变分法模型 在数学分析中，大家已经学会了如何确定 某一函数的极值问题，看到了其应用的广 泛性。在许多工程实际问题中，我们还常 常需要求另一类特殊的量即函数的函数的 极值问题。通常将函数的函数称为泛函。 教学建模
变分法模型 在数学分析中，大家已经学会了如何确定 某一函数的极值问题，看到了其应用的广 泛性。在许多工程实际问题中，我们还常 常需要求另一类特殊的量即函数的函数的 极值问题。通常将函数的函数称为泛函
(1)连接平面两点A(x,y,)、B(xy)的曲线y 的弧长L是一个泛函。 (x=1+y& 即L是曲线y=yx)的函数。 (2)曲面Σ：Z=(x,y)的面积S也是一个泛函。 S2x,训=J八+（医P+(信 其中D为Σ在xOy面上的投影区域。即S是曲面 Z=(x,y)的函数。 数学建模
（1）连接平面两点 ( , ) 0 0 A x y 、 ( , ) 1 1 B x y 的曲线 y = y(x) 的弧长L是一个泛函。 L y x y dx x x = + 1 0 '2 [ ( )] 1 即L是曲线 y = y(x)的函数。 （2）曲面 : Z = z(x, y)的面积S 也是一个泛函。 S Z x y dxdy D y z x z = + + 2 2 [ ( , )] 1 ( ) ( ) 其 中 D 为 在 xoy 面上的投影区域。即 S 是曲面 Z = z(x, y)的函数
求泛函的极值问题叫做变分问题。变分法就 是研究变分问题的学科，其自十七世纪以来逐渐发 展起来，欧拉是这门学科的创始人。变分方法在现 代数值分析中起着重要的作用，并且随着现代控制 论的产生与发展，作为其基本理论的变分法，日益 显示出它的重要作用，它已成为现代科学技术领域 中必不可少的应用数学分支。 教学建模
求泛函的极值问题叫做变分问题。变分法就 是研究变分问题的学科，其自十七世纪以来逐渐发 展起来，欧拉是这门学科的创始人。变分方法在现 代数值分析中起着重要的作用，并且随着现代控制 论的产生与发展，作为其基本理论的变分法，日益 显示出它的重要作用，它已成为现代科学技术领域 中必不可少的应用数学分支
1变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。 本节就变分法的基础知识作简要介绍，需 要深入了解的读者可阅读有关专著。 数学建模
1 变分法简介 • 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。 本节就变分法的基础知识作简要介绍，需 要深入了解的读者可阅读有关专著
变分法的基本概念 1.泛函的定义 设D为一个函数集合，若对于每一个函数y(x)∈D都 有一个确定的实数J与之对应，则称J为定义在D上的一个 泛函，记作J[(y(x)]。D称为泛函J的定义域。 简言之，泛函是以函数集为定义域的实值函数。 最简泛函的形式之一为 y(x)=F(x,y.y)d,y(x)ED 其中D={y(x川y(x)eC[xo,x],y(x)=o,y(x)=y} 教学建模
变分法的基本概念 1．泛函的定义 设 D 为一个函数集合，若对于每一个函数 y(x) D 都 有一个确定的实数 J 与之对应，则称 J 为定义在 D 上的一个 泛函，记作 J[( y(x)] 。D 称为泛函 J 的定义域。 简言之，泛函是以函数集为定义域的实值函数。 最简泛函的形式之一为 = 1 0 [ ( )] ( , , ') x x J y x F x y y dx ， y(x) D 其中 { ( ) | ( ) '[ , ], ( ) , ( ) } 0 1 0 0 1 1 D = y x y x C x x y x = y y x = y
2.最简泛函的变分 设y(x)、Y(x)∈D,则称δy=Y(x)-y(x)为函数 y(x)的变分。即函数的变分δy反映的是整个函数的改变。 函数的变分δy有如下重要性质： 如果y(x)和Y都可导，则 ()'=[Y(x)-y(x)]'=Y'(x)-y'(x)=y 即函数变分的导数等于函数导数的变分。 00 数学建棋
2． 最简泛函的变分 设 y(x) 、 Y (x) D ，则称 y = Y (x) − y(x) 为函数 y(x) 的变分。即函数的变分 y 反映的是整个函数的改变。 函数的变分 y 有如下重要性质： 如果 y(x) 和Y 都可导，则 (y)'= [Y (x) − y(x)]'= Y '(x) − y'(x) = y' 即函数变分的导数等于函数导数的变分
考虑当函数y(x)有一个变分后，最简泛函JLy(x)]的增 △J=JLy+δy]-JLy] =["[F(x,y+8y.y+6)-F(x.y.y)ds 假设F(x,y,y)充分光滑，则上式可展开成 △=∫{F,δ+F5]+[F,(⑥，}+2F,5,6+F,(⊙，》+ 我们把8，δ，的线性部分称为泛函JLy(x)]在(x)处的变分，记作 δ=∫(F3+F6k 数学建模
考虑当函数 y(x) 有一个变分y 后，最简泛函 J[ y(x)] 的增量。 F x y y y y F x y y dx J J y y J y x x = + + − = + − 1 0 [ ( , , ' ') ( , , ')] [ ] [ ] 假设 F(x, y, y') 充分光滑，则上式可展开成 = + + + + + 1 0 {[ ] [ ( ) 2 ' ( ) } 2 ' ' ' ' 2 2! 1 ' ' x x y y y y y y y yy y yy y y J F F F F F dx 我们把 ' , y y 的线性部分称为泛函 J[ y(x)] 在 y(x) 处的变分，记作 F F dx x x J = y y + y y 1 0 ( ) ' ' (1)
3。泛函的极值 设y(x),y,(x)为[a,b]上的连续函数，则称 max|,(x)-y(x)川为函数(x)与y,(x)的距离。而与y(x) x∈[a,b] 的距离小于ε的连续函数的全体称为函数y(x)的8邻域，即 U0g,8)={(m()-x<} 从而有：如果对任意一个y(x)∈U(y,)总有 J[y(x)]≥JLy(x)] (或≤) 则称泛函J兀y(x)]在y(x)的ε邻域内取得极小（大）值。 数学建模
3。泛函的极值 设 ( ) , ( ) 1 y x y x 为 [a , b] 上 的 连 续 函 数 ， 则 称 max | ( ) ( ) | 1 [ , ] y x y x x a b − 为函数 y(x) 与 ( ) 1 y x 的距离。而与 y(x) 的距离小于 的连续函数的全体称为函数 y(x) 的 邻域，即 ( , ) { ( ) | max ( ) ( ) } 1 [ , ] 1 = − U y y x y x y x x a b 从而有：如果对任意一个 ( ) ( , ) 1 y x U y 总有 [ ( )] [ ( )] 1 J y x J y x （或≤） 则称泛函 J[ y(x)] 在 y(x) 的 邻域内取得极小（大）值
泛函极值的必要条件—欧拉方程 对于泛函J(x=广F(x,y,y)d(x)∈D) 关于泛函极值的必要条件有如下结论： 定理1 若泛函Jy(x)]在y(x)的ε邻域内取得 极值，则泛函在y(x)处的变分δ，=0。 定理2泛函极值的必要条件为 F,-岳F=0 (2〉 此方程就是欧拉方程。 教学建模
泛函极值的必要条件—欧拉方程 对于泛函 = 1 0 [ ( )] ( , , ') x x J y x F x y y dx（ y(x) D ）， 关于泛函极值的必要条件有如下结论： 定理 1 若泛函 J[ y(x)] 在 y(x) 的 邻域内取得 极值，则泛函在 y(x) 处的变分 J = 0 。 定理 2 泛函极值的必要条件为 − y' = 0 dx d Fy F （2） 此方程就是欧拉方程
欧拉方程的另一种形式为 E-Fx-yFyy-y"Ey=0 当F,y≠0时，欧拉方程为一个二阶微分方程，积 分后有两个任意常数，可由两个边界条件来确定。 数学建棋
欧拉方程的另一种形式为 Fy − Fy'x − y'Fy' y − y''Fy' y' = 0 当 Fy' y' 0 时，欧拉方程为一个二阶微分方程，积 分后有两个任意常数，可由两个边界条件来确定
