第七节、NURBS方法 数学建模
第七节、NURBS方法
尽管B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形 状时显示了强大的威力，然而在表示与设计二次曲线 曲面（如：圆弧、椭圆弧、双曲线等）与平面构成的初 等曲面时却遇到了麻烦，因为B样条曲线、曲面及其 特例的贝塞尔曲线、曲面都不能精确地表示除抛物面 以外的二次曲线曲面，而只能给出近似的表示，使本 来简单的问题复杂化，还带来了设计误差。人们为了 解决这个问题，对B样条方法进行了改造，在保留其 描述自由型形状长处的同时，扩充其统一表示二次曲 线与曲面的能力。这种新型的方法称为非均匀有理B 样条(Non-Uniform Rational B-spline,NURBS)技术。 目前NURBS已被国际标准化组织定义为工业产品形状 表示的国际标准方法。 敷学建模
尽管B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形 状时显示了强大的威力，然而在表示与设计二次曲线 曲面(如：圆弧、椭圆弧、双曲线等)与平面构成的初 等曲面时却遇到了麻烦，因为B样条曲线、曲面及其 特例的贝塞尔曲线、曲面都不能精确地表示除抛物面 以外的二次曲线曲面，而只能给出近似的表示，使本 来简单的问题复杂化，还带来了设计误差。人们为了 解决这个问题，对B样条方法进行了改造，在保留其 描述自由型形状长处的同时，扩充其统一表示二次曲 线与曲面的能力。这种新型的方法称为非均匀有理B 样条(Non-Uniform Rational B-spline，NURBS)技术。 目前NURBS已被国际标准化组织定义为工业产品形状 表示的国际标准方法
一条P次NURBS曲线定义为： 20月 a≤t≤b (6.7.1) =0 其中p,为控制顶点（构成一控制多边形），o,为 相应的权重y,P(u) 为定义在节点矢量 上 次B样条基函数，T= 的 aap1,m-p-b…,b 定义 :() Nip (t)o ∑vo (6.72) 则上面的曲线可表示为： C)=ΣR,P 款学建模
一条P次NURBS曲线定义为： ( ) ( ) ( ) a t b N t N t P C t n i i p i i i n i i p = = = 0 , 0 , 其中 为控制顶点(构成一控制多边形)， 为 相应的权重， 为定义在节点矢量 上 次B样条基函数， 的 = + + − − + 1 1 1 1 , , , , , , , , p p m p p T a a u u b b 定义： ( ) ( ) ( ) = = n i i p i i p i i p N t N t R t 0 , , , 则上面的曲线可表示为： ( ) ( ) = = n i i p Pi C t R t 0 , (6.7.1) pi i N , P(u) i T P (6.7.2)
例6.7.3地形函数 有许多技术可用于创作地形，它们模拟或再现自 然的或想象的大地表面。也有许多技术用于变形这些 地形，而这些技术使用数学函数。生成一个地形的最 简单的技术是使用一个带XY分量的二维平面。若希望 的形状像一个自然地形，则使用这些技术中的任何一 个都是合适的；若设法创作一个更迷人的地形，则基 本平面可用数学函数变形。产生地形的另一项技术 是构造一个三维网格，它是以定义一个想象的或实际 的地形的二维轮廓为基础的。构造地形的这种技术对 数据非常敏感，而且对产生地形的精确模型也非常有 效。由于它们的拓扑细节，用这种技术产生的地形很 少用数学函数变形。 教学建模
例 6.7.3 地形函数 有许多技术可用于创作地形，它们模拟或再现自 然的或想象的大地表面。也有许多技术用于变形这些 地形，而这些技术使用数学函数。生成一个地形的最 简单的技术是使用一个带XY分量的二维平面。若希望 的形状像一个自然地形，则使用这些技术中的任何一 个都是合适的；若设法创作一个更迷人的地形，则基 本平面可用数学函数变形。 产生地形的另一项技术 是构造一个三维网格，它是以定义一个想象的或实际 的地形的二维轮廓为基础的。构造地形的这种技术对 数据非常敏感，而且对产生地形的精确模型也非常有 效。由于它们的拓扑细节，用这种技术产生的地形很 少用数学函数变形