009—2010学年第一学期 《微积分(I)》期末考试试卷 课程代码MAT14700T 班级： 姓名： 学号： 分数： 三 题号 总分 12345678910111213141516171819 得分 一、填空(10分) 、者均为常数，则回-物-月- k! 2、设函数yx)由方程e2+y-cos(xy)=e-1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，)处的法线 方程为 3、y=2的Maclaurin展开式中x"项的系数是 4、2sm2x-cos2x= x2 5、函数y= 15 的平均值为 1-x2 在区间 2’2 二、选择题(10分) 6、fx)=0 tanrdi,gx)=x-sinx,则当x→0时，fx)是g(x)的 (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶非等价无穷小 (D)等价无穷小 【 7、设函数f(x)二阶可导，且f(x)>0,"(x)>0,则当△x>0时，有 (A)△y>y>0 (B)△y4y>0 (D)0>△y>y
1 北京化工大学 2009——2010 学年第一学期 《微积分（I）》期末考试试卷 课程代码 M A T 1 4 7 0 0 T 班级： 姓名： 学号： 分数： 题号 一 二 三 总分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 得分 一、填空（10 分） 1、若 ,k 均为常数，则 ( 1) ( 1) lim 1 ! k n k n n n n k k n n − → − − + − = ， 2、设函数 y x( ) 由方程 2 cos( ) 1 x y e xy e + − = − 所确定，则曲线 y f x = ( ) 在点 (0,1) 处的法线 方程为 3、 2 x y = 的 Maclaurin 展开式中 n x 项的系数是 4、 2 2 2 sin cos x x − = 5、函数 2 2 1 x y x = − 在区间 1 3 , 2 2 的平均值为 二、选择题（10 分） 6、 sin 2 0 ( ) tan x f x t dt = ， g x x x ( ) sin = − ，则当 x →0 时， f x( ) 是 g x( ) 的 （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶非等价无穷小 （D）等价无穷小 【 】 7、设函数 f x( ) 二阶可导，且 f x ( ) 0 ， f x ( ) 0 ，则当 x 0 时，有 （A） y dy 0 （B） y dy 0 （C） dy y 0 （D） 0 y dy 【 】
8、曲线y=+ln1+e)渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【】 9、设函数fx)在[-π，]上连续，当F(a)=[fx)-acosnd达到极 小值时，a= (A)()cosnds （B)∫/)yeo (c)2上/)comd D)上sh 【】 10、曲线y=sinx(0≤x≤π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转 体的体积为 (B)智 (c)2x 】 3 (D)2π 3 三、解答题(80分) 1l、1)证明：若m,=a∈R,则m+名++x=a n 2》计算m+5+5+近 n 2
2 8、曲线 ( ) 1 ln 1 x y e x = + + 渐近线的条数为 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【 】 9、设函数 f x( ) 在 − , 上连续，当 2 F a f x a nx dx ( ) ( ) cos − = − 达到极 小值时， a = （A） f x nxdx ( )cos − （B） 1 f x nxdx ( )cos − （C） 2 f x nxdx ( )cos − （D） 1 ( )cos 2 f x nxdx − 【 】 10、曲线 3 2 y x = sin (0 x ) 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转 体的体积为 （A） 4 3 （B） 4 3 （C） 2 2 3 （D） 2 3 【 】 三、解答题（80 分） 11、1）证明：若 lim n n x a →+ = ，则 1 2 lim n n x x x a →+ n + + + = 2）计算 3 1 2 3 lim n n n →+ n + + +
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12、设y=f()= 4s1 0,M>1w=8)= 2-x2,x≤2 2,x>21 讨论∫。g的连续性，若有间断 点，说明间断点类型
4 12、设 2 1, 1 2 , 2 ( ) , ( ) 0, 1 2, 2 u x x y f u u g x u x − = = = = ，讨论 f g 的连续性，若有间断 点，说明间断点类型
13、求曲线+广+：=9在22)处的曲率x x2-2=3
5 13、求曲线 2 2 2 2 2 9 3 x y z x z + + = − = 在 (2,2,1) 处的曲率
14、设函数∫，g,h在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明35∈(a,b),使得 f(a)g(a)h(a) f(b)g(b) h(b)=0 f'(5)g(5)h(5) 6
6 14、设函数 f g h , , 在 a b, 上连续，在 (a b, ) 上可导，证明 (a b, ) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) f a g a h a f b g b h b f g h =
5。设曲线C是曲面号一芳-1和尚面 ,+e三的交线，求曲线从点(a0.0)到点 2 (xo0)的弧长。 7
7 15、设曲线 C 是曲面 2 2 2 2 1 x y a b − = 和曲面 2 z z a a e e x a − + = 的交线，求曲线从点 ( ,0,0) a 到点 0 0 0 ( , , ) x y z 的弧长
16、设feC[0,+),若rdh=(+,求2) 8
8 16、设 ) ( ) ( ) 2 2 0 0, , 1 , (2) f x f C t dt x x f + = + 若 求
17、1)证明：若∫fx)收敛，f∈C[a,+o),则存在x,→+切使得mfx,)=0 2)若f∈C'[a,+o),∫fx)本与∫f(x)本都收敛，则1imf)=0 9
9 17、1）证明：若 ( ) a f x dx + 收敛， f C a + , ) ，则存在 n x → + 使得 lim ( ) 0 n n f x →+ = 2）若 ) 1 f C a + , ， ( ) a f x dx + 与 ( ) a f x dx + 都收敛，则 lim ( ) 0 n f x →+ =
[4=-3x+2x+1 18、给定微分方程组 dxz d =-3x+4x2-1,1∈[0，+)，其中x(0),x2(0为未知量， 8 x0)=0)=4 =-3x+2x,+1 d y=auy+anyz 1)求平移变换 y=x-a (5=x2-b1 卷 =-3x+4k-1变换为a+e x0=0)=4 y(0)=c,2(0)=d 2)计算矩阵A= (a1a的特征根不，2和相应的特征向量，由此求矩阵T满足 (a21a2 TAT= 0 02 y=auy+anyz 3)利用变换 2 ,求解{=a4y+a，由此求出x,的表达式 y(0)=c,y2(0)=d 10
10 18、给定微分方程组 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 1 3 4 1 8 (0) , (0) 4 3 dx x x dt dx x x dt x x = − + + = − + − = = ，t + [0, ) ，其中 1 2 x t x t ( ), ( ) 为未知量， 1）求平移变换 1 1 2 2 y x a y x b = − = − ，将 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 1 3 4 1 8 (0) , (0) 4 3 dx x x dt dx x x dt x x = − + + = − + − = = 变换为 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 1 2 (0) , (0) y a y a y y a y a y y c y d = + = + = = 2）计算矩阵 11 12 21 22 a a a a = A 的特征根 1 2 , 和相应的特征向量，由此求矩阵 T 满足 1 1 2 0 0 − = T AT 3）利用变换 1 1 2 2 y z y z = T ，求解 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 1 2 (0) , (0) y a y a y y a y a y y c y d = + = + = = ，由此求出 1 2 x x, 的表达式
